定積分在解析變力做功問題中的應用

【摘 要】從物理學角度來看，變力做功問題在解答過程中較為復雜。為了進一步提升解題效率，本文從定積分的角度出發(fā)，結(jié)合物理學做功問題的實際解答需求進行綜合分析，闡述了定積分的基礎概念以及幾何背景，從微元法的角度解答變力做功問題。意在進一步提升解答物理實際問題的可操作性，同時為定積分在解答物理抽象問題中的應用提供參考

依據(jù)。

【關鍵詞】定積分;物理學;變力做功問題

【中圖分類號】G712? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）28-0007-02

在物理教學中為學生提供基礎的解題理論，能夠在提高解題準確性的同時，為學生解答復雜問題奠定基礎。在物理學的教學過程中，解答變力做功問題一直都是教學重點，同時也是學生在解題過程中存在較多問題的部分，而定積分理論是建立在高等數(shù)學基礎上的基礎性解題理論，能夠有效反映幾何意義，將其應用于解答物理學中的復雜問題，能夠取得較好的效果。因此，分析定積分的基礎概念以及幾何背景，探究其在物理學中的實際應用，不僅是本文論述的重點，也是進一步提升物理教學質(zhì)量的關鍵。

1? ?定積分理論的基礎概念及幾何背景

從基礎概念角度來看，定積分是積分的一種表達形式，是函數(shù) f（x）在區(qū)間[a，d]上積分和的極限，定積分往往是由一個具體數(shù)值表現(xiàn)出來的。定積分最先出現(xiàn)在高等數(shù)學教材中，是通過分析曲邊梯形面積的求解以及變速直線運動路程等案例之后整合出來的學習理論，構(gòu)建了定積分的基礎知識背景[1]。

教學研究表明，定積分在物理學中也有一定的應用，如物理學中的變力做功以及轉(zhuǎn)動慣性等問題都可以利用合適極限進行求解。這也就是定積分體系中的微元法，是建立在分割、取近似值、求和以及取極限的基礎上的。

2? ?定積分在物理變力做功問題中的實際應用

從物理學的角度來講，變力做功問題有不同的類型。因此在解答的過程中，筆者選取了不同的例題進行針對性分析，結(jié)合每一種做功的實際情況，利用定積分的微元法進行解答。

2.1? 微元法在摩擦力做功問題中的應用

例1：一個物體在光滑的水平面上沿著OX軸的正前方行進，水平面的摩擦系數(shù)不相同，因此，水平面在物體行進過程中產(chǎn)生的摩擦力是變力，已知水平面中某一段的摩擦力數(shù)值大小會跟隨坐標x的變化而變化，其規(guī)律為 f=1+x（x>0），那么當x=0至x=4米這一段路程中，摩擦力做功的大小是多少？

在利用微元法進行解答時，首先根據(jù)給出的問題，已知摩擦力本身是一個變力，會隨著x的變化而變化，那么就不能代入原有的直線運動做功公式。原有的做功公式中F本身是恒力，它的方向以及大小是不變的，在該問題中摩擦力的實際數(shù)值為變力 f=1+x，物體正沿著OX軸的正前方運動，那么設定其位移元為dx→0，那么摩擦力是與該方向相反的，因此是負值。力和位移方向之間的夾角設置為α=π，cosα=cosπ=?1，因此可以在物體運動正方向的區(qū)間內(nèi)任意選取一個區(qū)間，在這個區(qū)間內(nèi)，其運動的力可以充當為恒力做功，那么摩擦力所做的元功表達方式為dA= fcosαdx=?（1+x）dx，因此物體在0至4米這段路程運動中，其摩擦力做功為：

由于該物體在運動過程中受到摩擦力影響，所做的功為負，那么最終的答案為12 J。

2.2? 微元法在彈力做功問題中的應用

例2：拉伸一個彈簧，在這個過程中需要用到的力和彈簧的伸長數(shù)值呈正比關系，可以利用F=kx進行表達，這其中的k為比例系數(shù)。現(xiàn)在已知彈簧被拉長的數(shù)值為

20 厘米，那么需要用的力為1 N，若想讓彈簧的長度伸長至60 厘米，那么所要用的外力做功數(shù)值為多少？

首先根據(jù)給出的問題進行分析，由于彈簧在拉長期間，彈力會隨著伸長量變化，同時與x是正比關系，那么可以將其代入公式F（x）=kx，可以得出 f（x）為5x。從邏輯分析角度來看，由于彈性力是存在連續(xù)變化的函數(shù)，那么從物理學角度來講，這是一種變力，可以利用定積分的定義法進行判斷。在一個微小區(qū)間中， f 可以作為常量處理，并且沿著彈簧拉伸的方向，將其設置為x軸的正方向，可以將x作為積分變量，則x所在的區(qū)間為[0，0.6]。

然后在這個區(qū)間中，分化成n個不同的小區(qū)間，并且在每一個小區(qū)間中任意選擇一點，能夠得出F（x）= f（ξi），分析每一個小區(qū)間中移動的力所做的功，并且將其視為恒力作用在直線上的功，此時若將每一個區(qū)間上的點定義為ξi，那么代入公式之后可以得出近似值。然后再通過和式極限值，利用定積分進行求解：

2.3? 微元法在電場力做功問題中的應用

從物理學角度來看，電場力做功問題是學生在中學階段學習到的變力做功問題。從客觀條件來看，勻強電場內(nèi)帶電粒子或者物體正處于移動狀態(tài)時，它們產(chǎn)生的恒定電場力對該物體或者粒子所做的功，往往可以直接套用電場力做功公式來求解。但是在當前高等物理學電學領域中，電場力做功問題面臨的條件較為復雜，無法套用原始的電功公式求解，因此可以建立在其運動規(guī)律以及客觀條件的基礎上，利用定積分的微元法求解[2]。

例3：在r軸的坐標原點O上，有一點電荷，其場源電荷帶電量為+q，它自身產(chǎn)生了一個電場，現(xiàn)一電量值為+q0

的檢驗電荷在這個電場中沿著r軸的正方向，從a點移動到b點，那么電力場對它所做的功為多少？

針對這樣的問題，首先可以得出檢驗電荷在從a點向b點移動期間，受到的電力場為變力，同時由于該檢驗電荷是在r軸沿著正方向進行移動的，因此r可以定位為積分變量，在這個變量中，對變化區(qū)間進行分割之后選取任意一個小區(qū)間，并且根據(jù)其實際的數(shù)值變化情況建立坐標系。

可以在每一個小坐標區(qū)間內(nèi)，將電力場對該移動電荷所做的功看作是一個恒力，并且將其定義為dA，然后將其代入公式：

其中k為靜電力常數(shù)，ε0為真空介電常數(shù)。

接下來將得出的dA值疊加起來，利用定積分計算求解，代入公式：

2.4? 微元法在氣體膨脹或壓縮功問題中的應用

在一個密閉的容器中，氣體在壓縮或者膨脹狀態(tài)下，隨著氣體壓強的改變，作用在活塞上的壓力也會變化，為了確保活塞能夠始終維持平衡狀態(tài)，需要外加力推動活塞，對氣體做功，這便是氣體膨脹或者壓縮狀態(tài)下做功的相關問題。在該種條件下，不能套用原有的壓力做功公式，可以根據(jù)定積分微元法，將這種變力做功的條件轉(zhuǎn)化成為恒力做功條件，可以在選定區(qū)間內(nèi)將其分割為不同的小區(qū)間，然后通過小區(qū)間內(nèi)恒力做功求解、疊加求和的方式，利用定積分進行解答。

例4：在一個面積為s的圓柱形容器中，存有一定量的氣體，通過等溫膨脹之后，容器瓶口底面積為S的活塞從a點被推到了b點，求在這個過程中氣體壓力所做的功。

首先，根據(jù)給出的條件可知，在氣體膨脹期間壓強的變化是變力，但是底面積是恒定的，利用壓強公式能夠得出氣體作用在活塞上的壓力會隨著壓強的變化而變化，同時氣體膨脹區(qū)間劃分成為n個小區(qū)間之后，會沿著活塞推動的方向做功，由此可將活塞運動的方向設置為x軸正方向，這其中的x為變量，在整體運動區(qū)間中選取任意一個小區(qū)間，在該區(qū)間內(nèi)氣體的變化壓強可以看作是恒力，接下來建立在容器內(nèi)部氣體當前所處的物質(zhì)量（μ）、溫度（T）、普適氣體常量（R）的基礎上進行綜合分析。將所選定小區(qū)間中所對應的微元dx代入公式：

然后利用定積分對活塞從a向b運動過程中產(chǎn)生的所有氣體壓力A進行求解，將上述微元的數(shù)值疊加起來，便能夠得出總功：

綜上所述，定積分微元法在物理變力做功問題中具有一定的應用價值，可以通過區(qū)間分割、近似值定位、求和以及極限值定位的方式，簡化物理變力做功問題的解答流程，能夠進一步增強學生對變力做功問題的掌握程度。與此同時，教學研究和實踐表明，微元法也可以應用在物理的力學以及電磁學等領域，能夠全面提高高等物理學的教學質(zhì)量，同時可以推進物理學和數(shù)學的融合，對于提升學生的綜合解題能力和知識體系掌控能力有一定的促進作用。

【參考文獻】

[1]陳曉輝，李闊.定積分在幾何、物理學中的簡單應用[J].數(shù)學大世界（上旬），2018（1）.

[2]梁金榮，王善勤.定積分在解析變力做功問題的應用研究[J].山東農(nóng)業(yè)工程學院學報，2018（12）.

【作者簡介】

劉莉（1985～），女，漢族，河北淶源人，碩士，講師。研究方向：高職數(shù)學。