基于學習路徑分析的“小數除法”單元整體教學

程紅霞 章勤瓊

基于學習路徑分析的單元整體教學實踐

近年來，對單元整體教學的關注逐漸成為一線教育工作者的研究熱點。本刊曾刊登過多篇有關單元整體教學的研究文章，為一線教師的教學實踐提供了可借鑒參考的案例。小數除法是小學階段計算教學的重要內容，也是學生學習的難點。學習小數除法時，學生對小數除法的算理，對小數除法豎式中每個步驟表達的含義等常常表現出知其然而不知其所以然的狀態。程紅霞等老師圍繞這一單元教學，嘗試通過基于學習路徑分析整體設計并實施單元教學內容的方式，突破本單元教學難點，為單元整體教學提供了有較強操作性的實踐路徑。本期特刊發此組文章，供老師們學習，也歡迎大家來稿進行討論。

【摘 ? 要】基于學習路徑分析的“小數除法”單元整體教學，可先從單元學習目標出發，確定核心目標為理解小數除法算理并掌握豎式計算方法，明確小數除法的算理本質是逐步細分計數單位，再設計前測題目，根據測試反饋，對學生小數除法的掌握情況進行水平層次描述、學習起點分析，最終確定主要學習路徑為：建立平分模型，理解小數除法算理本質;結合平分模型，以算理促進豎式記錄的意義建構;理解除數是小數的小數除法算理并掌握豎式算法。據此對本單元的教學進行整體設計，能更好地促進學生理解小數除法的算理并掌握除法豎式的記錄方法。

【關鍵詞】學習路徑;單元整體教學;小數除法;算理理解;豎式記錄

“小數除法”是小學階段“數的運算”的重要內容，其本質是將逐步平分不同數位上計數單位總數的過程從整數部分擴展到小數部分。在實際教學中，有些教師比較注重從整數除法遷移到小數除法，再討論小數點的處理問題，對于計數單位細分的算理卻一帶而過。這樣的教學不利于學生理解小數除法的本質，不利于提升學生的運算能力。小數除法的教學應關注哪些本質與內涵？設計怎樣的學習任務才能幫助學生更好地理解小數除法的本質？教師可以嘗試從基于學習路徑分析的單元整體教學的視角去思考小數除法的學習。

一、理解單元學習目標

（一）單元內容概述

北師大版教材和人教版教材都將“小數除法”單元設置在五年級上冊，它們的教學目標定位如下。

北師大版：結合情境或模型，經歷探索算法的過程，理解小數除法算理;能解決簡單的小數除法實際問題;能正確計算小數除法和小數四則混合運算（以兩步為主，不超過三步），并掌握、了解一些與小數相關的內容，如估算判斷小數乘（除）法結果的合理性，發展估算意識，求積（商）的近似值，了解循環小數。

人教版：掌握小數除法的計算方法，能正確計算;掌握一些與小數除法相關的內容，如會用“四舍五入法”“進一法”“去尾法”得到商的近似值，認識循環小數、有限小數、無限小數;能用計算器探索計算規律，能應用規律進行一些小數乘除法的計算;會解決小數除法的簡單實際問題。

對比兩個版本的學習目標，可以看到都涵蓋了以下內容：理解小數除法算理，掌握豎式計算;掌握一些與小數除法相關的內容;會解決簡單的小數除法實際問題。

（二）單元核心目標

本單元核心目標是理解小數除法算理并掌握豎式計算方法。

首先，理解小數除法算理與掌握豎式計算是單元學習的基礎，掌握了該內容才能進行后面的學習與研究。

其次，算理理解與算法掌握是運算能力的一體兩翼，兩者相輔相成，不可偏廢。在算理理解方面，小數除法的算理與整數除法的算理相比既有一致性又有差異性，而差異性就是學生學習的重難點;在算法掌握方面，不能簡單地將豎式計算僅僅看作一種標準算法，而應該溝通平分模型、橫式算理、豎式記錄三者之間的聯系，使豎式的學習成為一座通向關聯與結構的“橋梁”，凸顯豎式的作用與價值。

（三）核心目標具體化

核心目標分為兩個方面：算理理解和算法掌握。前者為后者奠基，兩者具有高度的關聯性。

1.借助現實情境和生活模型理解算理

有鑒于小數除法算理理解的抽象性，本單元的學習要先借助現實情境和生活模型，從直觀和具象中進入學習，再抽象出一般化的小數除法計算方法。所以，算理理解的內涵具體為：在小數除法運算中，借助現實情境中的“元、角、分”“米、分米、厘米”等進率是10的單位換算來揭示算理，使學生能結合具體的操作活動理解計算過程，為算法抽象打下基礎。

2.在理解與聯系的視野下建構豎式記錄的意義

在豎式計算的學習中，學生需要突破幾個理解難點才能有效實現豎式的意義建構。

首先，要理解小數除以整數（被除數無須補0）豎式記錄的算理關鍵點：整數部分有余數時，可以將余數換算成十分位上的計數單位，并與十分位上原有的計數單位合并后再除。其實質是計數單位細分從整數部分到小數部分的擴充與延續。

其次，要理解除數是整數的小數除法（被除數末尾需要補0）豎式記錄的算理關鍵點：小數（整數）除以整數時，有時會碰到被除數的位數不夠除的情況，需要先補0進行數位擴充，再將最后的余數換算成下一級的計數單位繼續往下除，其實質仍是逐步細分計數單位。

最后，要理解除數是小數的小數除法豎式記錄的關鍵在于體會轉化思想，其實質是被除數和除數同步轉化后的計數單位細分。

因此，小數除法豎式計算的內涵具體為：借助實際情境和操作過程，理解小數除法就是在逐步細分計數單位，從整數部分的計數單位細分走向小數部分的計數單位細分;理解整數除法、小數除法豎式記錄的一致性，實現除法運算的進一步擴充。

二、確定學習起點

為了解學生的學習起點，我們對四年級兩個班96名學生的小數除法掌握水平進行了前測。基于核心目標具體化的分析設計了相應的評價任務，并結合學生的答題情況對其掌握水平進行統計、分析、層次劃分，設計了小數除法掌握水平表現性評價框架（如表1）。

前測題的任務設計、設計意圖如表2。

前測題的答題情況能清楚地表明該學生處于哪個水平層次：無法答對任何題目的屬于水平0，有11人，約占比11.5%;只能答對任務一的屬于水平1，有59人，約占比61.5%;能答對任務一和任務二或任務三的屬于水平2，有18人，約占比18.8%。

處于水平1的學生基本能利用已有知識解決實際問題，他們遇到的困難較多體現在列豎式時，不能處理余數1的轉化，即不能理解整數部分有余數時余數與小數部分的數如何結合，如何繼續除。處于水平2的學生則沒有這樣的困擾。

處于水平3的學生能正確完成每道前測題的答題，在解答第②題時能體現出轉化的思想。這樣的學生有8人，約占比8.3%。

從前測數據分析可以看到：大部分學生處于水平1，即能用自己的方法解決有關小數除法的實際問題，知道整數部分有余數后還可以繼續往下除，但不知道如何對該余數進行轉化處理。因此，能夠利用已有知識解決實際情境中的小數除法問題是學生的學習起點，而理解小數除法算理并掌握算法是學生的學習重難點。

三、分析學習路徑

基于以上分析，我們對本單元的學習路徑做了相應的調整與優化。

首先，理解小數除法的算理本質。借助“元、角、分”建立小數平分模型，讓學生在操作活動中理解整數部分有余數時如何對余數進行轉化處理。有了直觀模型與操作活動的支持，后面的學習中學生能更好地建立豎式與模型的聯系，從而有效減輕認知負荷。

其次，引導學生以算理理解促進豎式意義建構。結合操作活動步驟，結合用橫式記錄的計算過程，讓學生理解豎式計算中每一步的意思，重點突破對整數部分有余數的轉化處理，以及被除數的數位不夠除時如何繼續進行計數單位細分。

再次，引導學生理解除數是小數的小數除法的算理并掌握豎式計算方法。借助單位換算，結合運算定律，借用直觀圖等幫助學生理解被除數和除數的同步轉化，并逐步抽象出豎式計算的方法。

最后，引導學生在相關問題研究中發展運算能力，提高應用小數除法解決問題的能力。

四、單元整體教學思考及核心課時主要目標

我們以北師大版教材為基礎，從單元整體的視角出發，對本單元的教學做了適當的調整與改變，增加了一節活動課，對“除數是整數的小數除法”的5道例題做了整合處理。調整后本單元的核心課有三節，其具體內容與教學目標如下。

第一節：基于算理理解的“小數除法”活動課。目標為：（1）創設分錢的現實情境，讓學生經歷換錢、分錢的過程。（2）理解活動的每一個步驟，并能用算式記錄下來。（3）在活動過程中體會“大的計數單位不夠分時可以換成小一級的計數單位繼續分”。

第二節：“除數是整數的小數除法”。目標為：（1）結合上節課的活動，用豎式記錄分錢的過程。（2）結合分錢的直觀模型解釋豎式每一步的意義。（3）脫離情境，從小數的意義與組成出發，解釋每一步豎式所表達的意義。

第三節：“除數是小數的小數除法”。目標為：（1）會在具體情境中用自己的方法解決除數是小數的問題。（2）能解釋除數是小數的小數除法的計算道理。（3）能正確進行除數是小數的小數除法豎式計算。

圍繞核心課時的任務設計展開的具體課堂教學過程，詳見“本組話題”的后面三篇文章。

參考文獻：

[1]章勤瓊，唐娟.為什么除法豎式不一樣：兼談豎式的記錄功能及不同形式[J].教學月刊·小學版（數學），2019（10）：56-59.

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[3]石秀榮，賈海林.剩之愈小，割之彌細：小學數學五年級上冊《小數除法》單元“深度學習”案例[J].基礎教育課程，2017（5）：20-25.

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