做題 反思 探索
——發現“二次函數”的小秘密

文／江蘇省東臺市實驗中學“數學發現”社團 徐芷涵

我在做練習時遇到一道題：用列表法畫二次函數y=ax2+bx+c的圖像時，先列一個表，當表中自變量x值以相等間隔的值增加時，函數y所對應的函數值依次為5，17，37，65，101，145，171，257，325。其中一個值不正確，這個不正確的值是，應改正為。

我苦思不得其解，便上網搜索，其解答是這樣的：

解：第一次求差，325-257=68，257-171=86，171-145=26，145-101=44，101-65=36，65-37=28，37-17=20，17-5=12。

第二次求差，68-86=-18，86-26=60，26-44=-18，44-36=8，36-28=8，28-20=8，20-12=8。

我猜想第二次的差應為8，將第二次求差中的第三個等式中的26 改為52（44+8=52），再倒推將第一次求差中的26改為52，從而將171 改為197（145+52=197），重新求差，則第二次的差均為8。

所以不正確的數是171。故填空答案為171、197。

發現小秘密：將函數值依次作差，再將所得結果作差，如果該函數是二次函數，兩次作差后，結果相等，否則就不是。這是教材上沒有講的二次函數小秘密，是不是所有的二次函數都有這個性質呢？有必要推理論證。

探索小秘密：設二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），自變量x值以相等間隔的值h增加，即x1=m，x2=m+h，x3=m+2h，

則y1=am2+bm+c，y2=a（m+h）2+b（m+h）+c=am2+2amh+ah2+bm+bh+c，y3=a（m+2h）2+b（m+2h）+c=am2+4amh+4ah2+bm+2bh+c，

第一次求差d1=y2-y1=2amh+ah2+bh，d2=y3-y2=2amh+3ah2+bh，

第二次求差s=d2-d1=2ah2。

總結小秘密：對于二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），當自變量x值以相等間隔的值h增加時，函數值兩次作差，其值為常量2ah2。

教 師 點 評

徐芷涵同學“小題大做”，解后反思，對題目中蘊含的知識進行縱向深入的探究，發現了二次函數小秘密。“做題千萬道，解后拋九霄”，這不是我們解題的目的，答案也不是解題的終結。平時做題，我們需要養成在解題之后多反思的習慣，通常有方法的歸類、規律的小結、技巧的揣摩，也可以一題多法、一題多變、多題一解，挖掘題目的深度和廣度，擴大題目的輻射面，這無疑對自身思維的發展、數學核心素養的提高大有裨益。