基于“慣容—彈簧—阻尼”體系的線譜和寬帶一體化隔振器結構綜合

張贛波，趙 耀，陳學東

（華中科技大學a.船舶與海洋工程學院；b.機械科學與工程學院，武漢 430074）

0 引 言

機械振動是艦船隱蔽航行狀態下低頻線譜的主要來源，因此，亟需突破機械振動線譜治理的關鍵技術[1]。當前，針對線譜隔振技術的研究主要聚焦在混沌隔振和反共振隔振兩個方向。混沌隔振基于“強非線性系統在混沌振動狀態時具有‘線譜輸入，連續寬帶譜輸出’的特性”這一原理實施線譜重構，將集中于線譜頻率的能量分散到連續寬帶頻率中[2]，但還面臨小能量控制、大參數范圍、穩定時間、高混沌品質等技術困難和挑戰[3]。反共振隔振是基于慣性力和彈性力等值反向形成反共振的原理，將線譜振動能量吸收、轉移至儲能元件中，最早在直升機旋翼—機身隔振中被采用[4]，隔振器型式也從最初的機械式發展為液壓式[5]和液彈式[6]。文獻[7]以共振轉換器作為艦船推進軸系縱向振動低頻線譜的反共振隔振裝置，原理樣機試驗結果表明可有效降低共振線譜。

反共振隔振技術的關鍵在于引入具有兩個獨立、自由端點的慣性元件。具有這一動力學特性的慣性元件被定義為“慣容”[8]。其原理是通過傳動機構的轉換創造慣性元件發生運動耦合的條件，在轉換過程中同時產生放大效應，放大慣性元件的視在慣性。目前，已開發的慣容實現結構包括齒輪齒條式、滾珠絲杠式、流體式、液壓式等[8-11]，為突破傳統“彈簧—阻尼”隔振器結構體系提供條件。文獻[12]將慣容引入車輛懸架中，組合得到21 種懸架結構模型，采用雙目標優化識別出12 種新型結構性能均優于傳統懸架。文獻[13-14]在以一個彈簧作為主承載元件的條件下，組合不同元件數量的含慣容隔振器結構模型，采用H2和H∞優化算法推導出最優剛度比和最優阻尼比的解析解，并從響應放大角度與傳統動力吸振器進行比較。上述研究都是先針對性地設定不同組合的“慣容—彈簧—阻尼”隔振器結構模型，再分析隔振系統的隔振特性，屬于動力學正問題研究。這種正向分析方法存在的問題在于漏解，即具有目標特性的隔振器結構可能不止一種組合。此外，因排列組合的不充分性，具有更優越性能的隔振器結構也可能被遺漏。

艦船工程中的激勵源具有復雜性，如浮筏、推進系統等，是典型的連續寬帶和離散線譜的混合激勵。在單層、雙層和浮筏隔振技術普及應用后，寬帶振動得到了卓有成效的治理，但不能有效降低線譜強度。而單獨針對線譜的反共振隔振技術，寬帶隔振效果不佳。從工程需求角度出發，要求降低線譜應兼顧寬帶隔振以避免顧此失彼。

本文將慣容引入隔振器結構中，在“慣容—彈簧—阻尼”體系框架下開展隔振器結構綜合的逆問題研究。基于機電相似性，將隔振器作為一個機械網絡，根據線譜和寬帶一體化隔振的技術條件，采用電網絡理論綜合出滿足要求的兩種隔振器結構，并進行隔振特性和阻尼影響分析。所綜合的兩種隔振器結構具有工程可實現性，為線譜和寬帶一體化隔振提供了一種被動控制技術途徑。

1 慣容基本特性

1.1 慣容的動力學模型

具有兩個獨立、自由端點的慣性元件稱之為慣容，其慣性力與兩端點的相對加速度成正比[8]，關系式為

式中，比例系數b為常數，稱之為慣質，單位為kg；vi是兩端點速度，i= 1,2。

慣容與彈簧和阻尼一樣同屬于兩端點元件，其兩端點的加速度是慣性坐標系下的絕對加速度，兩端點的絕對加速度之差產生慣容的慣性力。而質量（或慣量）是單端點元件，單端點的加速度就是慣性坐標系下的絕對加速度，直接產生慣性力。慣容和質量的慣性力與加速度的關系描述見圖1。從兩端點的一般性看，質量元件的另一個端點固定在慣性坐標系的原點，相當于接地的慣容。因此，慣容是更具一般性的慣性元件，而質量是特殊性的慣性元件。

圖1 慣容和質量的慣性力與加速度的關系Fig.1 Relationship between inertia force and acceleration of inerter and mass

1.2“慣容—彈簧—阻尼”的匹配關系規律

在慣容被物理實現后，機械系統和電氣系統建立起嚴格相似關系。在“力—電流”第二類機電相似理論中，機械系統的慣容、彈簧、阻尼分別與電氣系統的電容、電感、電阻相對應，為機械系統應用成熟的電網絡綜合理論創造條件。據此，建立如圖2 所示的隔振系統機械網絡模型。類比電網絡，隔振器可看作一個雙端接載的無源雙口四端網絡，輸入輸出端特征參數以力fi、fo和速度vi、vo表示。輸入端負載是被隔振設備阻抗Zm，輸出端負載是基礎（或基座）阻抗Zf。若隔振器阻抗為Zi，則以機械阻抗表示的隔振系統力傳遞函數為

圖2 隔振系統的機械網絡模型Fig.2 Mechanical network model of vibration isolation system

將慣容、彈簧、阻尼三元件串并聯組合成隔振器機械網絡模型，共有8種組合方式，如圖3所示。

圖3 慣容、彈簧、阻尼三元件組合方式Fig.3 Combination types of inerter-spring-damping three elements

根據阻抗的串并聯關系式，這8種組合方式的機械阻抗分別為

式中，k、c分別為彈簧剛度和阻尼系數，s為復數。

從圖4可以總結“慣容—彈簧—阻尼”的匹配關系規律為：反共振的條件是慣容和彈簧并聯，如組合方式（a）、（e）；在并聯的慣容和彈簧結構中串聯阻尼，將破壞反共振的條件，如組合方式（f）、（g）；在串聯的慣容和彈簧結構中增加阻尼，都不會出現反共振，如組合方式（b）、（c）、（d）、（h）。

圖4 不同組合方式的力傳遞函數幅頻特性Fig.4 Amplitude-frequency characteristics of force transfer function corresponding to different types

2“慣容—彈簧”機械網絡綜合理論

2.1 線譜和寬帶一體化隔振的技術條件

技術條件是指所設定的隔振器機械網絡特性要求。在隔振系統分析中，通常以力傳遞率作為理論分析依據。為此，以力傳遞特性要求描述線譜和寬帶一體化隔振的技術條件。

以反共振隔振作為線譜隔振的技術途徑，而寬帶隔振則采用傳統的隔振技術。反共振隔振的特征反映在力傳遞函數曲線上是存在陷波的反共振峰，而寬帶隔振的特征是在隔振區力傳遞函數曲線具有一定的衰減斜率，即力傳遞函數幅值單調遞減。

圖5展示了單層隔振和動力吸隔振的力傳遞函數幅頻特性。動力吸隔振表現出較好的線譜和寬帶一體化隔振特性，在線譜激勵頻率處出現反共振峰，而在第二階共振峰之后隔振區的力傳遞函數曲線與單層隔振的力傳遞函數曲線趨于重合，具有相同的衰減斜率。根據機械系統的隔振與電氣系統的濾波在原理上的相似性，線譜和寬帶一體化隔振的技術條件反映在力傳遞函數曲線上，是在不同頻帶內具有不同類型的“濾波”特征，如圖5所示的低通帶、陷波阻帶和高阻帶。

圖5 單層隔振和動力吸隔振的力傳遞函數幅頻特性比較Fig.5 Amplitude-frequency characteristics of dimensionless force transfer function between vibration isolation and dynamic vibration absorption

2.2 力傳遞函數綜合方法

在機械系統的基本元件中，阻尼元件不改變機械系統的特性，表現為不影響傳遞函數曲線的基本特征，其影響局限在共振區和反共振區。故以慣容、彈簧二類元件進行隔振器機械網絡綜合。

線譜隔振通過反共振實現。類比濾波器原理，濾波器的類型由分子多項式所決定。機械系統的反共振隔振即屬于陷波濾波器類型。陷波濾波器的構成要求力傳遞函數分子是形如b2s2+b0的2 階多項式。

寬帶隔振要求力傳遞函數分母多項式的階數高于分子多項式。對于傳統隔振器結構，單層隔振系統的分母多項式階數比分子多項式高2 階，為使得一體化隔振力傳遞函數在隔振區的衰減斜率達到單層隔振的下降水平，則一體化隔振力傳遞函數分母應是形如a4s4+a2s2+a0的4階多項式。

因此，線譜和寬帶一體化隔振的力傳遞函數的一般形式為

式中，a0、a2、a4、b0、b2都是正的常系數，分母是嚴格霍爾維茨多項式，僅有s復平面左半平面的根[15]。

假設基礎剛性，隔振器機械網絡退化為單端接載的雙口無源網絡，由圖2列出方程組：

式中，z11和z21是隔振器機械網絡阻抗矩陣的原點和跨點阻抗。對于無源網絡，力流無損失，有

z11=z21。

由此推導出隔振器機械網絡的力傳遞函數為

式（13）表明，隔振器機械網絡的力傳遞函數與其阻抗具有嚴格的對應關系。根據“力—電流”第二類機電相似理論，對于由慣容、彈簧二類元件構成的無源機械網絡，z11、z21是關于s的有理正實奇函數[15]。考慮被隔振設備阻抗Zm=ms，進而可推知T(s)是關于s的偶函數，這進一步印證了式（11）的正確性。

令z11=z21=N(s)D(s)，其中，N(s)是分子多項式，D(s)是分母多項式，代入式（13），整理得

根據式（11），在力傳遞函數分母是4 階多項式的條件下，D(s)必定是形如a3s3+a1s的3 階多項式。由此得到“慣容—彈簧”隔振器機械網絡的阻抗表達式為

式中，a1、a3都是正的常系數，

這樣，滿足線譜和寬帶一體化隔振技術條件的力傳遞函數綜合轉換為隔振器機械網絡的阻抗函數綜合。

3“慣容—彈簧—阻尼”隔振器結構綜合

3.1 隔振器結構綜合

在得到線譜和寬帶一體化隔振器的機械網絡阻抗函數的一般表達式后，可根據阻抗或其倒數導納綜合出隔振器的結構形式。由于阻抗綜合的結構是并聯網絡，而導納綜合的結構是串聯網絡，按導納綜合，式（15）可展開成如下多項式

式中，最右端第1項是彈簧導納，第2項是慣容和彈簧二元件并聯導納。

按阻抗綜合，式（15）可展開成如下多項式

式中，最右端第1項是彈簧阻抗，第2項是慣容和彈簧二元件串聯阻抗。

因此，滿足線譜和寬帶一體化隔振要求的隔振器結構應包括2個彈簧和1個慣容。由于慣容不具有獨立承載能力，一旦超過工作行程將出現“擊穿”短路，需要其中1個彈簧的并聯防護。

按照上述兩種綜合方法構建的隔振器結構形式如圖6 所示。結構Ⅰ是兩級串聯型，“慣容—彈簧”并聯作為第一級，第2個彈簧作為第二級；結構Ⅱ是單級并聯型，“慣容—彈簧”串聯作為第一個并聯分支，第2個彈簧作為第二個并聯分支。

圖6 隔振器結構形式Fig.6 Isolator structure

結構Ⅰ、Ⅱ的反共振頻率分別為

在相同動力參數條件下，ωⅠ>ωⅡ。

為控制隔振系統的共振響應，在隔振器結構構成中還應設置阻尼，但阻尼元件數量是可選項。雖然阻尼的排列不影響力傳遞函數的性質，但有可能破壞反共振條件。根據前述“慣容—彈簧—阻尼”的匹配關系規律，阻尼應并聯排列，如圖6中的虛線位置。

3.2 隔振特性分析

設定阻尼元件數量不超過2 個，記為c1、c2，隔振器Ⅰ有3 種阻尼排列方式，分別記為Ⅰ1、Ⅰ2、Ⅰ3。隔振器Ⅱ有6種阻尼排列方式，分別記為Ⅱ1、Ⅱ2、Ⅱ3、Ⅱ4、Ⅱ5、Ⅱ6。

圖7 隔振器Ⅰ的力傳遞函數幅頻特性Fig.7 Amplitude-frequency characteristics of dimensionless force transfer function of Isolator Ⅰ

圖8 隔振器Ⅱ的力傳遞函數幅頻特性Fig.8 Amplitude-frequency characteristics of dimensionless force transfer function of Isolator Ⅱ

對比看出，基于“慣容—彈簧—阻尼”結構體系的隔振器Ⅰ、Ⅱ的力傳遞函數曲線都存在反共振峰，在隔振區的衰減斜率與傳統隔振器也基本一致，證實了上述關于隔振器機械網絡綜合方法的正確性。

觀察隔振器Ⅰ2和Ⅱ3，其力傳遞函數曲線在隔振區的衰減斜率較其他結構的力傳遞函數曲線更大，原因在于結構Ⅰ2和Ⅱ3力傳遞函數分母多項式與分子多項式的階數差比其他結構力傳遞函數大1階。在隔振區，結構Ⅰ2和Ⅱ3力傳遞函數曲線的下降速度為12 dB/Oct.，是其他結構的2 倍，達到雙層隔振的衰減水平。

3.3 阻尼影響

阻尼的影響集中在共振區和反共振區，其作用是控制共振峰和反共振峰的幅值。通過比較力傳遞函數共振峰和反共振峰幅值的變化，可以識別不同位置阻尼的影響機制。

對于隔振器Ⅰ3，對比圖7中Ⅰ1和Ⅰ3，可推知c2主要決定第1階共振峰和反共振峰的幅值，并且對兩者的影響作用相反，在降低第1 階共振峰幅值的同時，也增大反共振峰的幅值，即削弱線譜隔振效果；由圖7中Ⅰ2和Ⅰ3對比推知c1主要影響第2階共振峰幅值。

阻尼c1和c2的影響作用和效果可以從圖9進一步驗證。在隔振區，增加阻尼c1會相應增大力傳遞函數幅值，不利于寬帶隔振。而改變阻尼c2對寬帶隔振效果幾乎無影響，但會顯著地影響線譜隔振效果。因此，隔振器Ⅰ的寬帶隔振效果可通過調節阻尼c1改善，而線譜隔振效果由阻尼c2調節。

圖9 隔振器Ⅰ3關于阻尼的影響Fig.9 Effect of damping on Isolator Ⅰ3

對于隔振器Ⅱ，由圖8 中Ⅱ2和Ⅱ4、Ⅱ3和Ⅱ5對比，可推知c1決定第1 階共振峰和反共振峰的幅值，并且對兩者的影響作用也是相反的，第1個共振峰幅值被抑制的同時，會增大反共振峰幅值；由圖8中Ⅱ1和Ⅱ4、Ⅱ5對比推知c2主要決定第2個共振峰幅值。

圖10具體展示阻尼c1和c2對隔振器Ⅱ4的影響作用和效果。在隔振區，力傳遞函數幅值與阻尼c1和c2正相關，增加阻尼c1和c2都會降低寬帶隔振效果。因此，阻尼c1同時決定了隔振器結構Ⅱ4的線譜和寬帶隔振效果，而阻尼c2主要影響寬帶隔振效果。

圖10 隔振器Ⅱ4關于阻尼的影響Fig.10 Effect of damping on Isolator Ⅱ4

隔振器Ⅱ5關于阻尼的影響見圖11。阻尼c1主要影響第1 階共振峰幅值和寬帶隔振效果，而第2階共振峰幅值和線譜隔振效果由阻尼c2決定。因此，隔振器Ⅱ5的線譜和寬帶隔振效果可以分別通過阻尼c1、c2進行獨立調節，相對于隔振器Ⅱ4更有結構優勢。

圖11 隔振器Ⅱ5關于阻尼的影響Fig.11 Effect of damping on Isolator Ⅱ5

4 結 論

（1）在“慣容—彈簧—阻尼”三元件匹配關系中，慣容和彈簧并聯形成反共振，在并聯的慣容和彈簧結構中串聯阻尼，將破壞反共振的條件，而在串聯的慣容和彈簧結構中增加阻尼也不會出現反共振。

（2）線譜和寬帶一體化隔振的技術條件反映在力傳遞函數表達式上時，分子多項式包含偶次的2階多項式，通過反共振實現線譜隔振；分母多項式的階數比分子多項式至少高1 階，通過力傳遞函數幅值單調遞減實現寬帶隔振。

（3）存在兩種類型的滿足線譜和寬帶一體化隔振技術條件的隔振器結構，分別是兩級串聯型和單級并聯型；為實現線譜隔振效果和寬帶隔振效果的獨立調節，可以在兩級串聯型隔振器結構中與第一級和第二級各并聯1個阻尼元件，或者在單級并聯型隔振器結構中與分支和慣容各并聯1個阻尼元件。