基于TL矩法的洪水頻率分布參數估計方法優選

2021-12-06 10:59:02賈一凡宋松柏

水資源保護 2021年6期

關鍵詞：方法

賈一凡，宋松柏

(1.西北農林科技大學水利與建筑工程學院,陜西楊凌 712100； 2.西北農林科技大學旱區農業水土工程教育部重點實驗室,陜西楊凌 712100)

洪水是最常見的自然災害之一，利用有限的水文觀測資料發掘洪水規律，并據此制定相應的預防措施可以避免或減少不必要的損失[1]。洪水頻率分析通過選定的頻率分布來估計洪水特征值，預測未來事件的發生概率。洪水頻率分布參數的合理估計，直接影響洪水設計值計算的合理性。由于氣候變化及人類活動的影響，洪水的驅動機制及發生規律等出現了顯著的變化，針對這些變化，近年來國內外學者不斷開展洪水頻率分析的不確定性研究，以提高洪水預報精度[2-5]。

洪水頻率分析的關鍵步驟為頻率分布線型及參數估計方法的選擇，它們決定了擬合的效果[6]。目前較為廣泛使用的頻率分布有P-Ⅲ分布、對數P-Ⅲ分布、廣義Pareto分布(GPA)、廣義極值分布(GEV)、廣義Logistic分布(GLO)和Gamma分布等。常用的參數估計方法有矩法(MOM)、線性矩法(LM)、極大似然法(MLE)、適線法及概率權重矩法(PWMM)等[7]，這些方法各有優缺點，在不同實例中應用時會產生較大差異[8]。極大似然法估計的參數是漸近有效和無偏的，因此優于矩法[9]，但它求解過程煩瑣。傳統矩法采用樣本矩代替總體矩，原理簡單，實際應用方便，但是偏態系數會產生較大誤差，導致該方法不能輕易作為單獨的估計方法來使用[10]，通常與其他方法參照應用[11]。相比傳統矩法，線性矩法受樣本變異性的影響較小，具有良好的不偏性。同時，對于數據中的異常值，線性矩法比傳統矩法更加穩健，并且能從小樣本中推斷可能的概率分布[12]，但該方法的缺點是對水文極值序列中極大值和極小值反應不敏感。

在線性矩法的基礎上，進行大幅度修改的TL矩法(TLM)[13]于2003年被提出，該方法對極端觀測值分配零權重，消除了小樣本序列中零值產生的不利影響。從總體線性矩的意義上來說，在TL矩中，概念樣本次序統計量的期望被較大樣本次序統計量的期望所代替，其增加的樣本數量等于修正的總量，所以TL矩相比線性矩和傳統矩具有一定的優勢[14]。從TL矩法提出至今，國外學者解決了該方法的實際應用問題。Ahmad等[15]對GPA、GEV、GLO分布的TL矩法(修正量t1=1,t2=0)參數估計式進行了推導。Mat等[16]整理計算出了三參數對數正態分布和P-Ⅲ分布的TL矩，其中修正量t1=1，2，3，4。TL矩法在實際應用中存在修正量的選擇問題，Ahmad等[17]研究表明，與TL矩法和線性矩法相比，僅調整最小值的TL矩法(修正量t1=1,t2=0)在估計高流量分位數方面具有更高的精度，它能夠減少小樣本值的不利影響。由于TL矩法的優越性，TL矩法逐漸應用于洪水頻率分布參數估計[18-25]。

線性矩法是使用較為成熟的一種參數估計方法，在洪水頻率分析中應用廣泛，而基于線性矩法發展起來的TL矩法在一些研究中表現出較好的擬合效果。目前，我國還缺乏該方法的普適性研究。本文以陜北地區神木、綏德、杏河、劉家河、黃陵和志丹6個水文站的年最大洪峰流量序列為例，選取常用的3個三參數分布(GPA、GEV、GLO)，分別用極大似然法、線性矩法及TL矩法進行參數估計，采用確定性系數(R2)和均方根誤差(RMSE)進行分布線型及參數估計方法優選[26]。

1 3種概率分布參數的TL矩法估計

Hosking[12]將線性矩定義為概率權重矩的線性組合。假設隨機變量X是樣本容量為r的樣本，X1:r≤X2:r≤…≤Xr:r表示相應的次序統計量，其定義的線性矩為

(1)

式中E(Xr-k:r)為容量為r的樣本中第r-k位的次序統計量的期望值。

L-偏態系數和L-峰度系數為

(2)

從樣本次序統計量X1:n≤X2:n≤…≤Xn:n中估算樣本線性矩[18]：

(3)

式中n為樣本容量。

Elamir等[13]提出的TL矩法在線性矩法的基礎上進行了大幅度的修改，將樣本容量r替換為r+t1+t2，其中增加的樣本數量為t1個概念樣本中的最小值與t2個概念樣本中的最大值個數之和。因此，式(1)中的E(Xr-k:r)替換為E(Xr+t1-k:r+t1+t2)。在TL矩法的研究中，主要問題是修正量t1和t2的選擇，經過經驗及理論驗證，樣本中較小的值會影響高分位數估計時的準確性，因此僅修正最小值即t2=0時就可以得到準確的結果。研究[15,27-28]表明，修正量t1=1、t2=0時TL矩法能得到更好的參數估計結果，因此本文取t1=1，t2=0。

將r階的TL矩定義為

(4)

取t1=1，t2=0，得到前4階TL矩：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

從樣本次序統計量X1:n≤X2:n≤…≤Xn:n中估算樣本TL矩：

(10)

樣本TL-偏態系數與樣本TL-峰度系數計算公式為

(11)

a.GPA分布參數的TL矩法估計。GPA分布的分位數函數為

(12)

對應TL矩法參數估計式[29]為

(13)

(14)

(15)

b.GEV分布參數的TL矩法估計。GEV分布的分位數函數為

(16)

對應TL矩法參數估計式[15]為

(17)

(18)

(19)

c.GLO分布參數的TL矩法估計。GLO分布的分位數函數為

(20)

對應TL矩法參數估計式[17]為

(21)

(22)

(23)

2 數據資料

選取陜北地區神木、綏德、杏河、劉家河、黃陵和志丹6個水文站的年最大洪峰流量資料，開展基于極大似然法、線性矩法和TL矩法的參數估計方法對比研究，進行GPA、GEV、GLO 3種三參數分布的曲線擬合，選用確定性系數和RMSE準則分析不同頻率分布及不同參數估計方法下的擬合效果。經審查，選用資料滿足一致性、可靠性及代表性要求，可用于計算。具體資料系列長度如表1所示。

表1 洪水資料系列長度

2.1 參數估計及曲線擬合

利用Matlab編程，將GPA、GEV、GLO 3種三參數分布通過極大似然法、線性矩法及TL矩法計算得到α、ξ和k3個參數值，參數估計結果如表2所示。

分析3種參數估計方法下的3種分布線型對經驗點據的擬合情況，繪制頻率曲線，以GPA分布線型為例，結果如圖1所示。

從圖1可以看出，整體上線性矩法與TL矩法的擬合效果優于極大似然法，能兼顧到經驗點據各部分。神木站和綏德站上尾部分TL矩法擬合效果更好，下尾部分擬合效果不及極大似然法與線性矩法；劉家河、黃陵和志丹站線性矩法與TL矩法擬合效果相當且優于極大似然法。結合實際來看，洪水頻率分析中更為注重上尾部分的擬合，因此TL矩法在上尾部分較優的擬合效果更有利于洪水設計值的選定。

2.2 擬合優度評價

確定性系數通常用于判斷觀測值與設計值的擬合程度，它是頻率分布優選的常用指標之一。確定性系數值越接近于1，表明設計值越接近于實際觀測值，即擬合效果越好。各站年最大洪峰流量序列不同參數估計方法確定性系數計算結果如表3所示。

從表3結果來看，除杏河站之外的其他5個水文站GPA分布確定性系數值均大于GEV分布以及GLO分布，依據數值接近1的原則，得出神木、綏德、劉家河、黃陵和志丹5個水文站選用GPA分布來描述更合適，GEV分布次之。而杏河站GEV分布的確定性系數值相比GPA分布與GLO分布要更接近于1，選用GEV分布擬合效果最優，GLO分布次之。由于杏河站年最大洪峰流量序列長度遠小于其他5個水文站，小樣本量可能會影響頻率分布線型的選擇而產生誤導性結果，因此認為該區域用GPA分布擬合年最大洪峰流量序列較為準確。