緊抓公式特征 注重細(xì)節(jié)處理

文 梁慶旭

在學(xué)習(xí)完單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式之后，我們學(xué)習(xí)了較特殊的多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，即完全平方公式和平方差公式。而初學(xué)者對(duì)公式往往理解不深刻，結(jié)構(gòu)特征把握不準(zhǔn)確，造成計(jì)算上的錯(cuò)誤。希望通過下面的一些例題，幫助同學(xué)們更好地掌握乘法公式，達(dá)到事半功倍的效果。

一、公式特征需明確

例1計(jì)算：（1）（a-3）2；（2）（a+3）2。

【錯(cuò)解】（1）（a-3）2=a2-32=a2-9；

（2）（a+3）2=a2+32=a2+9。

【錯(cuò)因分析】混淆完全平方公式和積的乘方，把積的乘方法則套用在完全平方公式中。在運(yùn)用公式時(shí)，需記住：兩數(shù)和（或差）的平方等于這兩數(shù)平方和加上（或減去）兩數(shù)積的2 倍，完全平方的結(jié)果是三項(xiàng)式，要做到積的2 倍不遺漏。

【正 解】（1）（a-3）2=a2-2×a×3+32=a2-6a+9；

（2）（a+3）2=a2+2×a×3+32=a2+6a+9。

例2計(jì)算：（2x-3y）（2x+3y）。

【錯(cuò)解】原式=2x2-3y2。

【錯(cuò)因分析】在運(yùn)用平方差公式時(shí)，需弄清楚哪個(gè)是公式里的相同項(xiàng)，哪個(gè)是公式里的相反項(xiàng)，然后再代入公式即可。本題中2x是相同項(xiàng)，±3y是相反項(xiàng)。

【正解】（2x-3y）（2x+3y）=（2x）2-（3y）2=4x2-9y2。

二、負(fù)號(hào)處理要恰當(dāng)

例3計(jì)算：（a-2）（2-a）。

【錯(cuò)解】原式=a2-4。

【錯(cuò)因分析】多項(xiàng)式中的兩項(xiàng)互為相反項(xiàng)，不符合任何一個(gè)乘法公式特征，但提取“-”號(hào)后，就可以使用完全平方公式。

【正解】（a-2）（2-a）=（a-2）×［-（a-2）］=-（a-2）2=-（a2-4a+4）=-a2+4a-4。

例4計(jì)算：（-a-3b）2。

【錯(cuò)解】（-a-3b）2=a2-6ab+9b2。

【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解套用了兩數(shù)之差的完全平方公式，減去6ab。本題若當(dāng)成差的完全平方公式，應(yīng)減去2×（-a）×3b，再整理符號(hào)；也可以看作是-a與-3b的和的平方；還可以先處理符號(hào)，結(jié)合偶次冪的特征，轉(zhuǎn)化為兩數(shù)和的平方，這樣更簡潔，不容易出錯(cuò)。

【正解】看作差的平方：（-a-3b）2=（-a）2-2×（-a）（3b）+（3b）2=a2+6ab+9b2。

看作和的平方：（-a-3b）2=（-a）2+2×（-a）（-3b）+（-3b）2=a2+6ab+9b2。

或（-a-3b）2=［-（a+3b）］2=（a+3b）2=a2+6ab+9b2。

三、整體思想巧運(yùn)用

例5已知a+b=5，ab=6，求a2+b2的值。

【錯(cuò)解】由題意得a=2，b=3，所以a2+b2=22+32=13。

【錯(cuò)因分析】有些同學(xué)容易直接賦予字母a、b特殊值，再代入求值。本題應(yīng)該先根據(jù)a+b=5 得到（a+b）2=25，展開后代入ab的值，即可求出a2+b2的值。

【正解】因?yàn)閍+b=5，

所以（a+b）2=25，

則a2+2ab+b2=25。

因?yàn)閍b=6，

所以a2+12+b2=25，則a2+b2=13。

四、添加括號(hào)不隨意

例6計(jì)算：（a-b-c）（a+b-c）。

【錯(cuò)解】（a-b-c）（a+b-c）=［a-（b-c）］·［a+（b-c）］=a2-（b-c）2=a2-b2-c2+2bc。

【錯(cuò)因分析】把“-”和“+”后面部分看作一個(gè)整體，添加括號(hào)后，使用平方差公式。當(dāng)括號(hào)前為正號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)符號(hào)均不改變，但如果是“-”號(hào)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)符號(hào)都要改變。應(yīng)先觀察兩個(gè)多項(xiàng)式中哪些項(xiàng)相同，哪些項(xiàng)互為相反數(shù)，再去決定如何添加括號(hào)，從而使計(jì)算不出錯(cuò)。

【正解】（a-b-c）（a+b-c）=［（a-c）-b］·［（a-c）+b］=（a-c）2-b2=a2-2ac+c2-b2。

總之，在運(yùn)用乘法公式解決問題時(shí)，需仔細(xì)審題，弄清多項(xiàng)式之間包含的相同項(xiàng)和相反項(xiàng)，通過變形，使得相同項(xiàng)在前，相反項(xiàng)在后，再套用公式，從而掃清學(xué)習(xí)中的障礙。