從高考真題看正弦、余弦定理的應用

■江西省贛州市第三中學 葉慶華

大家知道，正弦、余弦定理的主要功能就是解三角形。利用正弦、余弦定理可以求出三角形的邊，也可以求角，這類問題既可能出現(xiàn)在選擇題或填空題中，也可能出現(xiàn)在解答題中。下面我們來通過幾道2021 年的高考真題，來賞析它在解題中的應用。

一、正弦定理的應用

例1（2021 年 高考全國甲卷）2020 年12月8 日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一。圖1是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′滿足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60。。由C點測得B點的仰角為15°，BB′與CC′的差為100，由B點測得A點的仰角為45°，則A，C兩點到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′約為（ ）。

圖1

A.346 B.373 C.446 D.473

分析：通過做輔助線，將已知所求量轉化到一個三角形中，借助正弦定理，求得A′B′，進而得到答案。

解：過點C作CH⊥BB′，過點B作BD⊥AA′，故AA′－CC′＝AA′－（BB′－BH）＝AA′－BB′＋100＝AD＋100。

由題易知△ADB為等腰直角三角形，所以AD＝DB。

因此，AA′－CC′＝DB＋100＝A′B′＋100。

點評：本題考查解三角形的實際應用。解答的關鍵在于如何正確將AA′－CC′的長度通過作輔助線的方式轉化為A′B′＋100，然后利用正弦定理求解。本題是立體幾何背景下的解三角形問題，體現(xiàn)了高考命題一題多考的原則。

二、余弦定理的應用

例2（2021年高考浙江卷）在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中點，AM＝2，則AC＝____，cos∠MAC＝____。

分析：由題意結合余弦定理可得BC＝8，進而可得AC，再由余弦定理可得cos∠MAC。

解：由題意作出圖形，如圖2所示。

圖2

在△ABM中，由余弦定理得AM2＝AB2＋BM2－2BM·BA·cos60。。

代入數(shù)據(jù)得12＝4＋BM2－2BM×2×，解得BM＝4或－2（舍去）。

所以BC＝2BM＝2CM＝8。

在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos60。＝4＋64－2×2×8×＝52。

點評：本題的解答過程中三次應用了余弦定理。余弦定理在解三角形中一般有三個應用：（1）已知兩邊及其夾角，求第三邊；（2）已知三邊求任何內(nèi)角的余弦值；（3）已知兩邊以及一邊的對角，可以把第三邊當成未知數(shù)，利用余弦定理列方程，通過解方程來求第三邊。

三、正弦、余弦定理的綜合應用

例3（2021年新高考全國Ⅰ卷）如圖3，記△ABC中內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c。已知b2＝ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC＝asinC。

圖3

（1）證明：BD＝b；

（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC。

分析：（1）根據(jù)正弦定理的邊角關系得到BD＝，結合已知條件即可證結論。

點評：有關解三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更合適，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息。一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到。