HPM視野下數學分析課程教學的探索

王和香, 張四保

(喀什大學 數學與統計學院，新疆 喀什 844008)

數學分析是以函數為研究對象，利用極限方法來研究微積分學和無窮級數一般理論及其理論基礎(實數、函數和極限的基本理論)的重要數學基礎分支，也是高等院校數學專業的一門主干課程，為進一步學習概率論、微分方程、實變函數和復變函數等后繼課程奠定堅實基礎。它內容豐富、邏輯縝密，為讓大學新生順利完成從常量數學到變量數學的轉變，數學分析課程肩負著連接初等數學與現代數學的橋梁之重任。因此，對于任課教師來說，如何提高數學分析教學質量顯得尤為重要。

History and Pedagogy of Mathematics(數學史與數學教育)，簡稱HPM，成立于1972年第二屆國際數學教育大會(ICME-2)，原指研究數學史與數學關系國際領導小組這一團體，現多指該團體的研究對象——數學史與數學教育之間的關系[1]。HPM先驅者、美國著名數學史家卡約黎指出，通過歷史的解說，教師可以讓學生明白：數學并不是一門枯燥呆板的學科，而是一門不斷進步的生動有趣的學科[2]。我國老一輩數學家余介石在《數之意義》一書中主張：“歷史之于教學，不僅在名師大家之遺言軼事，足生后學高山仰止之思，收聞風興起之效。更可指示基本概念之有機發展情形，與夫心理及邏輯程序，如何得以融合調劑，不至相背，反可相成，誠為教師最宜留意體會之一事也。”[2]65

如今，眾多教育工作者將HPM大量的應用到初、高中的數學課堂教學實踐中，教學案例碩果累累。例如，HPM視角下，吳佐慧等人研究了基本不等式教學[3]；潘金城給出了正切概念教學案例[4]；王芳等人先后給出了導數幾何意義[5]和導數應用[6]的教學案例等等。與此同時，HPM與大學數學教育的研究也逐漸成為高校教育工作者的研究熱點，2019年5月在上海召開的第八屆全國數學史與數學教育數學研討會中，還專門作了“HPM與大學數學教育”的分組報告[7]，這些都使得HPM為優化大學數學教育提供新的借鑒。

1 HPM視野下的數學分析課堂教學實踐

結合近幾年來的數學分析課程教學實踐，首先給出基于HPM視野下的課程教學實踐流程圖(圖1)。

圖1 實踐教學流程圖

1.1 在課程導入環節加入數學史

如果教師在講授新課時巧妙地將與課程知識有關的數學史以及數學家成長歷程等有機地融于課堂教學中，帶領學生重回歷史年代，了解數學理論的創作背景，不但可以增加課堂教學的知識性與趣味性，激發學生的學習興趣，還可以引起學生和知識點之間的共鳴，將冰冷的知識點賦以歷史的溫度，感受在特定的時代背景下數學思想的誕生，潛移默化地使學生產生一種“火熱的思考”。例如在講授函數項級數時，判斷函數項級數一致收斂問題是數學分析中的一個重難點，之后要學習的連續函數項級數的逐項積分和微分定理也是在函數一致收斂的條件下完成的。而魏爾斯特拉斯判別法(也稱M判別法或優級數判別法)則是最常用的方法之一，它需要恰當放大un(x)，以便找到合適的Mn，即：

定理[8](魏爾斯特拉斯判別法) 設函數項級數∑un(x)定義在數集D上，∑Mn為收斂的正項級數，若對一切x∈D有|un(x)|≤Mn,n=1,2,…，則函數項級數∑un(x)在D上一致收斂。

為加深學生對魏爾斯特拉斯判別法的理解，在講課之前，先為學生介紹一致收斂性這個概念的創造者、“現代分析之父”——魏爾斯特拉斯，同時借助課程內容將課程思政融入教學環節。

在分析嚴格化這一歷程中，魏爾斯特拉斯用精密的“ε-δ”重新定義了極限、連續和導數等概念，通過引進一致收斂性而消除了微積分中不斷出現的各種異議，也由此使他獲得了“現代分析之父”的稱號。魏爾斯特拉斯在鄉村中學教書時，沒有好的圖書館，沒有可與其進行學術探討的同事，無力訂閱期刊，即使在如此惡劣條件下，他始終堅持研究阿貝爾函數，取得了重要的科研成果《阿貝爾函數理論》。魏爾斯特拉斯以其精湛的數學研究、杰出的數學教育和偉大的精神品格，贏得了世人的尊敬和推崇，在數學史上留下了光輝的一頁。

1.2 在講授新知環節加入數學史

將與本節內容相關的數學史作為本節課程的內容主題，以講授新知的方式進行課堂教學。例如講授導數的定義。在華中師范大學版本的《數學分析》[8]中，第五章導數與微分是先講導數再講微分，而學生學完后，對導數和微分的理解總是模棱兩可。其實，歷史上微分的發現早于導數，因此，我們以史為鑒，通過重構導數定義的歷史，讓學生經歷導數定義的發生(為解決實際問題產生導數)、發展(運用導數發現微積分)和嚴格化(ε-δ重新定義)的過程，加深學生對導數及微分概念的理解，在此基礎上，培養學生善于思考、善于發現問題的能力。

圖2 曲線圍成圖形面積

17世紀，牛頓和萊布尼茲在無限小的基礎上獨自創立了微積分，在解決曲線圍成圖形的面積的時候確定了導數的定義。當時人們已經知道在求解曲線圍成圖形的面積時，利用無窮小量的思想，將其分割、近似、求和、取極限(圖2)。分割得越細致，近似值就越精確?？墒窃诰唧w計算曲邊圖形的面積時，就遇到了曲線的切線問題。當時關于切線已經有了比較成熟的結論。阿基米德最先給出切線的靜態定義：不通過曲線且與其只有一個焦點的直線。隨后數學科學家又給出了切線的動態定義：割線的極限位置。

圖3 萊布尼茲定義的導數

牛頓計算導數的方法和萊布尼茲類似，只不過是用ο代替了dx，用假設ο很小來說明近似程度很高，當ο變成任意小時，誤差消失。

牛頓和萊布尼茲對導數的定義引起了人們的質疑，他們提出兩個疑問，一是從切線的定義來看，曲線上a和b兩點之間的橫坐標相距dx(盡管很小，但始終存在)，這就說明切線與曲線的交點不唯一，這與切線的定義相矛盾。二是從形式上看(這里以x3的導數為例)，

歷史證明，人們的質疑是正確的。直到200年后，人們才找到對于這種質疑的合理答案，先是由柯西給出了導數的清晰定義，即差商的極限，而最終是由威爾斯特拉利用ε-δ語言徹底掃清了關于無窮小的混亂概念，才有了現在所熟知的用極限定義的導數，即

圖4 嚴格意義下導數約定義

數學概念是以定義的形式來揭露其本質特征的，而掌握數學概念最貼切的方法無疑是了解概念產生的歷史及發展過程。在教學中融入數學史，再現導數的產生、應用及嚴格化過程，讓學生系統全面地掌握導數的定義及導數與微分之間的關系，領會微分的基本思想——在局部條件下用直線去近似替代曲線。牛頓和萊布尼茲給出了導數的定義，雖然因認識不足，在概念上沒有找到一個嚴謹的邏輯基礎，但二人卻為微積分的發展指明了一條正確的道路。在日常學習中，我們可能也會遇到一兩個攔路虎，定理花了2 h都推導不出來，公式概念看了很多遍還是理解不清，課后習題無從下筆等等，此時我們或許可以把問題暫時放在一邊，先去完成其他任務，等過一段時間再回過頭來看可能會有新的發現。生活也如此，不能因為各種借口而怠慢學習，要學會調節自己的心態，始終保持積極、向上的學習、生活態度。

1.3 在課堂小結環節加入數學史

2 結語

將數學史融入數學分析課堂教學，可以將冰冷僵硬的數學概念、定理賦予歷史的溫度，感受在特定的時代背景下，眾多數學家偉大思想的誕生，讓學生在數學史中學習有溫度的數學分析。筆者只是給出幾個與數學分析課程內容有關的數學史。要知道，在數學分析課程內容中還存在著大量的值得我們任課教師去深入思考與挖掘的數學史料。因為在一定程度上，基于HPM視野進行課程教學有助于提高課程教學效果與質量，同時也可基于HPM視野深入挖掘課程思政元素，以到達課程思政育人的目標。