數形結合思想的精髓在于規律呼應

史秋平

[摘 要]數形結合不是簡單地用代數式表示幾何圖形或者用幾何圖形來反映數量關系，而是數量內部的規律與圖形內部的規律高度對應統一。圖形的深刻規律要用代數式才能揭示出來，代數式的運算規律很抽象，要借助直觀的圖形拼擺演示才能做出合理解釋。

[關鍵詞]數形結合;規律;教學

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）32-0073-02

教學內容為第十一冊第八章第107頁例1、第108頁“做一做”欄目、練習二十1、2題。教學目標主要有：通過觀察研究，讓學生探明數形之間的關聯，能根據圖形的變化看出數量的變化;引導學生總結規律，并應用規律進行運算。教學重點：探查數形之間的關系，并能用圖形的變化規律揭示數字的變化規律。教學難點：發掘規律并驗證這個規律。

一、課前導入，新知鋪墊

【教學片段】

筆者先帶學生看電子白板，粗略回顧舊知：1×1可以簡寫成[12]（讀作1的平方），[12]=1，那么以此類推就有3×3=[32]=9，4×4=[42]=16。并隨機問學生：“一個數的平方等于多少？”

師：探尋規律。先看圖再觀察分析數字變化情況，推斷出第5個圖中圓點的個數。

師：你是怎么推的？你能夠延續此法，推斷出第6個圖中圓點的個數嗎？你運用了什么方法推斷？（學生發現圓點的排列規律）

師：像這樣，圖形與數字嚴格對應，相應變化，呈現出明顯的規律，運用這個規律就可以推測出后續將會出現的圖形和數字，這類題目在數學里統稱為數形結合。今天大家一起探尋數形結合里的秘密。

筆者板書課題：數形結合。（學生齊讀課題）

數形結合有的時候是根據數量與圖形的對照關系，通過二者的相互印證，將抽象的數字與直觀的圖形聯合，并以此來分析解決問題的思想方法。

二、探究新知，發現規律

1.觀察、探究、概括

【教學片段】

師：現在老師就帶大家一探乾坤。

師（呈現1個長方形，如圖5）：數目是幾？改用平方數表示，寫成多少？

生1：1=[12]。

師：接著看，擴展這個圖，增加了3個同樣大小的長方形，增加的長方形呈“L”字形，與原來的長方形組成一個兩行兩列的“田”字格（如圖6），此時長方形的總數如何計算？

生2：1+3=4。

師：改寫成平方數如何表示？

生3：[22]。

師：每次增加的長方形都呈“L”字形，此時長方形的個數如何計算？（如圖7）

生4：1+3+5=[33]。

師：小組內討論一下，能根據圖5、圖6、圖7推斷出第4個圖形的排布情況和長方形個數嗎？請畫出草圖，寫出算式。

（學生討論，在草稿紙上畫出草圖，并寫出算式。教師巡查，然后請人敘述畫圖過程并口述算式）

師：通過認真思考，大家發現了一些淺顯的規律，其實還有一些深刻的規律。大家不妨再找一找。

2.小組分工，找規律

【教學片段】

師：大家這么厲害，后面幾個規律就留給你們獨立尋找了，敢接招嗎？不可莽撞，要按照老師的指示尋找規律，分工合作，并將概括出的規律寫進小組實驗記錄單中。如遇阻，可以向其他小組或老師求助。

筆者分工：A組研究第一個問題，B組研究第二個問題，C組研究第三個問題，D組完成第四個問題。

各小組完成任務后，可以幫助其他小組。最后集中展示交流。

學生探討問題，筆者巡視指導，并及時點撥。

【設計說明】

數形結合是新增內容。如果徹底放手讓學生自主探尋規律，恐怕學生會有負擔，所以才有了筆者“引路”，學生“探路”。筆者一邊出示圖形，一邊提問，學生對比分析出圖形與數量的對應關系，筆者“攙扶”著學生慢慢走，推斷后續圖形，調動學生的聯想能力和推理能力，由形象到抽象，由淺顯到深刻，循序漸進。筆者“松手”，學生“上手”，學生自己探究，互相交流討論、深刻反思，既能在探究中體驗知識生成的過程，又能體會到合作的意義。

3.小組匯報，概括規律

【教學片段】

問題1：每次增加的“L”形圖中包含長方形的個數有什么變化規律？長方形總數與增加次數有什么關系？增加次數與最終圖形的邊長有什么關系？

師：等式左邊加法的圖形意義是什么？你能舉例說明嗎？

生：等式左邊算式的圖形意義是基礎個數（右上角1個）和逐次增加的“L”形圖中長方形個數的總數。

問題2：等式左邊加法算式的和與最終定型的圖中長方形的行數（列數）有什么關系？

師：最終定型的圖中，每行（每列）長方形個數的平方表示什么意義？舉例說明。

生：等式左邊加法算式的和與最終定型的圖中每行長方形個數的平方相等。

問題3：等式左邊的加數是按照什么規律排列的？

生：等式左邊的加法算式中，加數是連續的奇數。

問題4：等式左邊加數個數與等式右邊乘方數有什么關聯？

師：仔細觀察上述等式，從哪里起步？這個規律如何表述？

生：從自然數1開始，幾個連續奇數的和等于加數數量的平方。

【設計說明】

學生概括出的規律只是初步的規律，是否具有普遍性，還需要檢驗。學生展示匯報，既是一種自我肯定，也是接受監督和檢驗的過程。同時，在此過程中，學生的思維過程還充分暴露出來，接受評價，從而不斷完善自己的思維。

三、課后反思

數形結合的主要目的是“以形助數”（將代數問題轉化為圖形來研究）或“以數助形”（利用算式或者運算規律來概括圖形組合規律），把抽象的算式與形象的圖形融為一體，也就是將抽象思維與形象思維有機結合起來，是初等數學中常見、常用的思想方法。在教學中，筆者主要靠回顧舊知來探查規律，分步完成。

這節課的亮點有幾個方面：

1.數學直觀化，概念生成及時。數形結合其實就是一種改版的找規律，只不過這種規律需要用算式表達。上課伊始，筆者并沒有給學生施壓，而是通過復習舊知來暖場，消除學生的戒心，化解他們的焦慮和抵觸情緒。

2.注重知識生成，學生參與探究。本節課的重點是讓學生會用圖形與算式的規律互相印證、理解和闡述，而這些規律很隱蔽，難以察覺，甚至難以用語言描述。為了破解這個難點，筆者讓學生以小組合作的方式開展學習：小組推測后續圖案，探究規律，展示匯報。教師引導知識生成而不是灌輸知識，學生有很大自由度，認知從模糊到清晰，思緒從混沌到清明。

3.注重穩扎穩打。學生首次接觸數形結合，再加上規律隱晦，欲速不達，筆者并沒有著急，從“引路”到“攙扶”，再到“松手”，讓學生一步一個腳印，穩扎穩打。

4.尊重學生表達。每個學生的思維存在差異性，看問題的視角也不一樣，如果學生的看法與教師不同，教師要善于傾聽學生的想法，給他們充分申辯的機會，學生也許在辯論中就能發現自己的錯誤。

這節課的教學也有些許不足：

1.“雙備”（備教材、備學生）不合拍。顧此失彼，只顧鉆研課本，沒有了解學生，高估學生，導致學生對前兩個規律的理解模糊。

2.達不到超越教材、靈活運用教材的程度。本節課中，前兩個規律的表述特別拗口，單看字面意思很難領會，必須結合前期的觀察分析，這也在無形中給學生設置了障礙。筆者認識到了自己做得不足的地方：沒有事先組織好語言，對教材加工不到位。

3.評價語言干癟乏味。筆者覺得學生自己會分辨是非好壞，鼓勵是多余的，其實這是一種誤解，學生需要更多鼓勵和支持。

總之，這節課筆者有得有失，今后的教學中一定會不斷改進修正，不斷總結、提升，扎扎實實把每一節課上好。

（責編 黃 露）