3-李代數的3種理想

白瑞蒲，周 檬，趙勇濤

(1.河北大學數學與信息科學學院，河北 保定 071002；2.河北省機器學習與智能計算重點實驗室，河北 保定 071000；3.河北軟件職業技術學院軟件技術系，河北 保定 071000)

1 預備知識

3-李代數[1-3]在很多領域有著廣泛的應用.本文對3-李代數的結構進行研究，在3-李代數中提出新的概念：Perfect理想、Near Perfect理想以及Upper Bounded理想，并對其結構進行了研究.

3-李代數[1]L是域F上具有線性運算[，，]：L∧L∧L→L的線性空間，且滿足?x1，x2，x3，y2，y3∈L，

[[x1，x2，x3]，y2，y3]=[[x1，y2，y3]，x2，x3]+[x1，[x2，y2，y3]，x3]+[x1，x2，[x3，y2，y3]].

如果L的子空間I滿足[I，L，L]?I，則稱I是L的理想.對任意自然數k，記：

L(0)=L，L(1)=[L，L，L]，…，L(k)=[L(k-1)，L(k-1)，L(k-1)]；

L0=L，L1=[L，L，L]，…，Lk=[Lk-1，L，L].

由上述定義可知L(k)和Lk分別為L的理想，且滿足：

L(0)?…?L(k-1)?L(k)?L(k+1)?…；L0?L1?…?Lk-1?Lk?Lk+1?….

如果存在自然數k，使得L(k)=0，則稱L為可解3-李代數；如果存在自然數s使得Ls=0，則稱L是冪零3-李代數[2].當dimL<∞時，存在自然數a，b，使得L(a-1)≠L(a)=L(a+1)，Lb-1≠Lb=Lb+1，則稱a為L的導序列長度，b為L的下降中心列長度.

2 主要結論

2.1 Perfect理想與Near Perfect理想

定義2.1 設I是3-李代數L的理想.若I滿足I=[I，I，I]，則稱I是L的Perfect理想.

例2.1 設L=A1?…?An是域F上4n維3-李代數，n≥2.{ei1，ei2，ei3，ei4|1≤i≤n}是L的一組基，其中ei1，ei2，ei3，ei4分別為Ai的基，1≤i≤n.L的乘法為[ei2，ei3，ei4]=ei1，[ei1，ei3，ei4]=ei2，[ei1，ei2，ei4]=ei3，[ei1，ei2，ei3]=ei4，[Ai，Aj，L]=0，1≤i≠j≤n.則每個Ai(1≤i≤n)都是A的Perfect理想.

定理2.1 如果I，J是L的Perfect理想，那么I+J也是L的Perfect理想.

證明因為I和J都是L的理想，所以I+J是L的理想，且[I+J，I+J，I+J]=[I，I，I]+[J，J，J]=I+J，所以I+J也是Perfect理想.

記L的極大Perfect理想為P(L).

定理2.2 設L的導序列長度為a，則L(a)=P(L).因此，L可解的充要條件是P(L)=0.

證明由L(a)的定義可知，L(a)是L的Perfect理想，所以L(a)?P(L)=[P(L)，P(L)，P(L)]?[L，L，L]=L(1).對k用歸納法，假設P(L)?L(k-1)，從而P(L)?[L(k-1)，L(k-1)，L(k-1)]=L(k).所以P(L)?L(a)，證得P(L)=L(a).

定理2.3 設I是L的Perfect理想，則在L/I的Perfect理想與L包含I的Perfect理想之間存在一一對應，且對包含I的理想J，J/I是L/I的Perfect理想，當且僅當J是L的Perfect理想.

證明對包含I的理想J，如果J是Perfect理想，易見J/I是L/I的Perfect理想.

反之，如果J/I是L/I的Perfect理想，任取y∈J，?y1，y2，y3∈J，使得

y+I=[y1+I，y2+I，y3+I]=[y1，y2，y3]+I，

因此y=[y1，y2，y3]+u，u∈I.對于I?J，I=[I，I，I]，有y∈[J，J，J]，所以J=[J，J，J].

定理2.4 對任意3-李代數L，L/P(L)是可解3-李代數.

證明因為P(L)是L的極大Perfect理想，由定理2.3可知，L/P(L)沒有真Perfect理想.因此P(L/P(L))=0.再由定理2.1可知，L/P(L)是可解的.

設d是商代數L/P(L)的導序列長度，即

(L/P(L))(0)?…?(L/P(L))(d-1)≠(L/P(L))(d)=0.

定理2.5 設a是L的導序列長度，d是L/P(L)的導序列長度，則a=d.

證明對自然數k用歸納法可知，(L/P(L))(k)=L(k)/P(L)，從而

(L/P(L))(d)=L(d)/P(L)=0，L(d)?P(L)=L(a)，

得到d≥a.又因為d≤a，所以a=d.

定理2.6 設L是特征為零的代數閉域F上非單的3-李代數，dimL=4，5，則P(L)=0.

證明利用文獻[4]中引理3.1和定理3.2直接計算可得出結論.

定義2.2 如果L的理想I滿足I=[I，L，L]，則稱I是L的Near Perfect理想.

例2.2 設L是域F上具有乘法[e1，e3，e4]=e1，[e2，e3，e4]=e2的4維3-李代數，其中e1，e2，e3，e4是L的一組基.則I=Fe1和J=Fe2分別為L的Near Perfect理想.

與定理2.1的討論類似，如果I，J是L的兩個Near Perfect理想，則I+J也是L的Near Perfect理想.記L的極大Near Perfect理想為NP(L).

定理2.7 如果b是L的下降中心列長度，那么Lb=NP(L)，且L是冪零3-李代數的充要條件是NP(L)=0.

證明與定理 2.2的證明類似，此處略去.

定理2.8 設I是L的Near Perfect理想，則L/I的Near Perfect理想與L包含I的Near Perfect理想之間存在一一對應.且對包含I的理想J，J/I是L/I的Near Perfect理想，當且僅當J是L的Near Perfect理想.

證明與定理2.3的證明類似，此處略去.

設g是L/NP(L)的下降中心列長度.可得下列結論：

定理2.9 設b是L的下降中心列長度，則b=g.

證明與定理2.4討論完全類似，此處略去.

定理2.10 設L是特征為零的代數閉域F上的3-李代數，dimL=4，5.如果L是非冪零的且非單的，則NP(L)=L1.

證明利用文獻[4]中引理3.1和定理3.2，直接計算可得結論.

2.2 Upper Bounded理想

設I是3-李代數L的理想，記

U(I)={x∈L|[x，L，L]?I}.

顯然I?U(I)，且U(I)也是L的理想.例如0是L的一個理想，U(0)是L的中心，即

U(0)={x∈L|[x，L，L]=0}=Z(L).

定義2.3 如果I是3-李代數L的滿足I=U(I)的理想，則稱I為L的Upper Bounded理想.

定理2.11 設I和J是L的兩個Upper Bounder理想，那么I∩J也是L的Upper Bounded理想.

證明顯然I∩J是L的理想.對任意x∈L，如果[x，L，L]∈I∩J，則[x，L，L]∈I，[x，L，L]∈J.因為I和J是L的Upper Bounder理想，由定義2.3可知，x∈I且x∈J，所以x∈I∩J.證得I∩J是L的Upper Bounded理想.

記UB(L)是L的最小Upper Bounder理想.

對任意自然數k，定義Uk+1(0)=U(Uk(0))，且規定U0(0)=0.得到上升中心列

0=U0(0)?U1(0)?…?Uk-1(0)?Uk(0)?Uk+1(0)?….

設dimL<∞，則存在c，使得Uc-1(0)≠Uc(0)=Uc+1(0)，稱c為L的上升中心列長度.

定理2.12 如果c是L的上升中心列長度，則Uc(0)=UB(L).

證明設I是L的任意一個Upper Bounded理想，因為0?I，所以U1(0)=U(0)?U(I)=I.假設Uk(0)?I，則Uk+1(0)=U(Uk(0))?U(I)=I，得到Uc(0)?I.由I的任意性，有Uc(0)=UB(L).

定理2.13 如果L是冪零3-李代數，則L是3-李代數L的唯一的Upper Bounded理想.

證明如果[L，L，L]=0，易見L是唯一的Upper Bounded理想.如果[L，L，L]≠0，設I是L的任意一個真理想.因為L是冪零3-李代數，所以商代數L/I是冪零3-李代數.由Engle定理和李定理可知，存在L/I中的非零向量x0+I，滿足對任意x，y∈L，ad(x，y)(x0)+I=I，所以[x0，L，L]?I.但是x0?I，因此I不是Upper Bounded理想.證得L是唯一的Upper Bounded理想.

定理2.14 如果NP(L)=0，那么UB(L)=L.

證明利用定理 2.7 可知，如果NP(L)=0，則L是冪零的3-李代數.再由定理2.13，L是唯一的Upper Bounded理想，所以UB(L)=L.

定理2.15 設L是非冪零的3-李代數，dimL=4，5.則UB(L)=Z(L).

證明利用文獻[4]中引理3.1和定理3.2直接計算可得結論.