例談勝戰計在數學問題解決中的運用

徐曉利

摘要：文中首先分析勝戰計與數學問題解決的關系，然后分別舉例印證了瞞天過海、圍魏救趙、借刀殺人、以逸待勞、趁火打劫、聲東擊西六計在數學問題解決中的簡單運用。

關鍵詞：勝戰計;計謀;問題解決

《三十六計》作為我國古代卓越的軍事思想和豐富的斗爭經驗總結而成的兵書，是我國古代兵家計謀的總結和軍事謀略學的寶貴遺產，包括：勝戰計、敵戰計、攻戰計、混戰計、并戰計和敗戰計等六套計謀，每一套都包含有六條計謀，總共是六六三十六計。勝戰計包括：瞞天過海、圍魏救趙、借刀殺人、以逸待勞、趁火打劫、聲東擊西六計。勝戰計，是指在敵弱我強的條件下，根據對手的具體情況采取相應的行動。此計要求在戰前要具備取勝的條件、方案和把握，而后在戰斗中通過計謀的運用，將我方的優勢發揮得淋漓盡致，從而戰勝敵人，獲得更大勝利。在數學知識的學習中，數學問題的提出，數學問題的解決，比如數學定理的證明、數學公式的推導、數學題目的計算等等，所針對或者研究的對象有一定的固定性，學習者的活動主要是智力活動，思路可以更加開闊，所以只要思維嚴謹，過程真實可信，可以運動一切手段，數學問題的解決符合勝戰計的使用條件。文中我們結合實例，談一談勝戰計在數學問題解決中的運用。

1.第一計 瞞天過海

數學證明有著邏輯的嚴謹性和體系的完備性，所以人們往往認為定理的證明，公式的運用，是理所當然的，不去深入思考，往往會造成對數學的神化，以至于在學習的過程中，無法看到數學中隱藏的問題。數學中，有時看似簡單的關系，也會包含著復雜的東西，不能簡單的認為關系簡單。有時，看似最簡單的關系，甚至隱藏著最復雜的道理。比如，我們熟知的平行公理，“在平面上，過直線外一點只能作一條直線與已知直線平行”，它是表述復雜的歐幾里得第五公設：“如果一條線段與兩條直線相交，在某一側的內角和小于兩直角和，那么這兩條直線在不斷延伸后，會在內角和小于兩直角和的一側相交。”的等價命題。《幾何原本》問世后，試證第五公設的活動也開始，人們陸續給出各種證明，但都犯了同一種錯誤：在論證過程中不知不覺地引進了未加證明的新假設，實際上它是不可證明的。平時的數學學習中，遇到公設、公理，大多數人都習以為常的認為這是不證自明的，而不加以思索。然而認識到它的不可證明性時，俄國數學天才羅巴切夫斯基卻產生了一個新的想法，他決定利用反證法來證明此條公理，首先他得到了一個否定命題，即“過平面上直線外一點，至少可引兩條直線與已知直線不相交”，令人沒想到的是，在推理過程中，他得到了一系列不同尋常但又沒有邏輯硬傷的命題，這些命題打破了人們的認知，他說：“兩條平行線無限延長時能在無窮遠處相交，三角形的內角和不一定是180°”，這些命題被他認為是非歐幾何。直到1868年，意大利數學家貝特拉米發表論文，證明非歐幾何可以在歐式空間的曲面上實現，人們才給這個已經去世12年的數學家豎起了大拇指，認為他是數學家中的哥白尼。這可以說是數學問題提出中的瞞天過海。

2.第二計 圍魏救趙

對于復雜的無法直接解決的數學問題，可以先將該問題分解為多個容易求解的小問題再解決，對于正面提出的數學問題的解決，可以轉化為其對立面或者與相關的數學問題，用迂回的方法解決。比如，證明：方程 在開區間 內至少有一個根。直接求方程的根，無從下手，但我們可以采用迂回的方法，把求該方程在開區間 內至少有一個根的問題，轉化為求輔助函數 ?在開區間 內至少有一零點，進而探尋是否滿足零點定理的條件：函數在對應的閉區間連續、端點函數值異號，進而運用零點定理，直達主題，完成題目解答。

3.第三計 借刀殺人

一些待解決的數學問題，有時不一定非得從頭做起，可以廣泛的利用已有的正確結果或者引理，達到最終解決數學問題的目的。“借刀殺人”在數學中的范例很多，比如微積分的發明人牛頓坦言，“如果說我看得遠，那是因為我站在巨人們的肩上”，這里的“巨人”就是我們所謂的“刀”，即自古希臘依賴求解無限小問題的各種技巧所蘊含的微分、積分兩類算法。在數學中可以“借”的“刀”太多了，大到集合論、群論、微積分、解析幾何，比如，利用解析幾何求解立體幾何問題，小到定理、原理、思想、方法、公式、技巧等，比如利用函數思想求解數列問題。合理、恰當的“借”“刀”，能有效的促進問題的圓滿解決。

4.第四計 以逸待勞

遇到較難的數學問題，如果無從下手，不妨把問題先放下，通過不斷的學習和積累，獲得解決問題的技巧和能力。某一些看似難以解決的難點，經歷過時間沉淀之后，都非常清楚明了，每一個步驟都了如指掌，此時如何處理這個問題，就會有一個清晰的脈絡。但這里的“逸”不能理解成放縱自己，不思考、不學習，而應該讓自己的思維時時刻刻處于一種最佳的狀態。比如，求極限 ，通過高等數學第一章函數與極限的學習，雖然積累了很多求極限的方法技巧，但此時計算上述極限，非常困難。我們不妨“以逸待勞”，在第三章學習完洛必達法則后，綜合運用等價無窮小替換、洛必達法則等來計算該極限，就非常順利了。

數學中，特別是世界性數學難題的解決了。可以說都要歸功于以逸待勞，因為對其中任何一個問題的解決，任何天才都不可能馬上做到。都需要一個準備的過程。有的人準備的時間長，有些人用的時間短。有的人窮極一生也毫無收獲。

5.第五計 趁火打劫

解決數學問題的各方面條件已經具備，并且有些已有的證明已經非常接近正確結果，只是某些部分存在嚴重的不足，這時我們絕對不能猶豫不決，應利用自己的有利條件解決該數學問題。比如，求解二階常系數齊次線性微分方程 。通過前一節的學習，我們知道這一類方程的通解是兩個線性無關特解的線性組合，問題的關鍵就是找特解，特解具有什么樣的形式呢，我們又發現基本指數函數 具有一階、二階導數都只相差一個常數因子 的特點，立刻“趁火打劫”設特解為 ，把特解代入上述微分方程，滿足條件的待定常數 便是一個一元二次方程的根，進而推導出求解二階常系數齊次線性微分方程的特征方程法。

縱觀數學史，無理數的產生、集合論危機的部分解決以及現有任何一個沒有解決的數學問題，都可以用得上“趁火打劫”。但打劫者要具備打劫的實力，不要盲目，否則只能是不自量力，荒廢一生。

6.第六計 聲東擊西

要解決某一數學問題，通常使用的邏輯關系已經建立，但通過該邏輯關系又無法完全解決該問題，這時我們不妨先觀察該問題相反或對應的問題，通過相反或對應的問題的解決，達到解決該數學問題的目的。比如證明極限 不存在，根據二元函數極限的定義，二元函數極限存在指點 沿任何路徑趨于原點 ，函數極限都要存在且相等，證明極限不存在，我們就可以選擇特殊的路徑 ，其中 為任意常數，得極限為 隨著 值的變化而不同，與極限唯一性矛盾，原命題得證。

在數學問題解決中充分運用勝戰計中的辯證思想，軍事謀略，能獲得出奇制勝的效果。

參考文獻：

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[2]代新詳.數學與三十六計[M].吉林大學出版社.2010

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