一類具有分布時滯和常數收獲的單種群模型的狀態脈沖控制

李翔睿，黃水波

（西北民族大學數學與計算機科學學院，甘肅蘭州 730030）

0 引言

脈沖微分方程是近年來微分方程研究的熱點，常用于描述種群動力學行為，通過控制微分方程中的變量，實現對種群之間相互影響的控制，進而達到人們所期望的狀態。1960 年，MILIMAN 等［1］提出以下脈沖微分方程：

此后，脈沖微分方程在理論上得到了進一步發展，在實踐中得到了廣泛應用。FU 等［2］將有界時滯量推廣至無窮時滯量，并證明了具有無窮時滯的脈沖微分方程解的存在性定理，該定理促進了具有無窮時滯脈沖微分方程的發展；COOKE 等［3］研究了脈沖微分方程周期解的存在性以及極限環的存在性和穩定性；AHMAD 等［4］建立了非線性時滯微分系統解的一致穩定的判定準則，并研究了一類非線性脈沖時滯微分方程解的指數漸近穩定性，其中，具有一定收獲比例的脈沖收獲微分方程可實現對種群系統的最優控制，這對解決實際問題更具現實意義；WANG 等［5］提出了一種單種群模型的最優收獲策略，此收獲策略使得種群的收獲產量達到最大或保持恒定，當收獲發生在嚴格的時間間隔內時，種群水平達到最高；PANG 等［6］分析了具有分布時滯和狀態脈沖的單種群模型：

利用微分方程理論和后繼函數法，得到了階一周期解的存在性，建立了一種處理半連續系統階一周期解的穩定性方法；LI 等［7］考慮了一類具有弱核時滯和常數收獲的單種群模型：

其中，x(t)為在t時刻的種群密度，r>0 為物種的內稟增長率（反映物種本身的特點），K>0 為容納能力，αe?α(t?s)為弱核函數，u為常數收獲率，α和u為正常數。

文獻［7］中的模型通過

變換，得到

因式（1）在實際應用中具有局限性，本文將對變量進行狀態脈沖控制。脈沖控制方程已用于生態領域中害蟲的控制、經濟領域中儲蓄率的控制、工程領域中交通信息的控制以及航空領域中衛星軌道運行的控制等。

對式（1）中的參數x進行狀態脈沖控制，得到

本文主要研究式（2）在不同情況下周期解的存在性和軌道穩定性。下文安排如下：第1 節介紹與本文相關的定義和引理，第2 節研究式（2）在給定條件下階一周期解的存在性，第3 節討論式（2）在階一周期解存在情況下的軌道穩定性，第4 節通過數值模擬驗證本文結論的正確性。

1 預備知識

對于脈沖系統：

設脈沖集為M，相集為N，有以下定義：

定義1［8］假設存在映射f：N→N，且 對?P∈N，式（3）存在過點P的軌線Γ，與脈沖集M交于點P1。P1在脈沖控制方程的作用下，到達點，則稱為點P的后繼函數，P1為P的后繼點。

定義2［9］假設式（3）存在階一周期解Γ=f(C，t)，對?ε>0，存 在δ>0 和t0>0，使得對?C1∈U(C，δ)∩N，當t>t0時，總有距離d(f(C1，t)，Γ)<ε，則階一周期解Γ是軌道漸近穩定的。

且足夠小時，平衡E3(，)通過Hopf 分岔出現唯一穩定的極限環分岔。

引理2［9］式（3）的后繼函數?l(P)是連續的。

引理3［10］若存在2 個點A，B∈N，且后繼函數

則在點A和點B之間一定存在一點C∈N，使得后繼函數g(C)=0。

引理4［11-12］假設脈沖系統為

則當乘子|μ2| <1 時，式（4）的T-周期解x=ξ(t)，y=η(t)的軌道是漸近穩定的。在式（4）中，

2 周期解的存在性

研究式（2）在不同參數條件下階一周期解的存在性。

考慮脈沖系統式（2）階一周期解的存在性。

定理1若式（2）中的u和h滿足：

則存在階一周期解。

證明當時，由引理1 可知，式（2）在無狀態脈沖控制時（即式（1）），平衡點E3(，)漸近穩定、不穩定或通過Hopf 分岔出現唯一穩定的極限環分岔，其脈沖集為M：x=h，相集為N：x=(1?p)h，如圖1 所示。

圖1 Fig.1

任取一點A0∈N，使得yA0>，即A0為相集N上位于平衡點E3左上方的點。從點A0出發的軌線分別與相交，到達脈沖集M：x=h上的點A1(h，yA1)，隨后點A1在脈沖控制的作用下，沿與x軸平行的方向最終到達相集N：x=(1?p)h上的點A2((1?p)h，yA1)。此 時，A2為 點A0的后繼點，且A0的后繼函數為f(A0)=yA2?yA0。又因為A2在A0的下方，即yA2

經過點A2的軌線與脈沖集M：x=h相交于點A3。在脈沖控制的作用下，脈沖函數將點A3映射到相集N：x=(1?p)h上的點A4，則A4為點A2的后繼點且位于A2的上方，此時，A2的后繼函數為f(A2)=yA4?yA2，且f(A2)>0。因為f(A0)<0，f(A2)>0，所以f(A0)f(A2)<0，則可由引理2 和引理3 得，在A0和A2之間一定存在一點C，使得f(C)=0。因此，當

時，脈沖系統式（2）有階一周期解。

證畢。時，E3(，)穩定，式（1）的軌線方向沿逆時針方向由外向內運動，其軌道已漸近穩定。所以，僅討論當

時，E3(，)不穩定的情況，此時式（1）的軌線方向沿逆時針方向由內向外運動。

定理2若式（2）中的u，T和h滿足：

則系統存在階一周期解。

證明當

時，式（1）的平衡點E3(，)不穩定。在式（2）中，其脈沖集為M：x=h，其相集為N：x=(1?p)h，如圖2 所示。

圖2 <(1?p)h< 且h>Fig.2 <(1?p)h< and h>

任取一點F0((1?p)h，yF0)，且yF0>yE3，則定有一條軌線從F0出發，與相交后，到達脈沖集M：x=h上的點F1(h，yF1)。隨后，點F1在脈沖控制的作用下，到達相集N：x=（1?p）h上的點F2，且F1與F2的縱坐標值相同。因此，點F2為F0的后繼點且后繼函數f(F0)=yF2?yF0，又因為F2在F0的下方，所以f(F0)<0。

如圖2 所示，定有一條軌線經過點F2與脈沖集M：x=h相交于點F3(h，yF3)。隨后，脈沖函數又將點F3映射到相集N：x=（1?p）h上的點F4，F4為點F2的后繼點，則F2的后繼函數為f(F2)=yF4?yF2，又因為F4位于F2的上方，則f(F2)>0。

因為f(F0)f(F2)<0，所以由引理2 和引理3可得，在F0和F2之間一定存在一點H，使得f(H)=0。因此，當

時，式（2）有階一周期解。證畢。

3 T-周期解的軌道穩定性

在式（2）中，設其T-周期解（ξ(t)，η(t)）通過點W+((1?p)h，η0)∈N，W(h，η0)∈M。由引理4，計算乘子μ2。考慮式（2）的記號，有

最終，計算乘子μ2：

由引理4 可知，當乘子|μ2| <1 時，脈沖系統的T-周期解的軌道是漸近穩定的，則有以下定理。

定理3若式（2）存在階一周期解，當

則式（2）階一周期解的軌道是漸近穩定的。

4 數值模擬

令r=2，K=8，則式（2）可改寫為

對于定理1，u和h滿足：

令α=0.6，u=2，h=6.5，p=0.2，此時的平衡點E3(，)是漸近穩定的，設初始值為（5，6），分別得到x(t)的時間序列圖、y(t)的時間序列圖以及x(t)和y(t)的相位圖，如圖3 所示。

圖3 定理1 中E3(，)漸近穩定Fig.3 E3(，)is asymptotic stability in theorem 1

令α=0.2，u=2，h=6.5，p=0.2，此時的平衡點E3(，)是不穩定的，設初始值為（5，5.85），分別得到x(t)的時間序列圖、y(t)的時間序列圖以及x(t)和y(t)的相位圖，如圖4 所示。

圖4 定理1 中E3(，)不穩定Fig.4 E3(，)is unstable in theorem 1

令α=0.292 8，u=2，h=6.5，p=0.2，此時的平衡點E3(，)通過Hopf 分岔出現唯一穩定的極限環分岔，設初始值為（5，5.85），分別得到x(t)的時間序列圖、y(t)的時間序列圖以及x(t)和y(t)的相位圖，如圖5 所示。

圖5 定理1 中E3(，)通過Hopf 分岔出現唯一穩定的極限環分岔Fig.5 A unique and stable limit cycle bifurcation emerges via the Hopf bifurcation from the equilibrium E3(，) in theorem 1

對于定理2，u、T和h分別滿足：只考慮平衡點E3(，)的不穩定情況。令α=0.25，u=2，h=7，p=0.2，設初始值為（5.5，6.2），分別得到x(t)的時間序列圖、y(t)的時間序列圖以及x(t)和y(t)的相位圖，如圖6 所示。

圖6 定理2 中E3(，)不穩定Fig.6 E3(，)is unstable in theorem 2

由圖3～圖5 可知，數值模擬的結果驗證了定理1 及定理3 的正確性；由圖6 可知，數值模擬的結果驗證了定理2 及定理3 的正確性。