廣義彼得森圖意大利控制數

高 紅， 黃 佳 歡， 尹 亞 男， 楊 元 生

( 1.大連海事大學 理學院， 遼寧 大連 116026；2.大連理工大學 計算機科學與技術學院， 遼寧 大連 116024 )

0 引 言

圖的羅馬控制[1]起源于古羅馬帝國的軍事防御問題[2]．公元4世紀，君士坦丁大帝為了保障帝國的安全在軍團數量十分有限的情況下制定了部署和調動軍隊的規則：(1)每個地區最多能部署兩組軍團．(2)一個地區如果沒有駐軍，在其受到外來侵略時，相鄰地區必須能派出援軍．(3)一個地區必須擁有兩組軍團才能派出一組軍團去支援相鄰地區．如果一個地區部署0/1/2組軍團，那么可以看成是將該點賦值為0/1/2．如果古羅馬帝國(圖G)中每個地區(頂點)都對應著一個數字——0、1或者2，于是，軍隊的部署方案可以看成是從圖G的頂點集合V到{0，1，2}的映射f，即f：V→{0，1，2}．根據部署規則，所有函數值為0的頂點其鄰域中至少有一個函數值為2的頂點，函數f稱為圖G上的羅馬控制函數．圖G中所有頂點函數值的總和稱為f的權重．羅馬控制函數權重的最小值稱為圖G的羅馬控制數，記為γR(G)．確定圖的羅馬控制數已成為學者們關注的熱點問題．

意大利控制[3]是羅馬控制的一種推廣，其定義如下．

圖的意大利控制也被稱為羅馬{2}-控制[4]或弱{2}-控制[5]．確定圖的意大利控制數是NP困難的，吸引了國內外很多研究者的關注．文獻[3]研究了樹圖T的意大利控制數與經典控制數之間的關系．文獻[6]研究了樹圖的意大利控制數，證明了樹圖意大利控制數與其2-彩虹控制數相等．文獻[5]確定了圈與圈的笛卡兒乘積圖Cn□C3和Cn□C4的意大利控制數．文獻[7]確定了Cn□C5的意大利控制數．文獻[8]確定了廣義彼得森圖P(n，3)的意大利控制數．文獻[9-12]研究了圖的全局意大利控制數、獨立意大利控制數、外獨立意大利控制數和完美意大利控制數．

本文研究廣義彼得森圖P(n，k)(k≥4)的意大利控制數．首先，根據廣義彼得森圖的特點構造意大利控制函數．利用這些函數計算得到廣義彼得森圖P(n，k)(k≥4)的意大利控制數的上界．然后，結合前人給出的意大利控制數的下界，確定當k≡2，3(mod 5)且n≡0(mod 5)時，P(n，k)(k≥4)意大利控制數的精確值．

1 廣義彼得森圖

廣義彼得森圖P(n，k)是一個有2n個頂點的3-正則圖，其頂點集合和邊的集合分別為

V(P(n，k))={vi|0≤i≤2n-1}，

E(P(n，k))={(vi，vi+1)，(vi，vi+2)|0≤i≤2n-1且i≡0(mod 2)，下標對2n取模}∪

{(vi，vi+2k)|0≤i≤2n-1且i≡1(mod 2)，下標對2n取模}

圖1(a)顯示的是彼得森圖P(9，4)．為了便于表示彼得森圖的意大利控制函數，本文將P(n，k)沿v0和v2n-2之間的半徑剪開，如圖1(b)所示．

(a) P(9，4)

(b) 剪開的P(9，4)

設f為廣義彼得森圖G上的意大利控制函數，則用下面的形式表示f：

例如，

表示P(9，4)上的意大利控制函數，其圖形如圖2所示．

圖2 彼得森圖P(9，4)上的意大利控制函數Fig.2 Italian domination function on Petersengraph P(9，4)

2 P(n，k)(k≥4)意大利控制數

2.1 P(n，k)(k≥4)意大利控制數的下界

P(n，k)是3-正則圖，所以Δ(P(n，k))=3，并且|V(G)|=2n，故由定理1可以得到推論1．

2.2 P(n，k)(k≥4)意大利控制數的上界

定理2若G=P(n，k)(k≥4)，則

證明

情況1k≡0(mod 5)．首先定義一個彼得森圖上的函數g：

情況1.1當n≡0(mod 5k)時，構造P(n，k)上的意大利控制函數f如下：

f(vi)=g(vi mod 10k)

此時，f的權重為

情況1.2當n?0(mod 5k)時，構造P(n，k)上的意大利控制函數f如下：

其中

(1)

h還可以表示為下面更直觀的形式：

此時，f的權重為

鄉村客棧和家庭旅館的建設也表現出不同的風格和個性。鄉村的住宿風格不僅有常見的形式，還包括磨坊客棧(Moulin Etape)和葡萄園旅舍(Grandes Etapes des Vignobles)等。法國所有的鄉村客棧和家庭旅館都會呈現出不同地區的濃厚地域文化風情，具有鄉居情懷，讓過夜的旅客可以更好地融入本地的自然風俗生活中。

w(f)=

(4×k5×4+4×k-55+5)×n-k5k+

k3×4=

情況2k≡1(mod 5)．定義彼得森圖上的函數g：

情況2.1當n≡0(mod (3k+1))時，按照如下方式構造意大利控制函數f：

f(vi)=g(vi mod (6k+2))

則f的權重為

情況2.2當n?0(mod (3k+1))時，按照如下方式構造意大利控制函數f：

其中，h(vi)按照情況1.2中式(1)定義，則f的權重為

w(f)=

(4×k-15×3+4)×n-k3k+1+

k3×4=4(n-k)(3k+2)5(3k+1)+4k+63

情況3k≡2，3(mod 5)．定義函數g如下：

情況3.1當n≡0(mod 5)時，構造意大利控制函數f(vi)=g(vi mod 10)，則f的權重為

情況3.2當n?0(mod 5)時，構造意大利控制函數f如下：

h(vi)按照情況1.2中式(1)定義，則f的權重為

w(f)=

4×n-k5+k3×4=

情況4k≡4(mod 5)．定義函數g如下：

情況4.1當n≡0(mod 5k)時，令f(vi)=g(vi mod 10k)，則f的權重為

情況4.2當n?0(mod 5k)時，令

其中，h(vi)按照情況1.2中式(1)定義，則f的權重為

w(f)=

(4×k+15+4×k-45×4+13)×n-k5k+

k3×4=4(n-k)(k+1/4)5k+4k+63

由推論1和定理2可以得到下面的定理．

定理3當k≥4時，彼得森圖G=P(n，k)的意大利控制數或意大利控制數的界如下：

3 結 語

本文研究了廣義彼得森圖P(n，k)(k≥4)的意大利控制數．根據圖形特點構造了可遞推的意大利控制函數，利用函數計算得到了意大利控制數的上界．結合前人給出的意大利控制數的下界，確定了當k≡2，3(mod 5)且n≡0(mod 5)時，P(n，k)(k≥4)的意大利控制數的精確值．對于其他情形下的彼得森圖，本文給出了意大利控制數的界．