淺談高中數學概念的教學追問策略

【摘 要】數學概念學習是數學學習的核心，教師要特別重視概念教學。以追問教學策略優化高中數學教學，能幫助學生學好數學。在數學概念教學過程中，進行一般化、比較、特殊化教學追問，教師能更好地教學數學概念，可以幫助學生掌握“四基”和提高“四能”，有利于發展學生的數學學科核心素養。

【關鍵詞】數學概念;教學追問;策略

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）28-0106-02

新一輪高中數學課程改革所要求的教學方法都指向學生數學學科核心素養的培養。如何通過數學課堂教學培養學生數學核心素養，是廣大高中數學教師研討的熱點。筆者探討了以教學追問優化高中數學教學、創新高中數學課堂教學的策略，希望能促進學生的數學學科核心素養得到良好發展。

1? ?數學概念

數學概念是反映現實世界中的空間形式和數量關系本質屬性的思維形式，它是建立數學性質、法則、公式、定理的基礎，也是進行計算和證明的基礎。由此可知，學習數學概念是學習數學的核心。

美國教育心理學家布魯納曾指出：“用基本的、一般的觀念來不斷擴大和加深知識應當成為教育過程的核心。”中科院李邦河院士也曾說：“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧。”數學概念教學的意義不僅在于使學生掌握“書本知識”，更重要的是讓學生從中體驗數學家概括數學概念的心路歷程，體會數學家用數學的觀點看待和認識世界的方式，學會用概念思維。

2? ?教學追問的概念

教學追問是指教師在數學教學中結合教學目標和教學內容，追根究底地提問，并針對學生的回答進一步提問深挖，由此引發學生深度思考。

高中數學教學追問定義包含以下幾點：教學追問是提問的一種方式，是教師在初次提問基礎上針對學生的回答進一步提問;教學追問是教師結合教學目標、教學內容預設問題的教學方式;教師通過教學追問能引發學生深度思考數學問題。

在高中數學教學中，教師要不斷優化和創新教學方法。教學追問作為有效的教學方法，可以幫助學生理解、掌握、應用數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗（簡稱“四基”），提高學生從數學角度發現和提出、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”），進而提升學生的數學學科核心素養。

3? ?追問策略

教師參考書中談到：“要讓學生真正掌握數學知識，靠掐頭去尾燒中段、靠大量解題訓練是做不到的，必須讓他們經歷從數學研究對象的獲得，到研究數學對象，再到應用數學知識解決問題的完整過程。”[1]因此，數學概念教學設計應該要有三大環節：概念形成、概念辨析、概念應用。概念形成環節是教師通過典型事例和背景引入，引導學生開展觀察、分析、比較、綜合等活動，概括出共同本質特征，得到概念的本質屬性;概念辨析環節是教師以實例（正例或反例）引導學生分析關鍵詞的含義，使學生明確概念的內涵與外延，即明確概念所反映的對象具有的本質屬性，明確概念所指的是哪些對象（即概念的使用范圍）;概念應用環節是教師要用有代表性的具體事例引導學生積極思考，其目的是讓學生會用定義作出判斷和得到性質。

教師參考書中還談到：“從數學學習、研究過程來看，通過類比、推廣、特殊化等，可以有力地促進我們的數學思考，使我們更有效地尋找出自己感興趣的問題，從中獲得研究方法的啟示。”[2]在數學教學中，針對數學概念教學設計的三大環節，筆者從一般化、比較、特殊化三個方面進行教學追問。

3.1? 一般化

一般化是指“從考慮一個對象過渡到考慮包含該對象的一個集合;或者從考慮一個較小的集合過渡到考慮一個包含該較小集合的更大集合。”[3]英國數學教授梅森（J.Mason）認為，一般化相對于特殊化而言更為困難，但這又應被看成數學創造的一個基本形式，因為數學認識的根本目的就是要揭示更普遍、更深刻的規律。在概念形成的教學環節中，教師提供典型的具體例證，使學生經歷具體事例共性的分析、歸納過程，通過教學追問，讓學生更容易理解更普遍、更深刻的規律，啟發學生用特殊到一般的歸納推理過程，讓學生自己概括出共同本質特征，進而抽象出數學概念。這樣學生的發現和提出問題的能力能得到提高，學生的數學抽象等數學核心素養也能得到發展。

案例1：在“冪函數”概念形成教學環節中，筆者設計了以下追問：

問題：我們知道可以用函數刻畫現實世界中的實際問題，請思考課本中的5個例子。

追問1：我們習慣用x表示自變量，用 y表示函數值，大家怎么用x和 y改寫課本中的5個解析式？

追問2：請同學觀察這五個函數的解析式，從自變量、函數值和解析式的結構特征來觀察它們的共性？

設計意圖：教師引導學生觀察，通過兩個追問，學生更容易概括出五個函數的共同特征：都具有冪的形式，冪的底數是變量，指數為定值，得到概念的本質屬性，進而抽象出“冪函數”概念，提升學生發現問題的能力。

3.2? 比較

比較是認識事物的一種方法，根據一定的標準，把有某些聯系的兩種或兩種以上的事物加以對照，確定它們之間的異同及相互關系，形成對事物的認識。“有比較才能鑒別”，在概念辨析的教學環節中，教師利用比較的方法進行教學追問，引導學生對照各種概念，尋找它們的異同點，從而深入地分析和確定它們的特殊屬性和一般屬性，這樣可以幫助學生全面、精確、深刻地了解不同概念的本質特征及各概念之間的內在聯系。教師把“這個概念與相鄰概念之間有何聯系與區別”這種問題傳遞給學生，學生就會圍繞這個概念逐步構建起一個概念網絡。網絡的結點越多、通道越豐富，學生對概念的理解就越深刻。面臨復雜問題時，學生就容易產生思維指向，實現轉化、遷移，這正是形成數學能力的基本要素。

案例2：在“二面角及其平面角”概念辨析教學環節中，筆者設計了以下追問。

問題：經過探究，我們定義了二面角及其平面角，你能理解它們嗎？

追問1：你會比較二面角與它的平面角嗎？

追問2：你會比較二面角與異面直線所成的角、直線與平面所成的角嗎？

設計說明：通過比較，幫助學生區別概念的本質屬性。二面角是由面―線―面構成的面面角，二面角是空間圖形;平面角是由線―點―線構成的線線角，平面角是平面圖形。二面角與異面直線所成的角、直線與平面所成的角雖然都由“平面的角”來度量，但二面角是由兩條射線構成的平面角來度量，后兩種角是由兩條直線所成的角來度量，所以二面角與后兩種角的大小范圍不同。這樣學生既能清晰地理解概念的連續性和發展性，又領悟到分類與整合、劃歸與轉化的數學思想。

3.3? 特殊化

特殊化是指“從考慮一組給定的對象集合過渡到考慮該集合中一個較小的集合，或僅僅一個對象”[3]。在概念應用的教學環節中，教師通過教學追問，要啟發學生用數學概念的定義做出判斷并得到性質，引導學生會用一般到特殊的演繹推理思考和解決問題，鼓勵學生推導多個結論。這樣學生在更加深入地理解數學概念的同時，分析和解決問題的能力也能得到提高，最終促進學生邏輯推理等數學核心素養的提升。

案例3：在“單調性”概念應用教學環節中，筆者設計了以下追問。

問題：研究完函數單調性的定義，你會用它作簡單判斷嗎？

追問1：定義域為（?∞，0）∪（0，+∞）的函數 f（x）在（?∞，0）上單調遞減，（0，+∞）上單調遞減，能判斷出 f（x）是定義域上的減函數嗎？請舉例說明。

追問2：定義域為R的函數 f（x）在（?∞，0]上單調遞減，[0，+∞）上單調遞減，能判斷出 f（x）是R上的減函數嗎？

追問3：你能歸納總結出一些結論嗎？

設計說明：以上追問是為了讓學生區分“單調遞減（遞增）”與“減（增）函數”概念，同時也是為引導學生認識函數在不同區間上單調遞減（遞增），在它們的并集上不一定保持單調遞減（遞增）的性質。教師要及時鼓勵學生應用概念的定義推理證明出性質或結論。

教師要想方設法教好數學，使學生學好數學，“學好數學是發展數學核心素養的前提，教好數學是落實核心素養的關鍵”[4]。在概念形成環節進行一般化教學追問，概念辨析環節進行比較教學追問，概念應用環節進行特殊化教學追問，教師就能更好地進行數學概念教學，幫助學生掌握“四基”和提高“四能”，促進學生的數學學科核心素養進一步提高。

【參考文獻】

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書教師教學用書：數學A版必修第一冊[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書教師教學用書：數學A版必修第一冊[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3]波利亞.怎樣解題[M].北京：科學出版社，1982.

[4]章建躍.把數學教好是落實核心素養的關鍵[J].中小學數學（高中版），2016（5）.

【作者簡介】

羅文三（1967～），男，漢族，福建永安人，本科，高級教師。研究方向：中學數學教學。