解三甬形中正弦、余弦定理的“五”大應用

■四川省成都經濟技術開發區實驗中學校 杜海洋

一、三角形的有關性質

（1）在△ABC中，A＋B＋C＝π；a＋b＞c，a－b＜c；a＞b?sinA＞sinB?A＞B。

二、正弦定理和余弦定理

表1

三、解三角形的類型

（1）已知兩角一邊，用正弦定理，有解時，只有一解。

（2）已知兩邊及其一邊的對角，用正弦定理時，有解的情況可分為以下情況，在△ABC中，已知a、b和角A時，解的情況如表2：

表2

四、正弦、余弦定理在解三角形中的五大應用

1.在解三角形中的應用

方法總結：利用正弦定理可解決以下兩類問題：一是已知兩角和其中一角的對邊，求其他邊與角；二是已知兩邊和其中一邊的對角，求其他邊與角（該三角形具有不唯一性，常根據三角函數值的有界性和大邊對大角定理進行判斷）。利用余弦定理可解決以下兩類問題：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊與角；二是已知三邊求各個角。由于這兩種情形下的三角形是唯一的，所以其解也是唯一的。

2.在三角形解的判定中的應用

例2不解三角形，請判斷下列三角形解的個數：

（1）a＝5，b＝4，A＝120。；

（2）a＝5，b＝10，A＝150。；

（3）a＝9，b＝10，A＝60。；

（4）a＝18，b＝24，A＝44。。

解析：（1）因為a＞b，且A為鈍角，所以△ABC有唯一解。

（2）因為b＞a，且A為鈍角，所以△ABC無解。

（3）因為bsinA＝10×，所以bsinA＜a＜b，△ABC有兩解。

（4）因為bsinA＝24sin44。＜24sin45。＝12，且12＜18＜24，所以△ABC有兩解。

方法總結：（1）已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，由正弦定理可以求出另一邊的對角的正弦值，從而解出三角形，但這個三角形不一定有解。這類問題可以通過計算來判斷，也可以通過畫圖用幾何方法來判斷。討論時應注意兩點：一是其正弦值與“1”的大小關系，從而決定符合正弦值的角是否存在；二是由此確定的角（0。～180。）有幾個，它與已知角的和是否小于180。。

（2）依據已知條件中的邊角關系判斷三角形的形狀時，主要有如下兩種方法：（1）利用正弦、余弦定理把已知條件轉化為邊邊關系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀；（2）利用正弦、余弦定理把已知條件轉化為內角的三角函數間的關系，通過三角函數恒等變形，得出內角的關系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應用A＋B＋C＝π這個結論。

3.正弦、余弦定理與其他知識的綜合應用

例3在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，并且內角A，B，C成等差數列。

方法總結：正弦、余弦定理與三角函數、數列、平面向量綜合考查出現頻率較高。解決此類問題：首先要把握題目重點考查的知識點是什么，它們之間有怎樣的聯系，怎樣將他們整合在一起；然后將問題合理轉化，特別注意三角形中角的取值范圍。

4.在三角形的范圍與最值問題中的應用

例4在△ABC中，已知tanA＝。

若△ABC為銳角三角形，其面積為6，求BC的取值范圍。

方法總結：（1）求式子的取值范圍，可以將其轉化為關于一個角的三角函數求最值問題。

（2）利用正弦定理求有關三角函數最值的求法：①利用正弦定理厘清三角形中基本量間的關系或求出某些基本量；②將要求最值或取值范圍的量表示成某一變量的函數（包括三角函數），從而轉化為求函數的最值問題。

5.在結構不良及開放型問題中的應用

例5已知a，b，c，分別為△ABC內角A，B，C，的對邊，若△ABC同時滿足下列四個條件中的三個：①cosB＝－；②cos2A＋2cos2＝1；③a＝；④b＝2。

（1）滿足有解三角形的序號組合有哪些？

（2）在（1）所有組合中任選一組，并求對應△ABC的面積。

方法總結：結構不良題型是新課改地區新增加的題型，其實所謂結構不良題型就是給出一些條件，另外的條件題目中給出三個，同學們可以從中選擇1 個或者2 個作為條件，進行解題。在選擇的條件中，并沒有哪個條件讓解答過程比較復雜，只要推理嚴謹、過程規范，都會得滿分。同學們在解決這樣的結構不良問題時，不存在選哪個更好。而且，這種新題型才開始進入大家的視野，考查難度一般都不會太大。所以，在學習的過程中，我們可以將解三角形和數列的結構不良問題作為訓練的重點。