運用數學思維解決影視作品中的數學問題
——以運用遞推數列研究《輪到你了》中的概率問題為例

黃煜可 閔祥偉 胡細寶 李曉花

（北京郵電大學理學院 北京 100876）

1 求解數學問題的四個步驟

如何使用數學思維解決生活中的問題呢？G.波利亞[1]給出了求解數學問題的四個步驟：理解題目、擬訂方案、執行方案、回顧。這與數學建模思想基本一致（圖1）。

圖1：數學建模的全過程

其中：（1）表述是將現實問題“翻譯”成抽象的數學問題，屬于歸納法。（2）數學模型的求解則屬于演繹法。（3）解釋是把數學模型的解答“翻譯”回到現實對象，給出分析、預報、決策或者控制的結果。（4）最后，這些結果需要用實際的信息加以驗證[2]。

下面我們利用這個過程求解影視作品《輪到你了》中的一個數學問題。

2 交換殺人事件與裝錯信封問題

《輪到你了》是日本電視臺2019年播出的高收視率懸疑推理劇。講述了東京某座公寓中發生的“交換殺人事件”。故事的開端，13名公寓住戶抱著有趣的心態玩了一個桌面游戲。每個人都在紙條上寫下自己最希望殺死的人，之后進行抽簽。如果某位住戶寫下的人被害，他就必須殺死自己抽到的人。沒想到紙條上的人真的一個接一個地死去。

這里有一個數學問題：13個住戶全都被卷入這場“交換殺人事件”的概率是多少呢？劇中數學專業學生黑島沙和對這個問題進行分析（圖2）。

圖2：黑島沙和及她給出的計算過程和結果

她認為“順利實現交換”的概率等于“每個人都沒有抽到自己寫的紙條”的概率。從這個角度出發，我們嘗試按照數學建模的四個步驟還原黑島的分析。

第2步：數學模型求解。常見解法有：容斥原理法[3]、遞推數列法[4]和概率公式法。

第4步：用實際信息加以驗證。如上，我們還原了黑島的分析。那么她的分析真的正確嗎？看一個反例：第1、2號住戶抽中了對方的紙條；第i號住戶抽中了第號住戶的紙條，；第號住戶抽中了第3號住戶的紙條。這樣的抽簽方式符合黑島提出的“每個人都沒有抽到自己寫的紙條”的要求，但并不能從“一個人死亡”開始將全部個住戶都卷入。可見，黑島的分析是錯誤的。

取13的概率約為7.69%。它遠小于黑島給出的結論36.7%。

小結：這個例子很好地展示了運用數學思維解決問題時，不斷修正優化的理念。在用數學語言表示現實對象的過程中，如果出現偏差，即使在后續分析中使用了十分精彩、高級的數學工具，也會造成嚴重的錯誤。只有經受住現實檢驗的結果才是好結果。另一方面，上面的概率問題隨著《輪到你了》的熱播，產生了很高的討論度。不少網友運用數學思維進行了分析，但都沒有指出黑島分析中的錯誤。可見，眾口鑠金并不一定是真相，要敢于質疑“權威”，才能夠撥開迷霧。

3 影視作品中的數學問題及其在教學中的應用

本文中我們以日劇《輪到你了》為例，展示了如何運用數學思想解決影視作品中的數學問題。將影視作品應用于數學教學，是一個非常值得研究的課題[5,6]。經過影視作品包裝后的數學元素散發出誘人的魅力，有助于培養學生對數學的興趣。王庚[5]將數學影視作品分為三大類：（1）數學觀念篇：演繹數學觀念、普及數學知識的影片，如電影《蝴蝶效應》等；（2）數學應用篇：反映數學應用的影片，如連續劇《數字追兇》等；（3）數學人文篇：反映數學文化的影片，如電影《美麗心靈》等。在課堂教學中，影視作品是為教學目標服務的，需要控制時長。因此我們認為：如本文中展示的這類涉及數學應用的影視片段更加適合在課堂教學中使用；其他類型的數學影視作品，則更適用于學生課后觀看。

4 總結

本文以日劇《輪到你了》中的一個片段為例，展示了運用數學思維解決數學問題的一般方法。良好的數學思維習慣讓我們一生受益。