反映數據集中趨勢的量

楊文金

我們知道，平均數、中位數和眾數都是反映數據集中趨勢的量，平均數反映的是數據的平均水平，中位數反映的是一組數據的中間水平，眾數反映的是一組數據的大多數水平. 這部分內容是中考熱點. 現列舉如下，供同學們學習時參考.

熱點1 平均數的計算及應用

例1（2021·江蘇·揚州）已知一組數據：a，4，5，6，7的平均數為5，則這組數據的中位數是 .

解析：中位數是將一組數據從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數（或最中間兩個數的平均數）.

∵這組數據的平均數為5，則[a+4+5+6+75=5]，解得a = 3，

將這組數據從小到大重新排列為3，4，5，6，7，

觀察數據可知最中間的數是5，則中位數是5. 故應填5.

熱點2 加權平均數的計算及應用

例2（2021·山東·臨沂）某學校八年級（2）班有20名學生參加學校舉行的“學黨史、看紅書”知識競賽，成績統計如圖1. 這個班參賽學生的平均成績是 .

解析：由統計圖可知成績為85，90，95，100的人數分別為3，2，5，10，則[x=3×85+2×90+5×95+10×1003+2+5+10=95.5]，故應填95.5.

熱點3 中位數的計算及應用

例3（2021·四川·成都）菲爾茲獎是數學領域的一項國際大獎，常被視為數學界的諾貝爾獎，每四年頒發一次，最近一屆獲獎者獲獎時的年齡（單位：歲）分別為30，40，34，36，則這組數據的中位數是（ ）.

A. 34 B. 35 C. 36 D. 40

解析：把數據按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數或兩個數的平均數為中位數.

把已知數據按照由小到大的順序排列為30，34，36，40，

∴中位數為（34 + 36） ÷ 2 = 35. 故應選B.

熱點4 眾數及其應用

例4（2021·甘肅·武威）開學前，根據學校防疫要求，小蕓連續14天測量體溫，統計結果如表1所示，這14天中，小蕓體溫的眾數是 ℃.

解析：由表1可知眾數是36.6 ℃，故填36.6.

熱點5 統計量的選擇

例5（2021·浙江·寧波）甲、乙、丙、丁四名射擊運動員進行射擊測試，每人10次射擊成績的平均數[x]（單位：環）和方差[s2]（單位：環2）如表2所示，根據表中數據，要從中選擇一名成績好且發揮穩定的運動員參加比賽，應選擇（ ）.

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

解析：選擇一名成績好的運動員，要從平均數最大的運動員中選取.

由表2可知，甲、丙、丁的平均值最大，都是9，∴從甲、丙、丁中選取，

∵甲的方差是1.6，丙的方差是3，丁的方差是0.8，∴[s2丁]<[s2甲]<[s2乙]，

∴發揮最穩定的運動員是丁，

∴從中選擇一名成績好又發揮穩定的運動員參加比賽，應該選擇丁. 故應填D.

注意：方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定;反之，方差越小，表明這組數據分布越集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定.

例6（2021·浙江·金華）小聰、小明準備代表班級參加學校“黨史知識”競賽，班主任對這兩名同學測試了6次，繪制測試成績折線統計圖，如圖2. 根據圖中信息，解答下列問題：

（1）要評價每位同學成績的平均水平，你選擇什么統計量？求這個統計量.

（2）求小聰成績的方差.

（3）現求得小明成績的方差為[s2小明] = 3（單位：平方分）. 根據折線統計圖及上面兩小題的計算，你認為哪位同學的成績較好？請簡述理由.

解析：（1）要評價每位同學成績的平均水平，選擇平均數即可，

小聰成績的平均數：[16] × （7 + 8 + 7 + 10 + 7 + 9） = 8，

小明成績的平均數：[16] × （7 + 6 + 6 + 9 + 10 + 10） = 8，

則應選擇平均數，小聰、小明的平均數分別是8，8.

（2）小聰成績的方差：[16] × [（7 - 8）2 + （8 - 8）2 + （7 - 8）2 + （10 - 8）2 + （7 - 8）2 + （9 - 8）2] = [43]，

（3）由（1）可知兩人的平均數相同，因為小聰成績的方差小于小明成績的方差，成績相對穩定. 故小聰同學的成績較好.