梳理歸納，易錯題不再錯

文 何 樂

因式分解是初中數學學習的重要內容之一，是同學們后續學習一元二次方程以及二次函數的重要基礎，是解決許多數學問題的重要工具。多項式因式分解有如下特點：（1）分解的結果一定是積的形式；（2）每個因式必須是整式；（3）各因式要分解到不能分解為止。因式分解與整式乘法是兩種互逆變形，容易混淆，發生錯誤。

一、概念理解錯誤

例1觀察下列從左到右的變形：

（1）-6a3b3=（2a2b）（-3ab2）；

（2）ma-mb+c=m（a-b）+c；

（3）6x2+12xy+6y2=6（x+y）2；

（4）（3a+2b）（3a-2b）=9a2-4b2；

其中是因式分解的有________（填序號）。

【錯解】（1）（3）。

【錯因分析】把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫作多項式的因式分解。（1）中-6a3b3不是多項式，不能進行因式分解。

【正解】（3）。

例2因式分解：4a2-4a+1。

【錯解】4a2-4a+1=4a（a-1）+1。

【錯因分析】從錯解的結構來看，雖然第一項是積的形式，但整體上還是和的形式。錯解曲解了因式分解的概念，誤認為只要結果中有整式的積即可，忽視了分解的結果一定是積的形式這一要素。

【正解】4a2-4a+1=（2a-1）2。

二、提公因式錯誤

例3因式分解：-xy2+2xy-x。

【錯解】-xy2+2xy-x=-x（y2-2y）。

【錯因分析】多項式有公因式時，先提取公因式，然后再運用其他方法分解。本題中多項式的項數是三項，那么提取公因式后，項數仍應該為三項。

【正解】-xy2+2xy-x

=-x（y2-2y+1）=-x（y-1）2。

三、符號運算錯誤

例4因式分解：2a（a-2b）+4b（2b-a）。

【錯解】2a（a-2b）+4b（2b-a）=（2a+4b）（a-2b）=2（a+2b）（a-2b）。

【錯因分析】找公因式時，將（2b-a）轉化為相反數（a-2b）時符號出錯，當一個數用相反數表示時要添加負號。

【正解】2a（a-2b）+4b（2b-a）=（2a-4b）（a-2b）=2（a-2b）（a-2b）=2（a-2b）2。

四、乘法運算與因式分解混淆

例5因式分解：4a2-36。

【錯解】4a2-36=4（a2-9）=4（a+3）（a-3）=4（a2-9）。

【錯因分析】錯解的最后一步與因式分解背道而馳，是整式乘法運算。這種走“回頭路”的錯誤現象很常見，其原因是分不清整式乘法運算與因式分解的概念，對分解到不能再分解為止的目標不夠明確。

【正解】4a2-36=4（a2-9）=4（a+3）（a-3）。

五、分解不徹底

例6因式分解：（x2+4）2-16x2。

【錯解】（x2+4）2-16x2=（x2+4+4x）（x2+4-4x）。

【錯因分析】因式分解不徹底。結果中的兩個因式都是完全平方式，還可以繼續分解。

【正解】（x2+4）2-16x2=（x2+4+4x）（x2+4-4x）=（x-2）2（x+2）2。

六、分組分解錯誤

例7因式分解：x2-y2+1-2x。

【錯解】x2-y2+1-2x=（x+y）（x-y）+1-2x。

【錯因分析】從因式分解的定義看，把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫作多項式的因式分解。但錯解的結果仍然是和的形式，我們應該先觀察多項式的特征，先合并局部分解，再對整體分解。

【正解】x2-y2+1-2x=x2-2x+1-y2=（x-1）2-y2=（x+y-1）（x-y-1）。

因式分解問題應首先考慮能否提公因式，找公因式應從系數、字母和字母的指數三個方面分別考慮。沒有公因式或提公因式后，再根據項數考慮公式法：兩項則考慮是否可用平方差公式；三項則考慮是否可用完全平方公式；三項以上則應考慮使用分組分解法。最后再從因式分解的三個特點逐一檢查。