關于n-phantom-態射和n-Ext-phantom-態射的刻畫

蘭開陽，盧博

（西北民族大學數學與計算機科學學院，甘肅蘭州 730030）

1 預備知識

若無特殊說明，文中所有的環R均指帶單位元的結合環，所有的R-模均指幺模，即設M為左R-模，則對任意的x∈M，有1x=x，其中1 是環R中的單位元。左R-模M的示性模記為M+。設A，B為左R-模，n為正整數，Torn(A，B)和Extn(A，B) 分別指。Ab 表示阿貝爾群范疇；對于環R，R-Mod 表示左R-模范疇，Mod-R表示右R-模范疇。R-Mor 表示對象為左R-模態射、態射為左R-模態射f：M1→M2到左R-模態射g：N1→N2之間的態射范疇，即態射對的交換圖：

FU 等［1］提出理想逼近理論，稱雙邊函子HomR(?，?)：R-Modop×R-Mod→Ab 的子加法雙邊函子為范疇R-Mod 的理想，記為I。對任意2個左R-模M和N，I 中態射M→N構成一個阿貝爾群HomR(M，N)，對I 中任意3 個態射f，g，h，合成fgh有意義且g∈I，則有fgh∈I。理想逼近理論將經典的覆蓋與包絡理論一般化［2］。如phantom-態射的理想就是范疇R-Mod 的理想。Phantom-態射的研究思想來源于拓撲學中CW-復形之間的態射［3］，NEEMAN［4］首先將phantom-態射的概念應用于三角范疇并做了相關研究。HERZOG［5］將phantom-態射的定義推廣至結合環范疇，并做了大量研究。

如果P1，P2是投射左R-模，且f是可裂單態射，則稱范疇R-Mor 中態射f：P1→P2是投射 的；如果E1，E2是內射左R-模，且g是可裂滿態射，則稱范疇R-Mor 中態射g：E1→E2是內射的；如 果F1，F2是平坦左R-模，且h是純單態射，則稱范疇R-Mor 中態射h：F1→F2是平坦的［6］。

2 Torn-單態射、Extn-滿態射

Phantom-態射與Ext-phantom-態射的概念最早出現在文獻［5］中，下面給出Torn-單態射與Extn-滿態射的定義。

定義1設n是正整數，如果對任意的（有限表示）左R-模X，有

滿態射，則稱左R-模態射f：M→N是Extn-滿態射的；如果對任意的（有限表示）右R-模Y，有

單態射，則稱左R-模態射g：P→Q是Torn-單態射的。

下面的對偶定義來自文獻［8］。

設n是正整數，如果對任意的（有限表示）右R-模X，有

滿態射，則稱左R-模態射f：M→N是Torn-滿態射的；如果對任意的（有限表示）右R-模Y，有

單態射，則稱左R-模態射g：P→Q是Extn-單態射的。

在文獻［5］中，如果對任意的（有限表示）右R-模X，有

零態射，則稱左R-模態射f：M→N是phantom-態射的；在文獻［7］中，如果對任意的（有限表示）左R-模Y，有

零態射，則稱左R-模態射g：P→Q是Extphantom-態射的；MAO［6］引入了n-phantom-態射和n-Ext-phantom-態射的概念，設n是正整數，如果對任意的（有限表示）右R-模X，有

零態射，則稱左R-模態射f：M→N是n-phantom-態射的；如果對任意的（有限表示）左R-模Y，有

零態射，則稱左R-模態射g：P→Q是n-Extphantom-態射的。

顯然，R-Mod 中的1-phantom-態射恰好是phantom-態射；R-Mod 中的1-Ext-phantom-態射恰好是Ext-phantom-態射。

下面討論n-phantom-態射與Torn-單態射以及n-Ext-phantom-態射與Extn-滿態射之間的關系。

命題1設是左R-模的短正合列，則

（1）α是n-phantom-態射的當且僅當β是Torn-單態射的；

（2）β是n-Ext-phantom-態射的當且僅當α是Extn-滿態射的。

證明（1）對任意的右R-模M，由短正合序列

可得正合序列

所 以，Torn(M，α)=0 當且僅當Torn(M，β)單態射，故α是n-phantom-態射的當且僅當β是Torn-單態射的。

（2）對任意的（有限表示）左R-模N，由短正合序列

可得正合序列

因此，Extn(N，β)=0 當且僅當Extn(N，α)是滿態射的，故β是n-Ext-phantom-態射的當且僅當α是Extn-滿態射的。

則

（1）f是n-Ext-phantom-態射的當且僅當h是n-Ext-phantom-態射的；

（2）f是Extn-單態射的當且僅當h是Extn-單態射的。

證明對任意的（有限表示）左R-模X，由短正合序列

可得正合序列

因為Extn(X，i)單態射，所以Extn?1(X，π)滿態射。考慮行正合的交換圖：

從而有

（1）f是n-Ext-phantom-態射的當且僅當θ滿同態當且僅當ξ滿同態當且僅當h是n-Extphantom-態射的；

（2）f是Extn-單態射的當且僅當θ=0 當且僅當ξ=0 當且僅當h是Extn-單態射的。

命題3設f，g，h是R-Mod 中態射 的，且滿足fg=h。若f是Torn-單態射的，則

（1）h是n-phantom-態射的當且僅當g是nphantom-態射的；

（2）h是Torn-單態射的當且僅當g是Torn-單態射的。

證明對任意的右R-模M，有

因為Torn(M，f)單態射，所以有

（1）Torn(M，h)=0 當且僅當Torn(M，g)=0，故h是n-phantom-態射的當且僅當g是nphantom-態射的；

（2）Torn(M，h) 是單態射的當且僅當Torn(M，g)是單態射的，從而h是Torn-單態射的當且僅當g是Torn-單態射的。

命題4設f，g，h是R-Mod 中態射的，且滿足fg=h。若g是Extn-滿態射的，則

（1）h是n-Ext-phantom-態射的當且僅當f是n-Ext-phantom-態射的；

（2）h是Extn-滿態射的當且僅當f是Extn-滿態射的。

證明對任意的（有限表示）左R-模N，有

因為Extn(N，g)滿態射，所以有

（1）Extn(N，h)=0 當且僅當Extn(N，f)=0，故h是n-Ext-phantom-態射的當且僅當f是n-Extphantom-態射的；

（2）Extn(N，h)滿態射當且僅當Extn(N，f)滿態射，從而h是Extn-滿態射的當且僅當f是Extn-滿態射的。

如果對任意的左R-模M，有

是正合的，則稱R-Mod 中的短正合序列

是純正合的［9］，或者等價地，對任意的（有限表示）R-模N，有

是正合的，則稱X是Y的純子模，Z是Y的純商模。

如果對每個左R-模純正合序列

均是正合的，則稱左R-模M是純內射的。顯然，每個內射左R-模都是純內射的。

由文獻［5］，R-Mod 中的滿態射f是Tor1-滿態射的當且僅當f是純滿的；由文獻［7］，R-Mod 中的單態射g是Ext1-單態射的當且僅當g是純單的。

定理1設R是一個環，則

（1）如果左R-模態射f：M→N是Torn-單態射的，則對任意的正整數m(m>n)，f是Torm-單態射的；

（2）如果環R是凝聚環，且R-Mod 中的R-模態射g：P→Q是Extn-滿態射的，則對任意的正整數m(m>n)，g是Extm-滿態射的。

證明（1）對任意的右R-模X，存在短正合列

其中，H為投射右R-模。于是可得行正合的交換圖：

因為 Torn(K，f) 是單態射的，所以Torn+1(A，f)是單態射的，由數學歸納法，對任意的正整數m且m>n，f是Torm-單態射的。

（2）對任意的（有限表示）左R-模Y，因為R是凝聚環，所以存在短正合列

其中，F為有限生成投射左R-模，E為有限表示左R-模。于是可得行正合的交換圖：

因為Extn(E，g)滿態射，所以Extn+1(B，g)滿態射，從而由數學歸納法，對任意的正整數m且m>n，g是Extm-滿態射的。

定理2設R是一個環，則

（1）左R-模態射f：M→N是Torn-單態射的當且僅當在Mod-R中有f+：N+→M+是Extn-滿態射的；

（2）如果環R是凝聚環，那么R-Mod 中的R-模態射g：P→Q是Extn-滿態射的當且僅當Mod-R中的g+：Q+→P+是Torn-單態射的。

證明（1）對任意的（有限表示）右R-模X，可得交換圖：

由文獻［10］，因θ和δ標準自然同構，所以Torn(X，f)是單態射的當且僅當Torn(X，f)+滿態射當且僅當Extn(X，f+)滿態射。因此，R-Mod 中的左R-模態射f：M→N是Torn-單態射的當且僅當Mod-R中的f+：N+→M+是Extn-滿態射的。

（2）對任意的（有限表示）左R-模Y，可得交換圖：

由文獻［10］，因μ 和σ 同構，所以Extn(Y，g)滿態射當且僅當Extn(Y，g)+單態射當且僅當Torn(g+，Y)單態射。因此，R-Mod 中的R-模態射g：P→Q是Extn-滿態射的當且僅當Mod-R中的g+：Q+→P+是Torn-單態射的。