旋轉的奧秘

蔣明玉

同學們，我們生活在運動的世界里，風吹樹梢動，鳥兒飛翔翅膀動。其實我們的數學世界也因為有了動而變得豐富多彩。現在讓我們做實驗來感受一下吧！

在課前蔣老師就讓同學們做了長方形、直角三角形的小旗（如下圖）。“現在請大家將旗桿快速旋轉一周，看看，你發現了什么？”蔣老師問。

小明立刻說：“左邊長方形的小旗旋轉一周能夠形成一個圓柱，圓柱的底面半徑是長方形的長，圓柱的高就是長方形的寬。”

張寧接著說：“右邊直角三角形的小旗旋轉一周能夠形成一個圓錐，圓錐的底面半徑是直角三角形的一條直角邊，圓錐的高是直角三角形的另一條直角邊。”

蔣老師微笑著說：“對，一個長方形經過旋轉可以形成圓柱體，一個直角三角形經過旋轉可以形成圓錐體。那么如果左邊長方形的小旗的長是5厘米，寬是2厘米，你能求出旋轉出的那個圓柱的體積是多少嗎？”

蔣帥同學很快在黑板上寫出：3.14×5²×2=157（立方厘米）。

“看來同學們對圓柱體和圓錐體已經很熟悉了，那接下來蔣老師可要考考大家了！”說完蔣老師在黑板上寫下題目。

如右圖，ABCD是直角梯形。以AB為軸將梯形旋轉一周，得到一個旋轉體；以CD為軸將梯形旋轉一周，也得到一個旋轉體。哪個旋轉體體積大一些？

小明不假思索就說：“我覺得以AB為軸旋轉的旋轉體大一些。”

蔣帥則認真地思考并計算起來：

以AB為軸旋轉的旋轉體是由一個圓柱和一個圓錐組成的立體圖形，圓柱的體積是3.14×3²×3=84.78（立方厘米），圓錐的體積是1/2×3.14×3²×3=28.26（立方厘米），84.78+28.26=113.04（立方厘米）。以CD為軸旋轉的旋轉體是一個圓柱和缺少一個圓錐的圓柱組成的，圓柱的體積是3.14×3²×3=84.78（立方厘米），缺少一個圓錐的圓柱的體積就是圓柱體積的2/3，算式為2/3×3.14×3²×3=56.52（立方厘米），84.78+56.52=141.3（立方厘米）。通過計算可知，以CD為軸旋轉的旋轉體體積大一些。

“同學們，做數學題僅僅憑感覺是不行的，要憑事實說話。”蔣老師說。

這時，愛思考的張寧急忙站起來，說：“若換一個角度想想，根本不用上面那樣煩瑣的計算，就很容易發現以CD為軸旋轉的旋轉體體積大一些。以AB為軸旋轉的旋轉體是由一個圓柱和一個圓錐組成的立體圖形，圓柱和圓錐等底等高，如果圓錐的體積看作1份，那么圓柱的體積就是3份，一共就有4份。而以CD為軸旋轉的旋轉體的體積，上面的旋轉體的圓柱挖去了一個圓錐（1份），所以上面余下部分的體積有2份，加上底下圓柱的體積3份，一共就有5份。所以，很容易知道以CD為軸旋轉的旋轉體體積大一些。”

蔣老師贊許地向張寧點點頭，說：“同學們看，簡單的動就將這些平面圖形變成了我們熟悉的立體圖形，今后我們要多觀察、多操作，深入探索數學世界的奧秘！”