基于觀測器的時滯T-S模糊廣義切換系統的異步無源控制

楊冬梅, 王 傲

(東北大學 理學院, 遼寧 沈陽 110819)

切換系統作為一種重要的混合系統,是一個融合了諸如信息處理、微分方程和工業生產等學科的全新研究課題.隨著現代控制理論的發展,以及同其他學科的深度融合,一種更加普遍更加貼近現實的系統得到了越來越多的關注,被稱為“廣義切換系統”.如今,控制理論大多是根據數學模型來研究的.然而在實際建模時,大多數系統無法用線性模型表示,且系統參數很可能隨時間變化而改變,甚至系統結構也發生改變,而系統又因為不能完全與外部隔離,或多或少會受到外部干擾,以及工業水準受限使精度出現細微的偏差而導致的不確定性等因素,都導致難以建立精確的數學模型.即使對一些復雜系統成功建立了數學模型,模型也常常太過復雜不利于研究,無法實現有效控制,因此,對于模糊控制理論的研究就變得尤為重要[1].在實際控制問題中,由于系統的切換需要時間識別,因此控制器的切換不可避免地落后于系統的切換,導致子系統與控制器之間出現短暫的不同步.無源性作為一種特殊的耗散性,是以系統的輸入和輸出的叉乘作為系統的供給率,在有些情形下儲存函數可以作為系統的能量函數,因此對于廣義切換系統的無源性和異步控制問題的研究同樣尤為重要.文獻[2]針對具有結構不確定性的非線性切換系統,提出了魯棒半無源性和實用穩定性分析.文獻[3]針對一類廣義Lurie切換系統采用類李雅普諾夫函數的方法研究了系統的魯棒無源性.文獻[4]針對具有多個存儲函數和多個供給率的離散非線性切換系統的幾何擬無源性、反饋擬通性及其相關性質進行了研究.文獻[5]針對一類嚴格反饋非線性系統在適當的狀態依賴切換律下研究了基于無源性的鎮定問題.文獻[6]分析了非線性切換系統，提出增量式無源性、增量式無源化和增量式鎮定問題.然而對于T-S模糊廣義切換系統的無源性問題的研究成果鮮有人發表.

本文對一類時滯T-S模糊廣義切換系統引入一種新的無源不等式,探討了在控制器切換不同步情況下系統的指數穩定性和無源性問題,并利用分段李雅普諾夫函數和線性矩陣不等式的方法,得到了使時滯T-S模糊廣義切換系統全局一致指數穩定且嚴格指數無源的充分條件.由于系統的狀態不易得到,本文得出了一種基于觀測器的控制器設計方法，并通過仿真證明了該方法的有效性.

1 問題描述

本文主要探討時滯T-S模糊廣義切換系統的無源性問題,其子系統模型由如下形式的模糊規則構成：

Rj:ifξ1isM1j… andξγisMγj,then

(1)

其中：ni為模糊規則數;

Mγj(ξj)表示ξγ在模糊集Mγj上的隸屬度.且hj(ξ(t))滿足

假設系統(1)是能檢測的,設計狀態觀測器和控制器,其系統描述為

(2)

得到增廣閉環系統為

(3)

(4)

定義1[13]對于切換信號σ(t)和?t≥t0≥0,Ni(t0,t),Ti(t0,t)分別表示子系統在時間間隔(t0,t)上的切換次數和運行時間,如果滿足：

且τi>0,稱τi為子系統i的平均駐留時間.

定義2[14]對于給定的α>0,系統的輸入u(t)和輸出y(t),如果：

成立,其中V(t)是一個非負函數,那么系統是嚴格指數無源的.

定義3[15]系統平衡點x=0在切換信號σ(t)作用下是全局一致指數穩定的,系統的解x(t)在給定初始值x(t0),以及ω(t)=0時滿足：

‖x(t)‖≤ke-δ(t-t0)‖x(t0)‖C1,?t≥t0;

其中,k≥1,δ>0.

引理1[16]對于任意的n維向量x,y和任意常量ε>0,有

±2xTy≤εxTx+ε-1yTy.

2 主要結果

為證明過程方便,令T↓i(t0,t),T↑i(t0,t)分別表示子系統i在時間間隔(t0,t)上的控制器匹配和不配的運行時間,T↓(t0,t),T↑(t0,t)分別表示系統在時間間隔(t0,t)上的控制器匹配和不配的運行時間.

(5)

(6)

(7)

(8)

式中:

Ξi44=-e-κhTλ.

其中,κ∈{αi,-βi}.當κ=αi時,λ=ι=i;當κ=-βi時,λ=li,ι=l,則系統(4)對于滿足平均駐留時間：

證明 將系統按照αi+βi的取值分為兩類,當αi+βi≤0時,子系統屬于θ1={1,2,…,m},當αi+βi>0時,屬于θ2={m+1,m+2,…,p}.令:

當t∈(ti+τi,ti+1)時,構造如下李雅普諾夫函數:

當t∈(ti,ti+τi)時,構造如下李雅普諾夫函數:

對V1i(t)和V2i(t)求導,并且由式(8)可知

我倆誰也沒說話，端酒，碰杯，再端酒，再碰杯。不大會一瓶酒就快見底了。我覺得自己開始頭暈了，看看劉鐵頭，他也是紅光滿面精神煥發。劉鐵頭長著滿臉的小紫疙瘩，這會兒紫疙瘩們像涂了層油，個個飽滿挺拔亮光閃閃。

(9)

(10)

在t∈[t0,t)上令:

由式(9),式(10)可得

(11)

再由式(6),式(7)可得

(12)

令Δmax=maxΔi,N0=0，則由式(13),式(14)可得

(13)

其中:

對于Ω1,有αi+βi≤0,則

對于Ω2,有T↑i(t0,t)≤ΔmaxNi(t0,t),則

由V(t)易得

(14)

其中:

b1=λmax(Oi)+hλmax(Ri);

b2=λmax(Oli)+hλmax(Rli);

再由式(13),式(14)可得

考慮:

由于定理1中的不等式條件不是線性的,不容易求解,下面基于引理1適當地縮放不等式的條件,使之成為線性矩陣不等式.

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

其中:

T+κETN,

κ∈{-αi,βi}.當κ=-αi時,

X=Xi,N=Ni,U=Ui,T=Ti;

當κ=βi時,

X=Xli,N=Nli,U=Uli,T=Tli.

定理1中的控制器和觀測器的增益矩陣:

證明 利用引理1對式(8)進行變換,可得到式(8)可由式(17)～式(24)推出,定理得證.

3 算 例

考慮如下有兩個子系統的例子.

Rj:ifx1(t) isM1jthen

規范化隸屬函數分別為

各子系統的局部子系統的參數為

C111=[-0.1 -0.2],C112=[-0.2 -0.1],

C121=[0.1 -0.2],C122=[0.3 -0.2],

C211=[0.5 -0.9],C212=[0.2 -0.3],

C221=[0.1 -0.2],C222=[-0.4 -0.3],

D11=D12=D21=D22=0.3,

H11=H12=H21=H22=6.

選取α1=1.33,α2=1.2,β1=-1.3,β2=-0.7,按照上述定理得到控制器和觀測器增益矩陣為

K11=[2.357 2 -2.614 8],

K12=[1.443 2 -3.142 5],

K21=[-1.360 2 -0.380 1],

K22=[-2.019 1 -0.293 3].

圖1 狀態軌跡

圖2 切換信號

4 結 語

本文引入了一種新的無源不等式,給出了時滯T-S模糊廣義切換系統在控制器存在切換滯后的情況下保證系統是全局指數穩定且嚴格指數無源的充分條件,通過數值仿真驗證了該結果的有效性.