立足生本 精心引導
——對“等比數列的前n 項和”（第一課時）一節課的剖析與啟示

李平香 陳中峰

（1.三明市第二中學，福建 三明 365000；2.福建省普通教育教學研究室，福建 福州 350001）

2020 年12 月1 日-4 日，“第十屆高中青年數學教師課例展示與培訓活動”在福建省廈門市舉行，通過8個分會場和1 個主會場共展示了90 節優質課、1 節現場觀摩課，課型豐富，內容涉及高中數學主要內容.筆者通過觀摩“等比數列的前n 項和”（第一課時）的錄像課以及執教者的現場展說，現就本節課的課例點評展示如下，請批評指正.

“等比數列的前n 項和”（第一課時）一節課較好地體現了“以學生發展為本”的教育理念.教學中，教師基于對學生已有知識：等差數列前n 項和公式與等比數列定義；已有方法：圖解、通分、倒序相加、裂項相消法求和；待生成的方法：錯位相減法之間的關系深入分析.采用了“學本課堂”教學模式，以6 人小組為單位進行合作探究，引導學生重點探究了錯位相減法的生成過程，進而推導出等比數列的前n 項和公式并進行簡單應用.課堂上，教師能在基于學情的基礎上，引導學生明晰運算對象，理解運算對象，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算流程，求得運算結果［1］，在豐富的數學探究活動中，發展學生運算能力，培養數學運算素養，展示了以生為本、以學為基、導學自如、和諧共長的學本課堂.

一、亮點剖析

1.目標清晰，過程流暢

2.學生表現，精彩紛呈

上臺展講的同學都彬彬有禮、謙和大方、板書工整、作答規范、講解到位、語言精練、教態自然，都是優秀的“小老師”，這正是教師長期堅持“學本課堂”教學的最好展示.回顧學生的精彩瞬間有：精彩1.在探究的運算結果時，學生甲能迅速根據“一尺之棰，日取其半”情境中的內涵迅速求得結果，即用1 減去截取6 天之后的剩余部分；精彩2.在教師引導學生再用已有的數列求和的方法求解時，學生乙能很規范地用裂項相消法作答并展講清楚；精彩3.在探究的解法時，更精彩的是學生丙能類比學生乙的裂項方法，即把每一項裂成它的前一項與自身的差，再乘以常數學 生 丙不僅作答好，更把“如何想到”講得好；精彩4.學生丁能夠根據等比數列的定義，結合分數的合比定理得到發現分子、分母也可作為求和的研究對象進行探究.

3.文化滲透，適宜合理

課堂上，從莊子曰“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的情境導入，后面通過錯位相減法運算的結果后，教師及時引導學生從極限的角度看運算的結果，即當n→+∞時，Sn→1，但Sn<1，體會“萬世不竭”中蘊含的極限思想；在例題1 中求S64=1+2+4+…+264=264-1的結果之后，用“國王賞麥粒”的故事說明數學式子背后的故事，寓意深刻.這兩個數學文化故事的內涵解釋合理，文化滲透適宜，讓學生體會“用數據說話”，學習要有效借助運算方法解決實際問題，即用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界，特別要注意形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神，切不可向“國王賞麥粒故事中的國王”那樣，沒有經過運算就輕易“許諾”，事實上，通過運算結果與生產實際情況一合計，國王根本不可能實現他的承諾.所以，要養成用數據說話的習慣.

4.課件制作，精美直觀

教師的課件制作精美、直觀、形象、生動.課堂上能充分運用現代信息技術輔助教學，特別是在“一尺之棰，日取其半”情境引入，以及在裂項相消法求和的基礎上，生成錯位相減法過程中，用動畫顯示相同的項，并且移動相同的項的位置，動靜結合，形象直觀，展現數學的統一、和諧、直觀美.

二、問題商榷

1.學生的精彩生成沒有及時加以合理回應

課堂因生成而精彩.課堂是師生共同創造的一段愉快的旅行，是教師的“導”與學生的“學”同頻共振、聯動共生而彈奏出的一曲交響樂.教學過程中，學生的精彩生成，教師應當及時加以合理回應，順勢而為，乘勢而上.如課堂上在探究的解法時，有幾乎一半以上的同學都能用裂項相消求和的方法求得結果，上臺展講的學生丙能類比學生乙的裂項方法，即把每一項列成它的前一項與自身的差，再乘以常數，進而，用裂項相消法成功求和.教師此時，應抓住這一精彩生成，引導學生探究“美麗成果”，即是不是等比數列中的項都能按此規律裂項呢？事實上，等比數列從第二項起都可以按此規律裂項，假設an=k(an-1-an)(n≥2)（k是常數），整理，得所以，解得k=從而，所以，由，利用裂項相消法，順勢推導出等比數列的前n項和公式，而且，從裂項公式an=可以看出，當時，an=an-1-an(n≥2）是“最理想”的裂項求和模型.因此，教師課堂上選擇了公比為的數列進行裂項，并在裂項相消求和的基礎上生成了錯位相減法.再如，學生丁根據等比數列的定義結合分數的合比定理得到，發現分子、分母也可作為研究對象時，教師仍然沒有順著學生的思維進行引導探究.實際上，此時，教師一方面，可以引導學生觀察對比分數的分子、分母與目標的差異，學生可以立即發現分子、分母比都只少一項，由方程的思想得，解得S6，再推廣到一般的等比數列，即由等比數列的定義，由合比定理得，，得到，進而，解得，同樣可以推導出等比數列前n項和公式.另一方面，還可以再增加一項比值，如，即，解得S6，再推廣到一般的等比數列，可以推導出等比數列前n項和公式；也可以把分子、分母中轉為教師課件中預設的兩個和①式、②式，再引導學生觀察①式、②式中每個數的關系及其①式、②式之間的關系.

綜上，學生的這些“思考”“討論”都非常合理，教師完全可以及時加以回應，引導學生不斷挖掘運算對象的特征規律，重新規劃運算思路，選擇運算方法，設計運算流程，求得運算結果，把“運算素養”的培養扎根于數學探究活動中.

2.一些探究的問題設置不夠合理

探究讓課堂煥發活力.課堂上，教師應該基于學情，立足數學本質，設置數學探究活動的問題，讓學生在探究“真問題”“好問題”中得到“真發展”，取得“真進步”.所以，教學中如何設置“好問題”讓學生探究，引領學習至關重要.本節課教師選擇了一些有意義但又不太復雜的題目去幫助學生發掘題目的各個方面，從而，設計了用數列求和的方法探究的運算結果，因為這兩個求和項數太少，導致無法快速進入探究本課的核心內容.教師如果在“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的情境導入后，直接問S2021=的結果，這樣，一方面，能把“思考”引向“一尺之棰，日取其半”的情境內涵中，進而快速地得到運算結果；另一方面，也可以把“思考”引向觀察“運算對象”的規律特征，以及“是否有可遷移的經驗”等核心問題上發力，并進而提出如何求一個等比數列的前n項和.

3.個別內容的理解處理欠妥當

教師在課堂上引導學生從裂項相消求和方法中，提煉出了錯位相減法，這是基于學生已經學習了裂項相消求和方法的學情上.但是，教材中錯位相減法并非建立在裂項相消法的基礎上，教材通過“國王賞麥粒”的故事情境引入，抽象概括出：求一個首項為1，公比為2 的等比數列的前64 項和.進而，提出如何求一個等比數列的前n項和呢？教材的意圖是引導學生回顧等差數列前n項和公式的推導過程，即從高斯算法得到啟發，根據等差數列的特征，采用倒序相加法，把求“n個不同數之和”，轉化為求“n個相同數之和”.所以，求等比數列的前n項和Sn=a1+a1q+a1q2+…a1qn-1時，要加強對數學知識的“整體性”認識，同時，注意邏輯的“連貫性”、方法的“普適性”、思維的“系統性”、以及保持思想的“一致性”，善于借助推導等差數列前n項和公式累積的研究經驗，即把“求不同數之和”轉化為“相同數之和”是解決問題的關鍵.所以，首先，應該引導學生回顧“倒序相加”求和中蘊藏著“基本思想”是什么？其“基本思想”是根據等差數列的特征，用“倒序相加法”把“n個不同數之和”轉化為“n個相同數之和”，然后用乘法快速地運算“n個相同數之和”，從而，得到等差數列前n項和公式.然后，引導學生如何把等差數列中已累積的“求和經驗”遷移到“等比數列”，問題的關鍵在于如何根據等比數列的特征，運用代數式的變形方法出現“相同數”.此時，應引導學生回歸到最原始的定義中，根據等比數列的定義，學生很容易發現，前一項乘以公比就變為后一項，因此，把Sn=a1+a1q+a1q2+…a1qn-1，記為①式，用公比q乘①的兩邊，qSn=a1q+a1q2+a1q3+…a1qn，記為②式，①式、②式的右邊有就有(n-1)個相同的項，用①式減去②式，就可以消去這些相同的項，進而推導出等比數列的前n項和公式.教師要善于引導學生將學習過程中已有的研究問題的經驗遷移到新的相似問題情境中，為學生的思維發展搭建平臺，讓學習發生在“最近發展區”.正如章建躍博士所說的：“為學生構建前后一致、邏輯連貫的學習過程，使學生在掌握數學知識的過程中學會思考”［2］，讓學生經歷“研究對象在變，但思想方法不變，研究套路不變”的學習過程.

4.本節課的教學任務完成不理想

本節課是公式推導與應用課，其教學內容有推導等比數列前n項和公式，解析公式中符號的內涵，以及等比數列的相關量a1,an,q,n,Sn等五個量中“知三求二”的運算.課堂上教師用了近35 分鐘的時間進行公式的推導，僅僅用了約5 分鐘的時間進行公式的簡單應用.數列的研究對象是“數”，“運算”貫穿于數列的始終.所以，課堂中教師在引導學生推導公式環節互動要更加高效，才能為后面的“運算”訓練留足時間，確保運算技能的訓練充足、充分，將運算素養的培養扎根于“四基”沃土.

一千個讀者就有一千個哈姆雷特，一千個教者就有一千種好的課堂設計.課堂是遺憾的藝術，也許它的魅力正是因為某種不夠完美.本節課雖然教師在一些問題的處理上欠妥當，但教師能夠立足生本，精心引導，采用啟發式、探究式的教學方法；引導學生自主探究、合作交流；并在“情境中獲取對象”“沖突中設置對象”“探究中生成對象”“特殊到一般中衍生對象”中生成“問題串”；在提出問題、分析問題、解決問題的過程中，引導學生明晰運算對象，理解運算對象，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算流程，求得運算結果［1］；在豐富的數學探究活動中，訓練運算技能，發展運算能力，培養數學運算素養；能夠以生為本、以學為基、導學自如、和諧共長，展示了令人耳目一新的公式推導課.

三、教學啟示

1.整體教學

《普通高中數學課程標準（2017 年版）》從以下三個方面強調了數學的整體性：一是同一主題內容的數學整體性是指一個內容的不同認識層次，不同角度的認識之間內在的一致性、關聯性，以及認識不同方面內容所采用的類似過程與思想方法；二是不同主題內容的數學整體性是指整合不同內容之間所具有的內在聯系；三是統攝性最強、適用性最廣的最高層面上的不同數學思想與方法之間相互融合，形成具有統一性、內在一致性的數學一般觀念的整體性［3］.“等差數列前n項和”與“等比數列前n項和”都是研究數列的前n項和，在求數列連續有限項和時，要注意引導學生“三看”，一看“首末項”：即明確從哪一項加到哪一項；二看“項數”：即明確有連續的幾項相加；三看“項的規律”：即分析通項的規律，若通項規律表現不明顯，可對通項進行適當變形，讓規律展現得更加明顯，然后根據通項規律特征選擇適合的方法求和.所以，對“求數列連續有限項和”這一內容的教學要始終注意構建邏輯連貫的過程，保持思想方法的一致性.所以，在推導等差數列、等比數列前n項和時，要注意采用類似的過程，即通過分析通項特征、遞推關系把“求不同數之和”轉化為“相同數之和”，保持公式推導過程的思想方法一致，經歷“研究對象在變，但思想方法不變，研究套路不變”的學習過程.本節課教師引導學生從裂項相消求和方法中，提煉出了錯位相減法，初看感覺“耳目一新”，但細品就感覺“新的怪異”。因為沒有把前面“等差數列前n項和”建立的邏輯、選用的方法、培養的思維、提煉的思想繼續運用，損壞了邏輯的連貫性、思維的系統性、方法的普適性、思想的一致性，破壞了數學的整體性.

2.守正出新

教材是師生手中的寶藏，課堂教學應以“教材為本”.教學過程中，教師要在正確理解教材的基礎上，融入自己獨到的思考、設問、學識、見識、智慧、語言、聯想、聯串、領悟和歸總，吃透教材，抓住根本，靈活使用，個性創造，讓教材真正成為“手中寶”，讓教學“源于教材，高于教材”［4］.本節課教學使用的教材是人教A 版數學必修5，通過執教者在會場上的答辯，觀摩教師明白了執教者這樣設計錯位相減法教學的緣由，教學設計緣于課本第47 頁的B 組第4 題，題目：已知數列的前n項和，研究一下，能否找到求Sn的一個公式.你能對這個問題作一些推廣嗎？本題安排在“等差數列前n項和”這節課的課后練習中，真的是要從“裂項相消法”中提煉“錯位相減法”嗎？筆者認為：編者的意圖是要鞏固“推導等差數列前n項和”公式過程中累積的求和經驗，讓學生又一次經歷“研究對象在變，但思想方法不變，研究套路不變”的數列求和過程.所以，教師對教材的處理，首先要“守正”，抓住本質，恪守正道，守住“正”，才能確保“出新”符合基本規律，真正令人“傾新”“傾心”.