數的發展概要

文 韓 松

“數”發源于遠古時期人們對事物個數記錄的需要。比如，人們捕獲一個獵物，就在繩子上打個結，再捕獲一個，再打一個結……這就是結繩計數。就這樣，人們在“數數”的過程中，逐步發展出自然數的概念。

人類對數的認識是從1 開始。在1 的基礎上加1，再加1，再加1，不斷加1，只要有足夠的時間和耐心，就可以達到任何一個自然數，要多大有多大。

但是，較大的數怎么表示呢？比如要表示“百”“萬”這些大數，用我們祖先“打結”“畫道道”的方法就太麻煩了。于是，人們就想出了用“百”“萬”這些專用的字來表示，更大的數量單位還有億、兆、京……但是，文字畢竟是有限的，遇到再大的數又該怎么辦呢？于是就有了十進制的“位值記數法”。你可知道？人類從會記數到像今天這樣記數，經歷了5000 多年呢！

如果只是數數人、水果、動物的個數，自然數也就夠用了。但是實際生活還需要測量物體的長度、土地的面積、液體的體積等，有時還需要對物體進行平均分配，此時，自然數就不夠用了，就要用到分數、小數了。

從算術的運算來看，如果只有自然數，那么加法和乘法就夠用了。有了分數，除法就可以暢通無阻了。但想要讓減法通行無阻，就必須有負數，因為有時不夠減。當然，負數并不是數學家為了做減法而在頭腦中創造出來的。負數，最早是在貿易活動中被創造出來的，人們用它來記債務。在中國古代，正、負數分別用不同的顏色來記，用來表示相反意義的量。

有了正負整數、正負分數和0，加減乘除就可以暢通無阻了（只要0 不作為除數），這些數統稱為有理數。一切似乎都很完美了。盡管有理數在實際生活中已經足夠了，但是，從算術的范圍轉入幾何、代數的研究，人們發現有理數遠遠不夠用。

從代數的視角看，如果只承認有理數，許多方程就沒有根，例如x2=2 就沒有有理根。方程可以不要根，但正方形不能沒有對角線吧？原來，邊長為1的正方形的對角線長就是方程x2=2 的根。此時，有理數就不夠用了，有必要對有理數系進一步擴充，于是，無理數應運而生，進而建立起實數系。在實數系里，不但能進行四則運算，而且能進行“取極限”的運算，這是和有理數系不同的地方。