“數學分析”課程中冪級數收斂性問題求解的探討

楊婷梅　龍能

【摘 要】數學分析是數學專業一門重要的基礎課程，其邏輯性、理論性很強。數學分析這門課程，不僅可以培養學生的邏輯思維能力，而且還能培養學生的創新思維。本文主要探討了數學分析課程中冪級數的收斂性問題，引導學生學會獨立思考，總結歸納，不斷激發學生學習數學的興趣。

【關鍵詞】數學分析;冪級數;收斂性問題

【中圖分類號】G712? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）28-0009-02

在函數項級數中，有一類結構相對簡單、應用非常廣泛的函數項級數——冪級數。對于冪級數的研究主要討論其和函數的分析性質，以及將函數展成冪級數的條件和展開公式，本文主要討論冪級數的收斂性問題。

1? ?冪級數的基本定義和定理

不妨把形如anxn=a0+a1x+a2x2+...anxn+...的冪級數記為“標準型”冪級數。顯然，該冪級數在x=0收斂，對于冪級數在非0點的斂散性，由以下定理判斷：

定理1（阿貝爾第一定理）：

（1）若冪級數anxn在x0≠0收斂，則冪級數在都絕對收斂。

（2）若冪級數在x1≠0發散，則冪級數在都發散。

定理2：若給出冪級數anxn=a0+a1x+a2x2+...

anxn+...，則其收斂半徑為，其中an為前一項的系數，an+1為后一項的系數[1]。

利用該定理可求解標準型的冪級數的收斂半徑，從而得到收斂區間。對于一般型的冪級數可換元轉化為標準型求解，但對于形如anx2n，anx2n+1等有缺項的冪級數時，則采用以下定理求解。

定理3：在冪級數anxn有缺項的情況下，采用比值法求收斂半徑，即令，求解得到?r

對于在收斂區間冪級數anxn和函數的求解，主要有兩種情況。先判斷冪級數的系數an為整式還是分式，若為整式，可對冪級數逐項積分，得到關于變量x的函數，再左右微分;若為分式，則對冪級數逐項微分，再左右積分，從而得到在收斂區間上的和函數[2-5]。

2? ?案例分析

例1：求冪級數n2xn?1的收斂域與和函數。

思路分析：通過定理2求收斂半徑，由于系數an為整式，先逐項積分，再微分求解出和函數。

解：an=n2，an+1=（n+1）2，則收斂半徑為

。

當x=?1時，級數n2xn?1=（?1）n?1n2發散，當x=1時，n2xn?1=n2發散，故收斂域為x（?1，1）。

設該冪級數收斂于和函數S（x），則有

S（x）=n2xn?1=1+4x+9x2+16x3+...

對和函數S（x）逐項積分，有

，

即S（x）dx=。

對上式左右兩邊微分，則

，

即S（x）?S（0）=，且S（0）=0，故和函數為S（x）=，x（?1，1）。

例2：討論冪級數的收斂域，并求和函數。

思路分析：該題冪級數缺偶次冪的項，可用比值法求收斂半徑，再討論在兩端點的斂散性，得到收斂域。由于系數an為分式，因此可逐項微分，再積分得到該冪級數的和函數。

解：已知un（x）=，un+1（x）=，

令，

∴ ?1

當x=?1時，級數發散，

當x=1時，級數發散，即該級數的收斂域為（?1，1）。

設該冪級數收斂于和函數S（x），則有

S（x）==…

對和函數S（x）逐項微分，

S'（x）==x2n=1+x+x2+x3+…

=，

即S'（x）=。

對上式左右兩邊從0到x積分，得

S（x）?S（0）=，S（0）=0，

故和函數為S（x）=，x（?1，1）。

通過系數求解標準型冪級數anxn的收斂半徑，或者將所給冪級數換元為標準型，對于有缺項的冪級數可以采用比值法，得到收斂區間（?r，r），然后考慮端點處級數的斂散性，從而得到級數anxn的收斂域。求解冪級數的和函數時，若冪級數的系數an為整式，先逐項積分，再微分;若冪級數的系數an為分式，先逐項微分，再積分。對本節課進行教學設計時，教師要根據學生的基礎和掌握情況，有針對性地選擇教學方法，引導學生進行概括、歸納、總結，才能使學生的解題能力得以提升。

【參考文獻】

[1]劉玉璉等編.數學分析講義.下冊[M].北京：高等教育出版社，

2008.

[2]邱云蘭.冪級數收斂性以學定教模式的研究[J].牡丹江教育學院學報，2018（12）.

[3]呂端良，王云麗.廣義冪級數收斂域的求法[J].科技信息，

2013（17）.

[4]蔣國強.一類冪級數收斂半徑的統一求法[J].高等函授學報

（自然科學版），2003（3）.

[5]劉洋.冪級數收斂半徑和收斂域的求解探討[J].數理化解題研究，2020（6）.

【作者簡介】

楊婷梅（1991～），女，廣東化州人，碩士，助理講師。研究方向：常微分方程的理論與應用。

龍能（1992～），女，廣東茂名人，碩士，助理講師。研究方向：常微分方程的理論與應用。

*基金項目：本文系茂名市教育科學“十三五”規劃2020年度研究項目“運用數學分析‘微教學培養高職高專學生創新能力的實踐研究”（項目編號：mjy2020023）研究成果。