拉格朗日乘數法在幾何及偏微分方程中的應用

賈迪媛，常 雪

(南陽職業學院，河南 南陽 474550)

1 拉格朗日乘數法在幾何中的應用

解析幾何中有關求解距離的問題，通常可以利用多元函數求解極值的方法來解決，下面使用拉格朗日乘數法來解決初中階段的距離問題。之前推導點到平面的距離公式時，常常使用以下幾種方法：(1)引進法式方程、離差，再求距離；(2)用平行平面法求距離；(3)用等體積法求距離。接下來利用拉格朗日乘數法來求出這個公式。

證：設P(a,b,c)為空間中任意一點，M(x,y,z)為平面Ax+By+Cz+D=0上的任意一點。該問題可以轉化為求P、M兩點間的最小距離。

已知P、M兩點之間距離的平方為d2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2，其約束條件為Ax+By+Cz+D=0，由拉格朗日乘數法可知，令L(x,y,z,λ)=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2+λ(Ax+By+Cz+D) 解方程組：

由(1)、(2)、(3)式得：

將結果代入(4)式整理得：

(2a-Aλ)A+(2b-Bλ)B+(2c-Cλ)C+2D=0 解得：

將此式分別帶入(5)、(6)、(7)式中，得到(x,y,z)為唯一駐點：

高中時期已經學習了多種證明點到直線的距離公式的方法，如：定義法、函數法、不等式法、三角形法、參數方程法等。現在利用拉格朗日乘數法來證明點到直線的距離公式。

解得：

代入后兩式整理得：

解得：

d2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2

所以

高等數學中常常利用數量積的幾何意義、定義法、射影法、向量法、轉化為面面距等方法來推導兩異面直線的距離。現在利用拉格朗日乘數法來推導出兩異面直線間的距離公式。

證：兩直線矢量形式可表示成li:ri(t)=ri+tvi，其中ri=(xi,yi,zi)，vi=(mi,ni,pi)，i=1,2。由異面條件可得Δ=(v1×v2)2≠0。在兩直線上分別取點r1(s)和點r2(s)，記r0=r1-r2，則兩直線l1和l2的距離d的平方就是下面函數的最小值：

(1)

解得駐點為：

(2)

(3)

2 拉格朗日乘數法在偏微分方程中的應用

都成立。

3 結語

拉格朗日乘數法作為一種基本的數學方法，能夠將生活中的一些實際問題簡化，在常見的距離公式和偏微分方程中得到了合理應用。