兩個(gè)不等量異種點(diǎn)電荷靜電場(chǎng)的研究及其應(yīng)用

許冬保

（九江市第一中學(xué)，江西 九江 332000）

1 兩個(gè)不等量異種點(diǎn)電荷靜電場(chǎng)的研究

1.1 電場(chǎng)線與等勢(shì)面分布圖

在真空中，有兩個(gè)不等量的異種點(diǎn)電荷.若取q1=2｜q2｜，借助于軟件 MATLAB，可以得到其電場(chǎng)線與等勢(shì)面分布圖，［1］如圖1所示（原圖僅保留圖形，參數(shù)及背景作了處理）.圖1中，左邊是正的點(diǎn)電荷，電荷量為q1，右邊是負(fù)的點(diǎn)電荷，電荷量為-q2.圖1相對(duì)于兩個(gè)等量的異種點(diǎn)電荷的電場(chǎng)線與等勢(shì)面分布圖（圖2）有很大的不同.電場(chǎng)線與等勢(shì)面對(duì)兩點(diǎn)電荷連線對(duì)稱，對(duì)中垂線不對(duì)稱.圖1表明：從電荷量大的正電荷發(fā)出的電場(chǎng)線較多，到電荷量小的負(fù)電荷終止的電場(chǎng)線較少.等勢(shì)線在接近電荷的地方類似于圓或橢圓，在較遠(yuǎn)處的等勢(shì)線發(fā)生扭曲.

圖1 兩個(gè)不等量異種點(diǎn)電荷電場(chǎng)線與等勢(shì)面分布圖

圖2 兩個(gè)等量異種點(diǎn)電荷電場(chǎng)線與等勢(shì)面分布圖

1.2 兩點(diǎn)電荷連線上場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的分析

在兩點(diǎn)電荷連線上研究電勢(shì)與場(chǎng)強(qiáng)的變化規(guī)律具有實(shí)際意義與應(yīng)用價(jià)值.

如圖3所示，若q1=2｜q2｜=2q，令兩點(diǎn)電荷之間的距離為l，靜電力常量為k.為簡(jiǎn)單計(jì)，僅分析坐標(biāo)原點(diǎn)右側(cè)的情形.根據(jù)真空中場(chǎng)強(qiáng)及電勢(shì)的計(jì)算公式及場(chǎng)疊加原理，可以得到

圖3 兩個(gè)不等量異種點(diǎn)電荷電場(chǎng)的分析

討論如下.［2］

（1）在兩點(diǎn)電荷之間的連線上，即（0＜x＜l）區(qū)域.

對(duì)（1）式求導(dǎo)數(shù)，有

當(dāng)x≈0.558l時(shí).因此，場(chǎng)強(qiáng)E有極小值.對(duì)應(yīng)場(chǎng)強(qiáng)大小為

（2）在兩點(diǎn)電荷連線外側(cè)（圖3中右側(cè)），即（l＜x＜∞）區(qū)域.

對(duì)（2）式求導(dǎo)數(shù)，有

當(dāng)x≈4.846l時(shí)因此，場(chǎng)強(qiáng)有極大值.對(duì)應(yīng)場(chǎng)強(qiáng)大小為

令（4）式為0.得x=2l處，電勢(shì)為0.

對(duì)（4）式求導(dǎo)數(shù)，有

可見，當(dāng)E=0時(shí)，有

注意：若令（2）式為0，所得結(jié)果與之相同.以上結(jié)果表明，場(chǎng)強(qiáng)為0的點(diǎn)，相應(yīng)的電勢(shì)取極大值.

1.3 兩點(diǎn)電荷連線方向上場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)隨距離變化的圖像

若取兩點(diǎn)電荷連線為x軸，原點(diǎn)O在正點(diǎn)電荷處.綜上分析，可以定性畫出場(chǎng)強(qiáng)、電勢(shì)隨x變化的曲線.圖4、圖5所示.在圖4中，取x正方向?yàn)閳?chǎng)強(qiáng)方向.由圖4可知：-∞＜x＜0，場(chǎng)強(qiáng)E隨｜x｜減小而增大；0＜x＜l，場(chǎng)強(qiáng)E隨x增大，先減小后增大；l＜x＜∞，場(chǎng)強(qiáng)E隨x增大，先減小后增大再減小，存在場(chǎng)強(qiáng)E為0的點(diǎn)，并且場(chǎng)強(qiáng)E從0增大所能達(dá)到的峰值小于在0＜x＜l區(qū)域內(nèi)的極小值.

圖4 兩點(diǎn)電荷沿連線方向上Ex圖像

在圖5中，無窮遠(yuǎn)處φ=0.由圖5可知：-∞＜x＜0，電勢(shì)φ隨｜x｜減小而增大；0＜x＜l，電勢(shì)φ隨x增大逐漸減小，其中B點(diǎn)電勢(shì)φ=0.A點(diǎn)對(duì)應(yīng)場(chǎng)強(qiáng)E最小的點(diǎn)，其距離原點(diǎn)O的距離較B點(diǎn)近；l＜x＜∞，電勢(shì)φ隨x增大，先增大后減小，存在電勢(shì)φ為0的C點(diǎn)，且D點(diǎn)電勢(shì)φ最大.

圖5 兩點(diǎn)電荷沿連線方向上φx圖像

綜上，在x軸上，除無窮遠(yuǎn)處之外，存在場(chǎng)強(qiáng)E為0的點(diǎn)一處，且位于兩點(diǎn)電荷連線之外靠近負(fù)電荷處（即在l＜x＜∞區(qū)域內(nèi)）.同時(shí)，在l＜x＜∞區(qū)域內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)E為0的點(diǎn)電勢(shì)最高；除無窮遠(yuǎn)處之外，存在電勢(shì)為0的點(diǎn)有兩處，一處在兩點(diǎn)電荷連線之間靠近負(fù)電荷處（即在0＜x＜l區(qū)域內(nèi)），另一處在連線外側(cè)靠近負(fù)電荷處（即在l＜x＜∞區(qū)域內(nèi)）.

1.4 兩點(diǎn)電荷連線方向上場(chǎng)強(qiáng)為0處電場(chǎng)線的分布

如上所述，在兩點(diǎn)電荷連線之外側(cè)靠近負(fù)的點(diǎn)電荷處場(chǎng)強(qiáng)為0，場(chǎng)強(qiáng)為0的點(diǎn)沒有電場(chǎng)線通過，但是該點(diǎn)之外存在電場(chǎng)，因此，場(chǎng)強(qiáng)為0的點(diǎn)是一個(gè)很特殊的“拐點(diǎn)”，如何畫出該點(diǎn)附近的電場(chǎng)線呢？如圖6（甲）所示，是大學(xué)電磁學(xué)［3］教材上的一幅插圖，且正電荷所帶電荷量是負(fù)電荷所帶電荷量絕對(duì)值的兩倍.圖6（甲）中右側(cè)電場(chǎng)線分布4個(gè)箭頭，其含義是場(chǎng)強(qiáng)為0的“拐點(diǎn)”處電場(chǎng)線分布的多樣性.為便于分析實(shí)際問題，基于高中學(xué)生的認(rèn)知水平，將圖6進(jìn)行編輯，得到如圖6（乙）、（丙）所示的圖形.

圖6 不等量異種點(diǎn)電荷電場(chǎng)線分布圖

2 實(shí)例分析

2.1 作為電場(chǎng)中一般性問題進(jìn)行考查

例 1.（2020 屆 湖北省華師一附中高三下學(xué)期4月測(cè)試題）如圖7所示，實(shí)線為兩個(gè)點(diǎn)電荷Q1、Q2產(chǎn)生的電場(chǎng)的電場(chǎng)線，虛直線cd為Q1、Q2連線的垂直平分線，O為垂足，c、d兩點(diǎn)在垂直平分線上且關(guān)于Q1、Q2連線對(duì)稱.一電子只在電場(chǎng)力的作用下從a點(diǎn)沿虛曲線途經(jīng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn).下列說法正確的是

圖7 電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡圖

（A）Q1的電荷量小于Q2的電荷量.

（B）c、d兩點(diǎn)的電勢(shì)相同，場(chǎng)強(qiáng)相同.

（C）電子過O點(diǎn)時(shí)的加速度大于過a點(diǎn)時(shí)的加速度.

（D）電子在O點(diǎn)時(shí)的電勢(shì)能小于在a點(diǎn)時(shí)的電勢(shì)能.

解析：根據(jù)題圖7所示的電場(chǎng)線的分布，可知兩電荷為不等量異種電荷，且Q1的電荷量大于Q2的電荷量，選項(xiàng)（A）錯(cuò)誤；由電場(chǎng)線對(duì)兩電荷連線上、下分布的對(duì)稱性知，c、d兩點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向不同，但c、d兩點(diǎn)的電勢(shì)相等，選項(xiàng)（B）錯(cuò)誤；電場(chǎng)線的疏密程度表示場(chǎng)強(qiáng)的弱強(qiáng)，EO＞Ea，電子僅受電場(chǎng)力，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律可知電子過O點(diǎn)時(shí)的加速度大于過a點(diǎn)時(shí)的加速度，選項(xiàng)（C）正確；電子帶負(fù)電，電子所受合外力指向軌跡的凹側(cè)，所以Q1帶正電，Q2帶負(fù)電.作出通過O點(diǎn)的等勢(shì)線，可知該等勢(shì)線在a點(diǎn)與電荷Q1之間，因此，電子由a點(diǎn)至O點(diǎn)電場(chǎng)力做正功，電勢(shì)能減少，選項(xiàng)（D）正確.綜上，正確選項(xiàng)是（C）、（D）.

點(diǎn)評(píng)：試題取材兩個(gè)不等量異種點(diǎn)電荷電場(chǎng)線分布圖，討論有關(guān)靜電場(chǎng)的基本問題.該題不涉及場(chǎng)的分布特點(diǎn)，屬簡(jiǎn)單題.主要考查理解能力及簡(jiǎn)單的推理論證能力.

此地為“絲綢之路”之要道。早在2800多年前，這里就有人類繁衍生息，在這樣一個(gè)充滿歷史記憶和特殊人文地理的地方，如何以藝術(shù)的方式進(jìn)一步闡釋其文化訴求，并拉動(dòng)區(qū)域經(jīng)濟(jì)和文化資源，是擺在我們面前的問題。因而，實(shí)現(xiàn)這一構(gòu)想，找到闡釋這一構(gòu)想的切入點(diǎn)，就成為決定事情成敗的關(guān)鍵。因此，專家團(tuán)在縣領(lǐng)導(dǎo)的引導(dǎo)下，數(shù)次進(jìn)行了實(shí)地考察。

2.2 對(duì)兩點(diǎn)電荷之間連線設(shè)問考查

例2.（2020年江西九江第一中學(xué)模擬試題）在x軸上有兩個(gè)點(diǎn)電荷Q1和Q2，二者之間連線上各點(diǎn)的電勢(shì)高低變化曲線如圖8所示，若選無窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為0.以下結(jié)論正確的是

圖8

（A）Q1為正電荷、Q2為負(fù)電荷.

（B）從A到B場(chǎng)強(qiáng)一直減小.

（C）P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為0.

（D）Q1和Q2之間連線上P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)最小.

解析：由φx圖像知，沿x方向從A到B，電勢(shì)由正值變?yōu)樨?fù)值，一直在降低，且P點(diǎn)的電勢(shì)為0.因此，場(chǎng)強(qiáng)方向由A指向B；Q1為正電荷、Q2為負(fù)電荷.由圖像還可以得到：圖線斜率的絕對(duì)值先減小后增大，該斜率大小表示場(chǎng)強(qiáng)大小.因此，從A到B沿x方向，場(chǎng)強(qiáng)先減小后增大，P點(diǎn)不是場(chǎng)強(qiáng)最小的點(diǎn).綜上，正確選項(xiàng)是（A）.

點(diǎn)評(píng)：本題對(duì)兩個(gè)不等量異種點(diǎn)電荷連線之間電場(chǎng)的性質(zhì)進(jìn)行考查.分析的關(guān)鍵在于理解φx圖像中某點(diǎn)切線斜率的絕對(duì)值表示場(chǎng)強(qiáng)大小，即而場(chǎng)強(qiáng)方向由電勢(shì)的升降來確定.對(duì)照?qǐng)D5還可以分析得到，Q1電荷量大于Q2的電荷量.在一些輔導(dǎo)資料中，由于圖8曲線畫法的錯(cuò)誤，致使選項(xiàng)（D）選擇的錯(cuò)誤（認(rèn)為（D）正確）.試題主要考查理解能力與推理論證能力.

2.3 對(duì)兩點(diǎn)電荷連線外側(cè)設(shè)問考查

例3.（2017年江蘇高考物理試題）在x軸上有兩個(gè)點(diǎn)電荷q1、q2，其靜電場(chǎng)的電勢(shì)φ在x軸上分布如圖9所示.下列說法正確有

圖9

（A）q1和q2帶有異種電荷.

（B）x1處的場(chǎng)強(qiáng)為0.

（C）負(fù)電荷從x1移到x2，電勢(shì)能減少.

（D）負(fù)電荷從x1移到x2，受到的電場(chǎng)力增大.

解析：由題圖9并結(jié)合圖5可以得知，在兩個(gè)點(diǎn)電荷中，分布在x軸上左側(cè)的電荷量較大，且為正電荷.如上所述，φx圖像某點(diǎn)切線斜率的絕對(duì)值表示場(chǎng)強(qiáng)大小，因此，根據(jù)電勢(shì)的變化率可以確定x2處的場(chǎng)強(qiáng)為0；負(fù)電荷從x1移到x2，逆著電場(chǎng)線方向運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力做正功，電勢(shì)能減少；該過程中，負(fù)電荷受到的電場(chǎng)力減小.綜上，正確選項(xiàng)是（A）、（C）.

點(diǎn)評(píng)：該題考查的是兩個(gè)不等量異種點(diǎn)電荷連線外側(cè)電場(chǎng)的有關(guān)性質(zhì).由于x軸上x1處電勢(shì)為0，x2處場(chǎng)強(qiáng)為0，據(jù)此找到x1-x2之間的電場(chǎng)線的分布以及場(chǎng)強(qiáng)的變化規(guī)律.試題主要考查理解能力與推理論證能力.

2.4 對(duì)兩點(diǎn)電荷連線之內(nèi)外側(cè)同時(shí)進(jìn)行設(shè)問考查

例4.（2018年9月清華大學(xué)中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力測(cè)試題）在x軸上的O、M兩點(diǎn)固定兩個(gè)電荷量分別為Q1和Q2的點(diǎn)電荷，規(guī)定無限遠(yuǎn)處電勢(shì)為零.一帶負(fù)電的試探電荷在x軸上各點(diǎn)所具有的電勢(shì)能隨x發(fā)生變化的關(guān)系圖線如圖10所示，其中試探電荷在A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)能為0，在BD段中C點(diǎn)電勢(shì)能最小，則下列說法中正確的是

圖10

（A）Q1的電荷量大于Q2的電荷量.

（B）Q1為負(fù)電荷，Q2為正電荷.

（C）試探電荷在由B到C的過程中加速度逐漸增大.

（D）試探電荷由B運(yùn)動(dòng)到D的過程中，在C處的速度最大.

解析：為方便分析，取試探電荷的電荷量為-1C，則圖中描述的是電勢(shì)φ隨x變化的規(guī)律（注意圖線對(duì)x軸上、下翻轉(zhuǎn)）.由于A點(diǎn)電勢(shì)為0，且圖中OA間距較AM較大，則Q1電荷量較大，且Q1為正電荷，Q2為負(fù)電荷.由于電勢(shì)變化率的值等于場(chǎng)強(qiáng)大小，在x軸上由B至D，場(chǎng)強(qiáng)先減小后增大，顯然，C處對(duì)應(yīng)的場(chǎng)強(qiáng)為0，C處兩側(cè)場(chǎng)強(qiáng)的方向相反.即BC段對(duì)應(yīng)的場(chǎng)強(qiáng)方向向左，CD段場(chǎng)強(qiáng)方向向右.帶負(fù)電的試探電荷在由B到C的過程中加速度逐漸減小.帶負(fù)電的試探電荷由B運(yùn)動(dòng)到D的過程中，電場(chǎng)力先做正功后做負(fù)功，故在C處試探電荷的速度最大.綜上，正確選項(xiàng)是（A）、（D）.

點(diǎn)評(píng)：該題以帶負(fù)電的試探電荷的Epx圖像為情境，比較全面地考查兩個(gè)不等量異種點(diǎn)電荷連線上電場(chǎng)的變化規(guī)律，要求能將Epx圖像轉(zhuǎn)化為φx圖像.對(duì)理解能力、模型建構(gòu)能力及推理論證能力的要求較高.