數列中的“新定義”問題

■河南省許昌高級中學 胡銀偉

近年高考數列的命題中常出現“新定義”問題，先給出定義的新概念、新公式、新法則、新符號、新運算，然后據此新定義去解決問題。解答此類“新定義”問題，需認真研讀題意，分析、理解新定義、新情景的特征，能夠透過現象看到“新”的本質，以不變應萬變是解答此類問題的法寶。

類型一 定義新概念

例1（2020年新課標Ⅱ卷）0－1周期序列在通信技術中有著重要應用。若序列a1a2…an…滿足ai∈{0，1}（i＝1，2，…），且存在正整數m，使得ai＋m＝ai（i＝1，2，…）成立，則稱其為0－1周期序列，并稱滿足ai＋m＝ai（i＝1，2，…）的最小正整數m為這個序列的周期。對于周期為m的0－1 序列a1a2…an…，C（k）＝（k＝1，2，…，m－1）是描述其性質的重要指標，下列周期為5的0－1序列中，滿足C（k）≤（k＝1，2，3，4）的序列是（ ）。

A.11010… B.11011…

C.10001… D.11001…

分析：本題是考查數列的新概念問題，考查同學們對新概念的理解及運算能力。本題新定義了序列的周期，可根據新概念，逐一對選項進行驗證。

類型二 定義新運算

例2（2021 年全國新高考Ⅱ卷）（多選題）設正整數n＝a0·20＋a1·2＋…＋ak－1·2k－1＋ak·2k，其 中ai∈ {0，1 }，記ω（n）＝a0＋a1＋…＋ak，則（ ）。

A.ω（2n）＝ω（n）

B.ω（2n＋3）＝ω（n）＋1

C.ω（8n＋5）＝ω（4n＋3）

D.ω（2n－1）＝n

分析：本題是考查定義與數列有關的新運算問題，考查同學們對新運算的理解及應用能力。

解：選項A，ω（n）＝a0＋a1＋…＋ak，2n＝a0·21＋a1·22＋…＋ak－1·2k＋ak·2k＋1，所以，ω（2n）＝a0＋a1＋…＋ak＝ω（n），A 正確。

選項B，不妨取n＝2，則2n＋3＝7＝1×20＋1×21＋1×22，所以ω（7）＝3。而2＝0·20＋1·21，則ω（2）＝1。所以ω（7）≠ω（2）＋1，B錯誤。

選項C，因為8n＋5＝a0·23＋a1·24＋…＋ak·2k＋3＋5＝1·20＋1·22＋a0·23＋a1·24＋…＋ak·2k＋3，所以，ω（8n＋5）＝2＋a0＋a1＋…＋ak。而4n＋3＝a0·22＋a1·23＋…＋ak·2k＋2＋3＝1·20＋1·21＋a0·22＋a1·23＋… ＋ak·2k＋2，所 以，ω（4n＋3）＝2＋a0＋a1＋…＋ak。因此，ω（8n＋5）＝ω（4n＋3），C正確。

選項D，因為2n－1＝20＋21＋…＋2n－1，所以ω（2n－1）＝n，D 正確。

故選ACD。

類型三 定義新情景

例3南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，其所討論的高階等差數列與一般等差數列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數之差或者高次差成等差數列。對這類高階等差數列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術”。現有高階等差數列，其前7 項分別為1，7，15，27，45，71，107，則該數列的第8項為____。

分析：本例是以古典書籍為背景，構造了高階等差數列的定義，考查同學們對新背景下新定義的理解及應用能力。正確理解高階等差數列的定義，分別計算前后兩項，結合等差數列的定義，可得答案。

解：因為所給數列為高階等差數列，設該數列的第8 項為x，根據高階等差數列的定義：用數列的后一項減去前一項得到一個新數列，得到的新數列也用后一項減去前一項再得到一個新數列，即得到了一個等差數列。

如圖1：

圖1

故答案為155。

解答與數列有關的新定義問題的策略：（1）通過給定的與數列有關的新定義，或約定的一種新運算，或給出的由幾個新模型來創設的新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎上，依據題設所提供的信息，聯系所學的知識和方法，實現信息的遷移，達到靈活解題的目的；（2）遇到新定義問題，需耐心研究題中信息，分析新定義的特點，搞清新定義的本質，按新定義的要求“照章辦事”，逐條分析、運算、驗證，使問題得以順利解決。

演練：

1.對于任一實數序列A＝{a1，a2，a3，…}，定義ΔA為序列{a2－a1，a3－a2，a4－a3，…}，它的第n項是an＋1－an。假定序列Δ（ΔA）的所有項都是1，且a18＝a2021＝0，則a2022＝（ ）。

A.1002 B.2004

C.101 D.202

解析：設序列ΔA的首項為d，則序列ΔA為{d，d＋1，d＋2，…}，則它的第n項為d＋（n－1）。

因此，數列A的第n項為：

an＝a1＋（ak＋1－ak）＝a1＋d＋（d＋1）＋…＋（d＋n－2）＝a1＋（n－1）d＋（n－1）·（n－2）。

an是關于n的二次多項式，其中n2的系數是。

因為a18＝a2021＝0，所以an＝（n－18）·（n－2021），a2022＝（2 022－18）·（2022－2021）＝1002。故選A。

2.對于數列 {an}，定義Yn＝為數列{an}的“美值”。現已知某數列{an}的“美值”Yn＝2n＋1，記數列{an－tn}的前n項和為Sn，若Sn≤S10對任意的k∈N*恒成立，則實數t的取值范圍是（ ）。

解析：由Yn＝＝2n＋1，可得a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n×2n＋1。

當n≥2 時，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝（n－1）2n；①

a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n＋1。②

②－①可 得，2n－1an＝n·2n＋1－（n－1）·2n＝（n＋1）·2n。

所以an＝2n＋2。

當n＝1時，a1＝4也滿足上式，故an＝2n＋2，n∈N*。

所以an－tn＝（2－t）n＋2，數列{antn}是等差數列。

所以，Sk＝log2（k＋2）－1。

因為Sk為正整數，所以log2（k＋2）－1＞0，即k＋2＞2，則k＞0。

令m＝log2（k＋2），則k＝2m－2。

因 為k∈[1，2 021]，所 以2m∈[3，2023]。

因為y＝2x為增函數，且21＝2，22＝4，…，210＝1024，211＝2048，所以m∈[2，10]。

所有“好數”的和為（22－2）＋（23－2）＋…＋（210－2）＝－2×9＝2026。