


摘 要:文章從一道小學高段分數常見題引發思考,對分數的意義進行了解讀。文章通過對題目錯誤根源的找尋,運用合并教學、對比教學,理清分數學習的知識脈絡,搞清分數意義本質,并從課堂教學的角度提出一些有效的教學建議。
關鍵詞:分數意義;知識脈絡;意義理解
一、 緣起
練習題呈現:把一根2米長的木條鋸成同樣長的4段,每段是這根木條的(? )(? ),每段長(? )(? )米。
此題是五年級檢測試卷中的一道常考題,學生錯誤率非常高,甚至有部分學生一直到小學畢業,還沒有搞明白究竟怎么回事。筆者對五年級兩個班的76位學生就本題進行了測試。為了更清楚地了解學生的思考過程,以便更準確地把握學生的錯誤原因,要求學生用文字結合示意圖的形式加以說明,10分鐘內獨立完成,整個過程真實、可信。僅看結果,正確的有39人(兩個班分別為20人和19人),正確率為51.3%,結果與過程均正確的僅有30人(兩個班分別為16人和14人),僅占39.5%,真是讓人大跌眼鏡。
課后在與同事的交流中發現,很多同事對這個習題也是頭疼不已,從一開始的耐心講解分析,到最后讓學生死記硬背,效果總不是那么的理想。筆者試圖通過回顧分數學習的歷程,理清分數學習的知識脈絡,找尋錯誤的根源,從課堂教學的角度提出一些教學建議,促進學生對分數意義的理解。
二、 分析
這道習題考查的知識點是什么?分數的意義嗎?分數的意義究竟有哪些?現在主流觀點認為分數具有“率”和“量”兩種不同的意義。筆者試圖通過回顧兩種分數意義學習的歷程,理清分數學習的知識脈絡,找尋錯誤的根源,從課堂教學的角度提出一些教學建議,促進學生對分數意義的理解。
(一)表示一種關系
學生三年級時從“部分與整體關系”的意義認識了分數,強調在“平均分”的基礎上,加入整體的概念,讓學生認識到,與整體相比較,部分也可以是一個數。
但從三年級一直到五年級,學生頭腦中對分數的意義理解僅有一種:“部分與整體的關系。”到了五年級下第一課時“分數的意義”仍舊突出了這種關系,明確提出整體可以是一個或者多個物體,但不管是一個還是多個物體,表示的意義仍舊為“一種關系”。如將4個餅作為一個整體,那么它的14實際上表示1個餅,而有不少的學生認為是14個餅。
(二)表示具體數量
對于分數與除法的關系,很多學生只停留在表面的各部分的聯系,進行了比較與遷移,往往忽視了它們之間內在的本質溝通。在教學“用分數表示除法的結果”時,學生會很熟練地把被除數看成分子,除數看成分母(圖1)。但如果是這樣的題目“1÷7=(? )”,結果往往不是用分數表示的(圖2)。學生為什么不用分數表示除法的商呢?課后訪談得知,雖然已經學習過分數與除法的關系,但很多學生還是認為只有整數和小數才能表示計算的結果,而分數只表示“幾份中占了幾份”,也就是只表示“一種關系”。也說明學生只是從外在的形式上認識了分數與除法的關系,對分數表示“商”的意義是遠遠不夠的。
在學習分數意義的過程中,我們要注重學習素材與生活經驗的合理銜接,讓學習的素養更具有現實意義,這樣才能讓數學的知識更貼近于生活實際,這就要求我們從數學的外部恰當地引入分數。教材又從學生喜聞樂見的“分蛋糕、分月餅”等經常經歷的事例進行引入,抽象出分數與除法的關系,這實際上從純數學的角度,賦予了分數“商”的意義。從現實生活的問題中引入分數“部分與整體關系”的意義,利用現實情境與實物操作的方法,有利于學生對“份數”和“商”的意義理解。
從學生對兩種不同意義的學習歷程中不難發現,學生對分數表示“部分與整體關系”的意義是根深蒂固的,不利于對分數其他意義的理解。這道習題實際上就是考查了分數表示“關系”與“商”兩種不同意義的理解,然而當學習了“分數與除法”之后,原來分數也可以表示“商”。正是學生對分數表示“部分與整體關系”的根深蒂固,而對“分數與除法”沒能從本質上理解,才使得學生的學習,僅停留在“被除數與分子,除數與分母”的表層理解上。因此區分分數表示兩種不同的意義還是有一定難度的,錯誤率高也就不難理解了。
三、 思考
怎樣更好地幫助學生認識分數的兩種不同意義,并理解內在的聯系和區別呢?筆者認為可以進行以下教學嘗試:
(一)合并教學
以人教版為例,分數兩種意義的教學是分成兩課時的,第一課時學習“部分與整體關系”的意義,第二課時學習“商”的意義。筆者認為這樣的編排,仍舊突出了“份數”的意義,可能不利于學生對“商”的意義理解,以至于不能很好地區分兩種不同的意義。能否把分數的兩種意義合并教學?在同一課時中讓學生理解、辨析、區分兩種不同的意義,會不會更好地掌握分數的兩種意義呢?筆者在四年級下學生中作了嘗試,在課后練習測驗和訪談中,教學效果比原來分開教學要好一些。
(二)對比教學
文章開頭的題目,是讓學生直接區分分數的兩種不同意義,因為對兩種意義的理解不透徹,所以對很多學生來說有一定難度。如果單獨考查學生對分數兩種意義的理解,是否會更好一些?故在此后又重新讓兩個班的學生分別作了測試,而且兩個班的測試內容還作了適當的區分,具體如下:
第一次:單獨考查學生對分數表示“部分與總體關系”的理解。特意在兩個班設置相同類型,但題數不同的題目,仍舊要求學生用文字結合示意圖的方式加以說明思考過程。目的是了解學生對“份數”意義的理解情況,以及學生單個題目與多個相同類型題目的理解是否會有區別,以便更好地指導課堂教學。
大部分學生對“份數”意義已經理解。此前單元練習題測試結果兩個班并無明顯差異,多個練習的正確率要高于單個練習的正確率。
第二次:單獨考查學生對分數表示“商”的理解。和第一次考查一樣,也在兩個平行班中設置了單個題目與多個相同類型的題目,但對單個題目和多個題目的考查進行了班級交換。仍舊要求學生用文字結合示意圖的方式加以說明思考過程,調查在正確率上是否會有差異以及差異是否明顯。
從結果來看,還是有相當一部分的學生對“商”的意義是不理解的,有對比練習的多個題目的正確率要好于單個題目。
通過兩次對比測試可以看出:學生對單獨考查分數的兩種意義要略好于兩種意義混合考查,說明學生對兩種意義的理解是有一定的認知基礎的,只是概念還不夠清晰,容易混淆。從分數表示兩種不同意義的角度看,學生對分數表示“部分與整體關系”的理解要優于分數表示“商”的理解,從學生的學習歷程也印證了這一點。
四、 實踐
基于學生對分數兩種意義掌握的現狀,筆者認為在分數意義的教學中,可以從分數表示“份數”的定義引入,但重點應放在分數“商”的意義及兩種意義的辨析上。筆者在四年級下重新進行了兩次教學實踐,教學效果要優于原先分成兩課時教學。
【環節一】:異中求同:學習分數“份數”的意義
1. 認識一個整體
(1)出示例題:請你畫出示意圖分一分,思考:每份是全部的幾分之幾?
(2)思考:分別是誰在平均分成4份?請把它圈出來。
(由于在三年級上《分數的簡單應用》中已經對多個物體表示一個整體有過接觸,對多個物體表示一個整體,學生已經有了初步的認識與感知。通過畫一畫、分一分中認識到,不管是1個、4個還是2個蛋糕,都是平均分成了4份,每份就是全部的14,在討論與交流中加深對“份數”意義的理解。)
2. 揭示“份數”的定義
(1)提問:不同的蛋糕個數在平均分,為什么都是14呢?
(2)小結:都是總數4份里的1份,只是整體不一樣了。分數在這里都表示部分和整體的一種關系。(板書:一種關系)
(在兩次執教過程中,有學生提出:可以把4個蛋糕看成1個大蛋糕,把這個大蛋糕平均分成4份,也就和第1小題一樣了。把2個蛋糕平均分成4份,每份是這些蛋糕的幾分之幾?在教學中學生出現了爭議,有些學生認為是28,有些學生認為是24,因為有了之前的經驗,大部分學生的理解是正確的,認為是14。同樣有學生認為可以把2個蛋糕看成1個大蛋糕,也就和前兩題道理一樣了。)
【環節二】:同中求異:學習分數“除法”的意義
1. 體會“除法”的意義
(1)把4個蛋糕平均分成4份,每份是幾個蛋糕?
提問:可以怎樣列式?4÷4,等于多少?
(2)把1個蛋糕平均分成4份,每份是幾個蛋糕?
提問:算式怎么列?1÷4,追問:等于多少呢?學生根據剛才的示意圖可以看出是14個蛋糕。(事實上,在這里很多學生對14和14個是混淆的)
(3)把2個蛋糕平均分成4份,每份是幾個蛋糕?
提問:算式怎么列?2÷4,追問:等于多少呢?學生根據剛才的示意圖可以看出是24個和12個,為什么不是14個呢?根據學生回答補充板書。
(從整數除法引入,學生更容易從平均分的角度把分數與除法聯系起來。因為有了4個的經驗,1個和2個平均分成4份,列式就比較容易了。至于結果是多少,學生可以根據示意圖中看出來,但在這里學生對兩種意義的區分仍舊是模糊的。)
2. 區分兩種不同的意義
(1)為什么不一樣多的蛋糕平均分成4份,每份都是全部的14?(因為不管幾個蛋糕都看成了一個整體,都表示4份中的1份)這里的14表示其中一部分與整體之間的一種關系。
(2)為什么都是14卻不一樣多呢?(因為整體不同),看來具體多少個蛋糕和什么有關?(總數的多少)因為總數的多少不同,所以平均分成4份后其中的1份也會不同。這里的14個、1個和24個表示一個具體的數量,可以用除法進行計算,用分數表示結果。
3. 建立符號模型,搞清分數與除法的關系
(1)觀察三個除法算式,思考:怎樣寫出除法算式的商?(被除數與分子,除數與分母)
(2)為什么可以這樣表示?(分數和除法都可以表示平均分,比較聯系觀察后即可得出)
【環節三】:分數的產生
提問:什么時候我們會用到分數?(多數學生會提到分物體)
在日常生活中,除了分物體和測量物體長度時,也可以出現在計算中,比如在計算除法時,分數也可以表示除法的商,如1÷7=?(這時候很多學生還是習慣用小數來表示,會有很少一部分學生能用17表示結果)7÷9=?(79,體會分數表示除法結果的優勢)
(從數學的外部需要與數學內部發展需要兩個角度,解釋了分數產生的不同背景,幫助學生理解兩種不同的意義,并從中體會分數表示結果的優勢。)
分數教學中,由于學生在剛接觸分數時,都采用“份數”的定義引入,通過分一分、畫一畫等多種形式的強化,學生對分數表示“部分與整體的關系”是非常深刻的。這樣對理解分數表示“商”是有負遷移作用的。因此,在教學設計中,通過“異中求同”“同中求異”來幫助學生區分兩種不同的意義,應該說更側重于分數表示“商”的教學,是有利于更好地理解分數兩種不同的意義的。
參考文獻:
[1]吳志健.例談分數意義習題習得性教學誤區[J].教學與管理,2019(26):34-35.
作者簡介:
郭益東,浙江省杭州市,浙江省杭州市蕭山區瓜瀝鎮光明小學。