軸向載荷下鋼絲繩有限元分析及可靠度模型*

林 海 曾世龍

甘肅省特種設備檢驗檢測研究院 蘭州 730050

0 引言

鋼絲繩由于其獨特的螺旋扭曲結構和機械性能，廣泛用于航空航天，交通與建筑等領域。安全可靠地使用鋼絲繩是確保工程運行的安全重要保障，影響著生產效率和工作人員的人身安全。如果電梯鋼絲繩斷線不加以處理，可能會導致嚴重的事故和災難[1]。例如，2013 年，某次電梯事故造成7人受傷，其中3人傷勢嚴重。涉及電梯和自動扶梯的事故每年在美國造成31人死亡，約17 000人重傷。故設計安全可靠的鋼絲繩已在理論研究與工程應用中受到廣泛關注。

許多研究人員提出了一系列數學模型計算鋼絲繩的整體機械性能。但由于這些模型在計算中的簡化，加工過程與實際情況存在偏差。且有些模型計算過程復雜，很難將相關的計算結果直接用于工程實踐。Kraincanici等[2]研究了鋼絲繩的機械性能，但強度較高的鋼絲繩，不僅對測試設備的要求很高，且僅能獲得一些宏觀力學指標。因此，很多學者借助有限元仿真獲得鋼絲繩的力學性能，能獲得很多有用的微觀力學指標。Nawrocki等[3]考慮了鋼絲之間的相對運動提出了一種基于笛卡爾等參公式的鋼絲繩有限元模型，該模型利用鋼絲繩的線旋轉控制鋼絲繩的軸向運動，利用線滑動控制了鋼絲繩彎曲運動。Judge等[4]建立了多層螺旋絞線電纜的3D有限元模型，并編寫了新程序生成模型復雜的幾何形狀和劃分有限元網格。Foti等[5]提出了模擬軸向扭轉載荷的鋼絲繩新模型。Yu等[6]考慮影響局部應力分布和壽命性能的接觸條件，建立了7線絞線的3D有限元模型。

可靠性設計是考慮研究對象在各種隨機因素作用下的安全性問題，徐灝等[7]利用應力-強度干涉模型提出了機械強度可靠性設計的概念和方法。謝里陽等[8，9]認為在可靠性分析中強度與載荷是一對對立關系，構件失效是由于載荷大于其強度造成的結果。故建立了系統的可靠度干涉模型，該模型應用于具有不同強度分布的零件組成的系統和各零件承受不同載荷的系統。

綜上所述，本文首先在Matlab中編程生成各根鋼絲的空間坐標，導入SolidWorks中建立了6×19+FC型鋼絲繩三維模型。在Ansys里對鋼絲繩進行模擬加載，研究鋼絲繩受載后的應力分布，得到拉伸載荷下有限元分析結果，以應力-強度干涉可靠性理論為基礎，結合最大應力分布函數及材料強度分布函數，在考慮載荷作用次數情況下，建立了鋼絲繩在拉伸載荷下可靠度計算模型。

1 鋼絲繩數學建模

平直鋼絲繩在捻制過程中時，按順序分為一次纏繞鋼絲和二次纏繞鋼絲，對于單捻鋼絲繩或多股鋼絲繩股芯在捻制時都屬于一次捻制鋼絲，鋼絲繞繩芯按照一定的纏繞半徑和捻角進行纏繞。平直鋼絲繩結構明確的數學描述是通過一次空間螺旋曲線參數化表示的。

如圖1所示，一次纏繞鋼絲空間螺旋線的參量表示形式為

圖1 單根絲的一次纏繞曲線示意圖

式中：RD為一次纏繞半徑，φD為一次旋轉角。

如圖2所示，根據空間微分幾何理論，建立空間矢量關系，在一次螺旋線的基礎上，通過Frenet-Serret公式的相應坐標變換得出二次螺旋線空間矢量表達式為

圖2 二次纏繞曲線示意圖

式中：RL為一次纏繞半徑，φL為一次旋轉角，W為一次與二次鋼絲繩螺旋旋轉的轉換系數。

根據中心線和絞線的方向，可分為交互捻或同向捻，同向W為正，交互時W為負。

2 三維建模及有限元分析

本文建模時將鋼絲繩視為幾何模型，約束相關的參數建立鋼絲繩的實體特征。確定所有繩股軸線和鋼絲繩軸線坐標參數與函數后，在Matlab中編程生成各根鋼絲的空間坐標，導入SolidWorks使用掃描選項建立6×19+FC型鋼絲繩三維模型。

將生成的三維模型保存為x.t格式，在Ansys APDL中導入幾何模型，按照表1參數進行材料屬性設置。

表1 材料屬性

在有限元分析過程中，網格劃分質量對分析結果的收斂性、精度及計算過程有重要影響。本文采用Solid中20 node 186單元，使用Smart Sizing Level 6自由劃分網格。

鋼絲繩模型運動方式采用運動耦合，即節點集合與參考節點發生剛體運動。在施加拉伸載荷時，邊界條件設置為一端進行固定，限制端面所有節點的6個自由度。另一端施加拉伸面載荷，邊界條件為限定端面節點繞軸向旋轉，避免模型的每一根鋼絲繞各自軸向發生旋轉，導致與實際中的拉伸工況不符。

圖3 網格劃分

由圖4可得，拉伸載荷下受力變形較大的在加載端，結合圣維南原理分析，則應力分布均勻，并未發生應力集中現象。最大等效應力與應變出現在鋼絲繩側股螺旋鋼絲交叉位置，在外側股交叉接觸部位形變最大。

圖4 鋼絲繩拉伸載荷下有限元分析

3 應力-強度干涉理論

應力-強度干涉模型簡單有效地建立了應力-強度之間的可靠性關系，應力-強度干涉模型中的應力和強度是2個隨機變量，故該模型可較好地用于解決鋼絲繩在拉伸載荷下可靠度的問題。

一般認為當鋼絲繩的可承受強度δ大于外部應力S時，能夠保證鋼絲繩可靠工作。即為

如圖5所示，在鋼絲繩的設計階段t0，會留有一定的安全裕度來保證鋼絲繩的可承受強度δ大于外部應力S。但隨著鋼絲繩的不斷工作，鋼絲繩內部損傷不斷積累造成強度發生退化，導致在t1時刻，強度和應力之間部分重疊，稱此現象為應力強度干涉。

圖5 應力強度干涉模型

一般情況下，鋼絲繩的應力分布概率密度函數f(S)和強度分布概率密度函數g(δ)都是服從于正態分布，在計算得到了應力與強度的分布參數之后，則可采用數值積分的方式對可靠度進行計算，具體方法為：

令ψ=δ-S，則可靠度為ψ＞0的概率，即

ψ的分布函數f(ψ)等于強度分布g(δ)和應力分布f(S)的差。g(δ)和f(S)滿足正態分布時，f(ψ)=g(δ)-f(S)也滿足正態分布，即

式中：f(ψ)分布的均值為

f(ψ)分布的標準差為

由ψ的定義可知，ψ為正時的概率即為鋼絲繩的可靠度，表示為

將f(ψ)轉化為標準正態分布，則有

由式(12)可知，當ψ=∞時，有

當ψ=0時，有

式中：z為應力與強度的聯結系數，又被稱為概率安全裕度。

選擇鋼絲繩沿直徑方向上提取任意端面上的等效應力，結合應力和強度的分布參數后，可通過式(10)和式(14)計算出鋼絲繩不同可靠度下的安全系數，如表2所示。

由表2可得，同種狀態下，可靠度越高安全系數越低；不同種狀態下，同一可靠度中等效應力值越高時，安全系數越低。通過仿真獲取鋼絲繩的應力分布，并應用可靠性理論建立應力-強度干涉模型，進而分析、推導、計算鋼絲繩在指定工況下的可靠性，為鋼絲繩可靠性分析提供一種便捷方法。

表2 不同應力狀態下可靠度的安全系數

4 結論

本文在Matlab中編程生成各根鋼絲的空間坐標，導入SolidWorks中建立了6×19+FC型鋼絲繩三維模型。在Ansys里對鋼絲繩進行模擬加載，研究鋼絲繩受載后的應力分布，得到拉伸載荷下有限元分析結果，以應力-強度干涉可靠性理論為基礎，結合最大應力分布函數及材料強度分布函數，提出了一種鋼絲繩可靠度計算模型，經驗證該模型滿足工程需要。