對一道電荷量求解問題的探討

高 飛

（安徽省界首第一中學，安徽 界首 236500）

2021屆“江南十校”一模聯考理綜卷第20題選擇題原題如下.

例題.如圖1，矩形導線線框水平固定放置，框中有磁感應強度大小為B、方向豎直向下的勻強磁場，導線的電阻分布均勻，ab=L，bc=2L，長度L的導線電阻為R.與線框材料相同，橫截面積也相同的導體棒MN兩端搭接在ad和bc上，MN在水平外力F的作用下，從緊挨ab處（與ab不接觸）勻速運動到cd附近.MN與線框始終保持良好接觸，在運動過程中：

圖1

（A）導體棒MN中電流的方向由N到M.

（B）導體棒MN兩端的電壓變化量與流經它的電流變化量的絕對值之比先增大，后減小.

（C）導體棒MN運動到線框中點過程中，線框abcd中電流功率先增大，后減小.

（D）導體棒MN運動到線框中點過程中，通過MN的電荷量為

本題前3個選項不做求解，重點分析第4個選項的求解過程.

錯解1：學生已經學習了法拉第電磁感應定律，教師也重點強調過相關計算導體棒運動過程中電荷量的計算公式，

由（1）-（3）式得

由（4）、（5）式得

此解錯誤的原因主要是在計算過程中只考慮在導體棒向右運動到中點過程中，左側面積的變化，忽略了右側面積的變化，沒有理解該公式應用的實質條件.

錯解2：對于基礎知識稍微強的學生，可能會考慮到面積左右兩側變化，不能直接運用（4）式公示進行求解，對導體棒應用動量定理來求解.

由（7）、（8）式得

由（9）式得

由于導體棒從左向右勻速運動，所以時間

由（10）、（11）式得

通過計算得出這個結果，雖能排除第4個選項不正確，但是，這個結果也是不正確的.其一是在計算過程中，學生忽略了拉力F不是恒力，而是變力；其二，勻速運動過程中速度v并未給出.

本題正確解法：可以通過電荷量的定義式來處理，但是由于在運動過程中，整個回路中電流發生改變，用微積分思想來處理.

圖2

如圖2所示，假設單位長度電阻r，導體棒勻速運動的速度為v，當勻速運動時間t時，導體棒左側回路電阻

右側回路電阻

則回路中總電阻

導體棒切割磁感應線產生電動勢為

流過導體棒總電流

則流經導體棒的電荷量微分表達式

由（13）-（18）式得

有積分公式

將x=vt-L代入（20）式并聯立（19）、（20）式得

（21）式應該是本題第4問所要求的解，考慮到單位長度電阻R=Lr，則（21）式可寫為

為了更能形象地反映出在導體棒運動過程中流過導體棒的總電荷量隨時間的變化關系，這里通過matlab編程計算，并對（21）式中B、L、r賦值，賦B=0.1T，r=0.017Ω/m，L=2m.通過excel作圖畫出了qt的變化關系圖，如圖3所示.

圖3

通過圖像擬合，近似是一條一元二次函數.隨著時間的增加，流過導體棒的總電量也在逐漸增加，但增加的越來越慢.

對于一道物理常規考題，可以通過學生不同解法，反映出學生對該知識點的理解和認識程度.同時可以通過圖像，向學生展示美麗的物理圖像，進而讓學生領悟到最終簡潔與和諧之美，即理性之美.［1］在以后競賽輔導中也可以從一般考題逐漸提升到競賽，使學生做到對某一知識點掌握系統且深入，真正達到學以致用.