某些分段李納系統的Hopf分支環性數

徐偉驕

(天津商業大學 理學院，天津 300134)

著名數學家希爾伯特[1]在1900年第二屆國際數學家大會上提出了23個數學問題，其中第16問題的第二部分是研究平面微分系統的極限環個數和他們的位置關系的，此問題至今仍未徹底解決。對于這一問題，平面光滑微分系統研究比較早，也有很多好的結果，例如：平面二次微分系統的極限環存在性、個數和位置關系的問題[2-3]；三次多項式系統和三次近哈密頓系統的極限環分支問題[4-5]；以及具有復雜結構的高次微分系統的極限環分支問題[6-8]等。隨著平面光滑系統的極限環問題的研究日趨體系，近年來平面非光滑系統的極限環問題越來越受到學者們的重視。

考慮分段光滑系統

(1)

其中定義在x>0的部分為右子系統，x<0的部分為左子系統。

對于系統(1)，韓茂安等[9]得到分段線性系統在原點附近Hopf分支產生兩個極限環。Miranda等[10]考慮了不連續經典李納方程的極限環個數。楊俊敏等[11]研究了分段平面哈密頓系統的Hopf分支中出現的極限環的個數，得到了一些特殊系統的Hopf環性數。盛麗鵑[12]得到了兩個多參數李納型分段多項式系統的最大極限環數。Buzzi等[13]得到對于n次多項式系統擾動項為N次時最多有Nn-1個極限環。然而，到目前為止，關于系統(1)的結果還很少，特別是f±(x,y)和g±(x,y)為多項式函數的情況。

1 主要結論

考慮分段光滑多項式系統

(2)

其中

m,n,k,l是非負整數并且(a,b)∈Rn1,n1∈Z。

徐偉驕等[14]定義了系統(2)在原點附近Hopf分支產生的極限環個數，即環性數N(m,n,k,l)，并給出了當k=l=1時的極限環個數。在本文中，固定k=1,l=2，研究m,n∈{1,2,3}時系統(2)的環性數。主要結果如下：

定理1：假設Fm,n和gk,l是多項式函數且當k=1,l=2時，有

(3)

則當m,n∈{1,2,3}時，得到系統(2)的環性數為N(m,n,1,2)=m-1。

2 定理證明

此部分，研究滿足條件(3)的系統(2)的環性數。為了方便起見，選取多項式函數Fm,n的次數m,n∈{1,2,3}。以m=n=3為例，其他情況的證明類似。

證明：當m=n=3時，系統(2)有

(4)

其中

(5)

其中

由式(4)，有

(6)

為了得到系統(4)的環性數，通過MAPLE程序計算系數Bj(j≥1)，其中前6個系數如下

(7)

根據熊艷琴等[15]的定理1.6，為了計算式(6)的零點個數，需要滿足

(8)

當B2=B4=0時，有

(9)

以及

根據熊艷琴等[15]的定理1.6，得到N(m,n,k,l)=N(3,3,1,2)=2。

類似地，可以得到表1。

綜上所述，得到N(m,n,1,2)的一般結果為

N(m,n,1,2)=m-1,m,n∈{1,2,3}。

表1 環性數N(m,n,1,2), m,n∈{1,2,3}

3 結論

本文研究了分段光滑多項式系統

在原點附近的極限環分支問題，通過對固定k=1,l=2以及對m,n在{1,2,3}中的不同取值，即滿足

N(m,n,1,2)=m-1,m,n∈{1,2,3}。

此問題的研究豐富了希爾伯特第16問題的理論和結果，有助于推動希爾伯特第16問題的徹底解決。