擴張李代數Schr?dinger-Virasoro子代數生成元和一些李子代數冪零性

余 德 民， 柴 嘉 潞， 李 笛， 羅 德 仁， 吳 偉 才， 蔣 嬋

( 湖南理工學院 數學學院， 湖南 岳陽 414000 )

0 引 言

本文研究擴張李代數Schr?dinger-Virasoro．這類李代數在數學和理論物理中尤其是共形理論和弦論中有非常重要的應用．

[Lm，Ln]=(n-m)Ln+m

[Lm，Mn]=nMn+m

[Mm，Mn]=0

[Lm，Nn]=nNn+m

[Mm，Nn]=-2Mn+m

[Nm，Nn]=0

1 主要結果

定義1設由Li(?i∈Z)張成的子空間為h1．設L2、L-3生成的李代數記為[[L2，L-3]]．

由于

[L2，L-3]=-5L-1

[L2，L-1]=-3L1

[L-3，L1]=4L-2

[L-1，L1]=2L0

故L-3，L-2，L-1，L0，L1，L2∈[[L2，L-3]]．

稍作分析可得，L-3、L-2、L-1、L0、L1、L2能夠生成李代數h1，h1的最小生成元為2．

現在來考察3個自然基向量L6、L10、L-15，由于6、10、-15兩兩不互素，從而L6、L10、L-15任意兩個自然基向量不能生成李代數h1，但

[L6，L10]=4L16

[L16，L-15]=-31L1

稍作分析可得，3個自然基向量L6、L10、L-15能生成李代數h1．同理另外考察3個自然基向量L6、L14、L-21，由于6、14、-21兩兩不互素，從而L6、L14、L-21任意兩個自然基向量不能生成李代數h1，但

[L6，L14]=8L20

[L20，L-21]=-41L-1

稍作分析可得，3個自然基向量L6、L14、L-21能生成李代數h1．

定理1設3個自然基向量Li、Lj、Lm(?i，j，m∈Z)能夠生成李代數h1，則L-i、L-j、L-m也能夠生成李代數h1．

證明構造滿足h1到h1的線性映射如下：

φ01：φ01(Li)=-L-i， ?i∈Z

φ01([Li，Lj])=[φ01(Li)，φ01(Lj)]，?i，j∈Z

φ01是h1到h1的同構．Li、Lj、Lm(?i，j，m∈Z)能夠生成李代數h1，由于

φ01(Li)=-L-i

φ01(Lj)=-L-j

φ01(Lm)=-L-m

則L-i、L-j、L-m(?i，j，m∈Z)能夠生成李代數h1．

□

設由L0，L-2，L-4，L-6，…，L-2n，L-2n-2，L-2n-4，…張成的子空間為h12．h12也為g的李子代數．對任意L2m、L2n，?m≤0，n≤0，m∈Z，n∈Z不能李生成h12，用定理表述如下．

定理2?m≤0，m∈Z，n≤0，n∈Z，L2m、L2n不能李生成h12．

證明采用反證法，設L2m、L2n，?m<0，n<0，n∈Z，m∈Z能李生成h12．由于

[L2m，L2n]=2(n-m)L2(n+m)；m<0，n<0，n+m<0

必有

L0?[[L2m，L2n]]

從而m、n必有一個為0，假設m、n其中有一個為0，不妨假設n=0，則由于

[L0，L2m]=2mL2m

顯然

L2m-2?[[L2m，L0]]

從而矛盾．假設m、n都為0，則由于

[L0，L0]=0

顯然

L-2?[[L0，L0]]

從而矛盾．

□

定理3?m≤0，m∈Z，n≤0，n∈Z，k≤0，k∈Z，L2m、L2n、L2k能李生成h12，則{2m，2n，2k}={0，-2，-4}．

證明由于m、n、k都是非正整數，顯然m、n、k必有一個等于0，否則

L0?[[L2m，L2n，L2k]]

不妨設m=0，2n、2k必有一個等于-2，否則

L-2?[[L0，L2n，L2k]]

不妨設2n=-2，2k必等于-4，否則

L-4?[[L0，L-2，L2k]]

從而{2m，2n，2k}={0，-2，-4}，進一步可以證明L0、L-2、L-4確實能夠李生成h12．

□

設由Mi(?i∈Z)張成的子空間為h2，h2是g的無限維交換子代數．

定理4h2無有限生成元．

證明采用反證法，設x1，x2，…，xn為其有限生成元，?i，j∈Z，

[Mi，Mj]=0

從而?i，j∈Z，

[xi，xj]=0

h2是無限維李代數，從而必存在x，使得x不能被x1，x2，…，xn線性表示，即x≠k1x1+k2x2+…+knxn，原命題成立．

□

設由Li、Mj(?i，j∈Z)張成的子空間為h4，h4是g的無限維非交換子代數．

定理5h5無有限生成元．

證明采用反證法，設y1，y2，…，yn為其有限生成元，由于

[Mm，Mn]=0

不妨設

yi=yi1+yi2；yi1∈h2，yi2∈h6

[yi，yj]=[yi1+yi2，yj1+yj2]=

[yi2，yj2]∈h2

而h6是無限維線性空間，從而必存在y，使得y不能被y1，y2，…，yn線性表示，即y≠k1y12+k2y22+…+knyn2．則y無法由y1，y2，…，yn李運算生成，從而原命題成立．

□

則h5/h2也是李代數．

定理6商李代數h5/h2無有限生成元．

證明

由于

商李代數h5/h2為交換李代數，商李代數h5/h2為無限維交換李代數．商李代數h5/h2無有限生成元．

□

定理7h5為冪零李代數．

證明h5的李運算如下：

由于

[Mm，Mn]=0

不妨設

yi=yi1+yi2；yi1∈h2，yi2∈h6

由于

[yi，yj]=[yi1+yi2，yj1+yj2]=

[yi2，yj2]∈h2

從而

又由于

從而h5為冪零李代數．

□

定理8g有有限生成元．g的生成元可為5．

證明g的李運算如下：

[Lm，Ln]=(n-m)Ln+m

[Lm，Mn]=nMn+m

[Mm，Mn]=0

可知L2、L-3能夠生成h1，因為

[L-2+i，M2]=2Mi

[L-2+i，N2]=2Ni

若i≠7

若i=7，由于

則

若

□

定理9g不為可解李代數．

證明方法1：g的李運算如下：

[Lm，Ln]=(n-m)Ln+m

[Lm，Mn]=nMn+m

[Mm，Mn]=0

[Lm，Nn]=nNn+m

[Mm，Nn]=-2Mn+m

[Nm，Nn]=0

由于

[L0，L6]=6L6

從而

L6∈[g，g]

由于

[L0，L-15]=-15L-15

從而

L-15∈[g，g]

由于

[L0，L10]=10L10

從而

L10∈[g，g]

[L6，L10]=4L16

[L-15，L16]=31L1

進而

L1∈[g，g]

[L0，N2]=2N2

從而

N2∈[g，g]

由于

[L0，M2]=2M2

從而

M2∈[g，g]

由于

從而

進而有

g(1)=[g，g]=g

g(2)=[g(1)，g(1)]=g

g(3)=[g(2)，g(2)]=g

?k∈Z+，g(k+1)=[g(k)，g(k)]=g

從而g不為可解李代數．

方法2：先證h1不可解

由于

[L2，L4]=L6

[L3，L7]=4L10

[L-12，L-3]=9L-15

則L6，L10，L-15∈[h1，h1]，而L6、L10、L-15能夠生成h1，故

h1=[h1，h1]

又

從而h1不可解．

反證，如果g可解，則h1也可解，出現矛盾．

□

2 結 語

本文研究了擴張Schr?dinger-Virasoro李代數的有限生成元、李代數的冪零和可解等結構問題．可以進一步研究這類李代數的中心和理想，及其全部自同構以及自同構群等結構問題．并可繼續研究擴張Schr?dinger-Virasoro李代數的表示．