淺析如何理清分數(shù)學習的知識脈絡

摘 要：文章從一道小學高段分數(shù)常見題引發(fā)思考，對分數(shù)的意義進行了解讀。文章通過對題目錯誤根源的找尋，運用合并教學、對比教學，理清分數(shù)學習的知識脈絡，搞清分數(shù)意義本質(zhì)，并從課堂教學的角度提出一些有效的教學建議。

關鍵詞：分數(shù)意義;知識脈絡;意義理解

一、 緣起

練習題呈現(xiàn)：把一根2米長的木條鋸成同樣長的4段，每段是這根木條的（? ）（? ），每段長（? ）（? ）米。

此題是五年級檢測試卷中的一道常考題，學生錯誤率非常高，甚至有部分學生一直到小學畢業(yè)，還沒有搞明白究竟怎么回事。筆者對五年級兩個班的76位學生就本題進行了測試。為了更清楚地了解學生的思考過程，以便更準確地把握學生的錯誤原因，要求學生用文字結(jié)合示意圖的形式加以說明，10分鐘內(nèi)獨立完成，整個過程真實、可信。僅看結(jié)果，正確的有39人（兩個班分別為20人和19人），正確率為51.3%，結(jié)果與過程均正確的僅有30人（兩個班分別為16人和14人），僅占39.5%，真是讓人大跌眼鏡。

課后在與同事的交流中發(fā)現(xiàn)，很多同事對這個習題也是頭疼不已，從一開始的耐心講解分析，到最后讓學生死記硬背，效果總不是那么的理想。筆者試圖通過回顧分數(shù)學習的歷程，理清分數(shù)學習的知識脈絡，找尋錯誤的根源，從課堂教學的角度提出一些教學建議，促進學生對分數(shù)意義的理解。

二、 分析

這道習題考查的知識點是什么？分數(shù)的意義嗎？分數(shù)的意義究竟有哪些？現(xiàn)在主流觀點認為分數(shù)具有“率”和“量”兩種不同的意義。筆者試圖通過回顧兩種分數(shù)意義學習的歷程，理清分數(shù)學習的知識脈絡，找尋錯誤的根源，從課堂教學的角度提出一些教學建議，促進學生對分數(shù)意義的理解。

（一）表示一種關系

學生三年級時從“部分與整體關系”的意義認識了分數(shù)，強調(diào)在“平均分”的基礎上，加入整體的概念，讓學生認識到，與整體相比較，部分也可以是一個數(shù)。

但從三年級一直到五年級，學生頭腦中對分數(shù)的意義理解僅有一種：“部分與整體的關系。”到了五年級下第一課時“分數(shù)的意義”仍舊突出了這種關系，明確提出整體可以是一個或者多個物體，但不管是一個還是多個物體，表示的意義仍舊為“一種關系”。如將4個餅作為一個整體，那么它的14實際上表示1個餅，而有不少的學生認為是14個餅。

（二）表示具體數(shù)量

對于分數(shù)與除法的關系，很多學生只停留在表面的各部分的聯(lián)系，進行了比較與遷移，往往忽視了它們之間內(nèi)在的本質(zhì)溝通。在教學“用分數(shù)表示除法的結(jié)果”時，學生會很熟練地把被除數(shù)看成分子，除數(shù)看成分母（圖1）。但如果是這樣的題目“1÷7=（? ）”，結(jié)果往往不是用分數(shù)表示的（圖2）。學生為什么不用分數(shù)表示除法的商呢？課后訪談得知，雖然已經(jīng)學習過分數(shù)與除法的關系，但很多學生還是認為只有整數(shù)和小數(shù)才能表示計算的結(jié)果，而分數(shù)只表示“幾份中占了幾份”，也就是只表示“一種關系”。也說明學生只是從外在的形式上認識了分數(shù)與除法的關系，對分數(shù)表示“商”的意義是遠遠不夠的。

在學習分數(shù)意義的過程中，我們要注重學習素材與生活經(jīng)驗的合理銜接，讓學習的素養(yǎng)更具有現(xiàn)實意義，這樣才能讓數(shù)學的知識更貼近于生活實際，這就要求我們從數(shù)學的外部恰當?shù)匾敕謹?shù)。教材又從學生喜聞樂見的“分蛋糕、分月餅”等經(jīng)常經(jīng)歷的事例進行引入，抽象出分數(shù)與除法的關系，這實際上從純數(shù)學的角度，賦予了分數(shù)“商”的意義。從現(xiàn)實生活的問題中引入分數(shù)“部分與整體關系”的意義，利用現(xiàn)實情境與實物操作的方法，有利于學生對“份數(shù)”和“商”的意義理解。

從學生對兩種不同意義的學習歷程中不難發(fā)現(xiàn)，學生對分數(shù)表示“部分與整體關系”的意義是根深蒂固的，不利于對分數(shù)其他意義的理解。這道習題實際上就是考查了分數(shù)表示“關系”與“商”兩種不同意義的理解，然而當學習了“分數(shù)與除法”之后，原來分數(shù)也可以表示“商”。正是學生對分數(shù)表示“部分與整體關系”的根深蒂固，而對“分數(shù)與除法”沒能從本質(zhì)上理解，才使得學生的學習，僅停留在“被除數(shù)與分子，除數(shù)與分母”的表層理解上。因此區(qū)分分數(shù)表示兩種不同的意義還是有一定難度的，錯誤率高也就不難理解了。

三、 思考

怎樣更好地幫助學生認識分數(shù)的兩種不同意義，并理解內(nèi)在的聯(lián)系和區(qū)別呢？筆者認為可以進行以下教學嘗試：

（一）合并教學

以人教版為例，分數(shù)兩種意義的教學是分成兩課時的，第一課時學習“部分與整體關系”的意義，第二課時學習“商”的意義。筆者認為這樣的編排，仍舊突出了“份數(shù)”的意義，可能不利于學生對“商”的意義理解，以至于不能很好地區(qū)分兩種不同的意義。能否把分數(shù)的兩種意義合并教學？在同一課時中讓學生理解、辨析、區(qū)分兩種不同的意義，會不會更好地掌握分數(shù)的兩種意義呢？筆者在四年級下學生中作了嘗試，在課后練習測驗和訪談中，教學效果比原來分開教學要好一些。

（二）對比教學

文章開頭的題目，是讓學生直接區(qū)分分數(shù)的兩種不同意義，因為對兩種意義的理解不透徹，所以對很多學生來說有一定難度。如果單獨考查學生對分數(shù)兩種意義的理解，是否會更好一些？故在此后又重新讓兩個班的學生分別作了測試，而且兩個班的測試內(nèi)容還作了適當?shù)膮^(qū)分，具體如下：

第一次：單獨考查學生對分數(shù)表示“部分與總體關系”的理解。特意在兩個班設置相同類型，但題數(shù)不同的題目，仍舊要求學生用文字結(jié)合示意圖的方式加以說明思考過程。目的是了解學生對“份數(shù)”意義的理解情況，以及學生單個題目與多個相同類型題目的理解是否會有區(qū)別，以便更好地指導課堂教學。

大部分學生對“份數(shù)”意義已經(jīng)理解。此前單元練習題測試結(jié)果兩個班并無明顯差異，多個練習的正確率要高于單個練習的正確率。

第二次：單獨考查學生對分數(shù)表示“商”的理解。和第一次考查一樣，也在兩個平行班中設置了單個題目與多個相同類型的題目，但對單個題目和多個題目的考查進行了班級交換。仍舊要求學生用文字結(jié)合示意圖的方式加以說明思考過程，調(diào)查在正確率上是否會有差異以及差異是否明顯。

從結(jié)果來看，還是有相當一部分的學生對“商”的意義是不理解的，有對比練習的多個題目的正確率要好于單個題目。

通過兩次對比測試可以看出：學生對單獨考查分數(shù)的兩種意義要略好于兩種意義混合考查，說明學生對兩種意義的理解是有一定的認知基礎的，只是概念還不夠清晰，容易混淆。從分數(shù)表示兩種不同意義的角度看，學生對分數(shù)表示“部分與整體關系”的理解要優(yōu)于分數(shù)表示“商”的理解，從學生的學習歷程也印證了這一點。

四、 實踐

基于學生對分數(shù)兩種意義掌握的現(xiàn)狀，筆者認為在分數(shù)意義的教學中，可以從分數(shù)表示“份數(shù)”的定義引入，但重點應放在分數(shù)“商”的意義及兩種意義的辨析上。筆者在四年級下重新進行了兩次教學實踐，教學效果要優(yōu)于原先分成兩課時教學。

【環(huán)節(jié)一】：異中求同：學習分數(shù)“份數(shù)”的意義

1. 認識一個整體

（1）出示例題：請你畫出示意圖分一分，思考：每份是全部的幾分之幾？

（2）思考：分別是誰在平均分成4份？請把它圈出來。

（由于在三年級上《分數(shù)的簡單應用》中已經(jīng)對多個物體表示一個整體有過接觸，對多個物體表示一個整體，學生已經(jīng)有了初步的認識與感知。通過畫一畫、分一分中認識到，不管是1個、4個還是2個蛋糕，都是平均分成了4份，每份就是全部的14，在討論與交流中加深對“份數(shù)”意義的理解。）

2. 揭示“份數(shù)”的定義

（1）提問：不同的蛋糕個數(shù)在平均分，為什么都是14呢？

（2）小結(jié)：都是總數(shù)4份里的1份，只是整體不一樣了。分數(shù)在這里都表示部分和整體的一種關系。（板書：一種關系）

（在兩次執(zhí)教過程中，有學生提出：可以把4個蛋糕看成1個大蛋糕，把這個大蛋糕平均分成4份，也就和第1小題一樣了。把2個蛋糕平均分成4份，每份是這些蛋糕的幾分之幾？在教學中學生出現(xiàn)了爭議，有些學生認為是28，有些學生認為是24，因為有了之前的經(jīng)驗，大部分學生的理解是正確的，認為是14。同樣有學生認為可以把2個蛋糕看成1個大蛋糕，也就和前兩題道理一樣了。）

【環(huán)節(jié)二】：同中求異：學習分數(shù)“除法”的意義

1. 體會“除法”的意義

（1）把4個蛋糕平均分成4份，每份是幾個蛋糕？

提問：可以怎樣列式？4÷4，等于多少？

（2）把1個蛋糕平均分成4份，每份是幾個蛋糕？

提問：算式怎么列？1÷4，追問：等于多少呢？學生根據(jù)剛才的示意圖可以看出是14個蛋糕。（事實上，在這里很多學生對14和14個是混淆的）

（3）把2個蛋糕平均分成4份，每份是幾個蛋糕？

提問：算式怎么列？2÷4，追問：等于多少呢？學生根據(jù)剛才的示意圖可以看出是24個和12個，為什么不是14個呢？根據(jù)學生回答補充板書。

（從整數(shù)除法引入，學生更容易從平均分的角度把分數(shù)與除法聯(lián)系起來。因為有了4個的經(jīng)驗，1個和2個平均分成4份，列式就比較容易了。至于結(jié)果是多少，學生可以根據(jù)示意圖中看出來，但在這里學生對兩種意義的區(qū)分仍舊是模糊的。）

2. 區(qū)分兩種不同的意義

（1）為什么不一樣多的蛋糕平均分成4份，每份都是全部的14？（因為不管幾個蛋糕都看成了一個整體，都表示4份中的1份）這里的14表示其中一部分與整體之間的一種關系。

（2）為什么都是14卻不一樣多呢？（因為整體不同），看來具體多少個蛋糕和什么有關？（總數(shù)的多少）因為總數(shù)的多少不同，所以平均分成4份后其中的1份也會不同。這里的14個、1個和24個表示一個具體的數(shù)量，可以用除法進行計算，用分數(shù)表示結(jié)果。

3. 建立符號模型，搞清分數(shù)與除法的關系

（1）觀察三個除法算式，思考：怎樣寫出除法算式的商？（被除數(shù)與分子，除數(shù)與分母）

（2）為什么可以這樣表示？（分數(shù)和除法都可以表示平均分，比較聯(lián)系觀察后即可得出）

【環(huán)節(jié)三】：分數(shù)的產(chǎn)生

提問：什么時候我們會用到分數(shù)？（多數(shù)學生會提到分物體）

在日常生活中，除了分物體和測量物體長度時，也可以出現(xiàn)在計算中，比如在計算除法時，分數(shù)也可以表示除法的商，如1÷7=？（這時候很多學生還是習慣用小數(shù)來表示，會有很少一部分學生能用17表示結(jié)果）7÷9=？（79，體會分數(shù)表示除法結(jié)果的優(yōu)勢）

（從數(shù)學的外部需要與數(shù)學內(nèi)部發(fā)展需要兩個角度，解釋了分數(shù)產(chǎn)生的不同背景，幫助學生理解兩種不同的意義，并從中體會分數(shù)表示結(jié)果的優(yōu)勢。）

分數(shù)教學中，由于學生在剛接觸分數(shù)時，都采用“份數(shù)”的定義引入，通過分一分、畫一畫等多種形式的強化，學生對分數(shù)表示“部分與整體的關系”是非常深刻的。這樣對理解分數(shù)表示“商”是有負遷移作用的。因此，在教學設計中，通過“異中求同”“同中求異”來幫助學生區(qū)分兩種不同的意義，應該說更側(cè)重于分數(shù)表示“商”的教學，是有利于更好地理解分數(shù)兩種不同的意義的。

參考文獻：

[1]吳志健.例談分數(shù)意義習題習得性教學誤區(qū)[J].教學與管理，2019（26）：34-35.

作者簡介：

郭益東，浙江省杭州市，浙江省杭州市蕭山區(qū)瓜瀝鎮(zhèn)光明小學。