寡頭博弈模型中的時間記憶性質與預期對模型穩定性的影響

趙佳麗， 梁晏銘

(西安財經大學 統計學院， 西安 710100)

2021年中央經濟工作會議、中央財經委員會第九次會議強化反壟斷工作作出決策部署，將反壟斷工作重要性提升到前所未有的高度?！笆奈濉币巹澖ㄗh明確提出健全公平競爭審查機制，加強反壟斷和反不正當競爭執法司法，提升市場綜合監管能力。強化反壟斷，是黨和國家作出的重大決策部署，加快構建更加安全、更加公平、更具活力、有效競爭的經濟市場體系。基于此，研究壟斷問題對于國家的經濟發展具有重要現實意義。

寡頭壟斷市場是現實中較為普遍存在的市場結構，事實上，經濟市場中存在很多寡頭壟斷現象，尤其是在那些需要在大規模的基礎上才能實現經濟效益的產品市場出現這種市場結構。這些企業為了利潤最大化，不斷地競爭，制定出最有利于自己的策略。而博弈論就是研究這種具有斗爭或競爭的經濟現象，各博弈方為了各自的目標和利益最大化，在研究優化策略時，要盡可能考慮對方可能采取的策略，以調整自身的策略。這種博弈行為在寡頭壟斷市場中表現得更為明顯。

寡頭壟斷市場格局的普遍性使得對寡頭壟斷行為和市場博弈的研究更有實際意義，因此吸引了大量學者進行研究。對寡頭模型的研究主要從產量和價格兩種策略角度進行，學者們以此為基礎，對市場經濟競爭中寡頭企業的行為進行研究，如壟斷企業的數據信息博弈、糧食交易中的價格博弈等。

企業的發展與社會經濟的發展息息相關，一榮俱榮。因此企業的發展要適應社會的發展進程，要善于利用社會條件發展自己，同時做出利于經濟市場發展的決策，推動社會經濟發展。寡頭壟斷現象較為普遍，像電力價格壟斷、油價壟斷，以及銀行壟斷、保險公司壟斷，BAT這種大公司的對市場的壟斷，對大數據信息的壟斷，等等，這些壟斷現象對國家安全健康發展有很大的影響，因此研究寡頭壟斷下的市場穩定性具有至關重要的現實意義。

1 研究綜述

產量模型最早是由法國學者Cournot提出的，是最早的寡頭模型，該模型是以調節產量為主的模型，因此叫產量模型，也叫古諾模型。價格模型是在產量模型的基礎上建立的，它是以調節價格為主的模型。關于產量模型和價格模型的穩定點存在性和穩定性判斷研究主要是基于納什均衡的穩定性判別研究。

1950年，Nash在EquilibriumPointinN-personGames和Non-cooperativeGames兩篇論文中，首次提出“納什均衡(Nash equilibrium)”，證明了均衡解[1]的存在性，揭示了博弈論與經濟均衡的內在聯系,從此把它應用到產量模型。

產量模型作為納什均衡應用的最早版本，在產量博弈中應用廣泛，對于產量模型的穩定性研究，比如Okuguchi[2]進行的雙寡頭壟斷研究，Huck等[3]通過實驗模擬進行的實驗性雙寡頭市場內生時機研究，他的研究是利用納什均衡，給出了雙寡頭模型解(均衡點)的存在性證明及其平衡穩定性的分析，特別是對連續雙寡頭模型的非線性穩定性研究中證明了模型常數階的穩定性。Agliari等[4]研究的具有差異化產品的古諾雙寡頭博弈的動態系統，采用梯度學習機制來調整市場上個產品銷售的數量，也就是利用了市場的時間記憶來調節產量，分析了模型穩定和不穩定時的產量情況對利潤的影響，得出了調整產品的產量結構時，產量結構越豐富，模型越不穩定。學者們還將雙寡頭模型的研究推廣到了離散雙寡頭經濟模型，并對其進行了時間的定性分析，得出了從離散模型到連續模型，恒定的穩態不變的結論。

隨著中國市場經濟社會市場結構的不斷發展和進步，很多經濟學家、學者也不斷研究寡頭模型，比如雷勇等[5]分析了寡頭廠商的博弈情況，馬軍海等[6]分析了延遲決策對寡頭博弈的影響，張雅慧[7]分析了半合作模式下兩階段雙寡頭博弈模型，并對其進行了復雜動力學分析，徐峰等[8]研究了雙寡頭廣告博弈模型的影響因素，分析了廣告投入與其帶來的利潤關系。這些學者們的研究都是對不同的寡頭模型進行了均衡性分析，并從不同的角度對均衡點的存在給出理論證明，分析了均衡點的穩定狀態，以及各模型參數下系統的均衡態趨勢。

價格模型的研究是在產量模型的基礎上進行的，它以調節價格為主，以價格作為競爭手段，是產量模型的一種推廣。比如Bester[9]基于消費者偏好的橫向差異化，研究了雙寡頭壟斷中Bertrand價格競爭的穩定性，并對其穩定性進行了分析，發現存在價格博弈均衡。吳險[10]在Bertrand模型的基礎上，在分析“伯特蘭德悖論”的解決方法時，進一步說明了模型穩定性是可以達到的。胡玉鳳、張晨義[11]同樣基于Bertrand模型和產品差異化思想，建立定價博弈模型，對擴展的Bertrand模型進行研究，分析了競爭者數量和產品替代率對均衡價格的影響。綜上所述，寡頭博弈模型的穩定性影響因素復雜多樣，并且在有限條件下是能夠達到穩定狀態的，通過對均衡點的求解，可以找到均衡點或均衡局域對模型的穩定性進行研究。

2 模型的建立

本文研究兩個廠商的產量博弈，根據已有的文獻，以企業自身的產量對自身的產品產量的影響作為一個因素，以競爭對手的產品產量對自身的產品產量的影響作為一個因素，建立產量模型。考慮到時間的記憶性會對決策產生影響，因此引入分數階理論，研究時間記憶對寡頭博弈過程中模型的穩定性產生的影響。模型建立在古諾假設的基礎上，只考慮企業自身產量和競爭對手產量對產量的影響，且認為市場總容量保持不變，無政策及其他外界因素干擾。模型的影響因素主要有廠商i(i=1，2)的互相影響作用γ，廠商i(i=1，2)對自身產量的影響作用Li，廠商i(i=1，2)的最大產量θi，連續的時間尺度u和v，企業產量的調整速度a和ν，廠商i產品生產的連續時間狀態α。

當廠商1生產的產品數量達到一定數額后將會出現利潤下降，此時廠商i對自身的產量產生影響，設影響因數為Li，建立模型為

∏(u,v)=θ1-γv-L1u

(1)

∏(u,v)=θ2-γu-L2v

(2)

根據式(1)、式(2)得到關于u和v的非線性連續系統，即

(3)

(4)

對應的預期為

(5)

(6)

3 實證分析

下面通過具體的實例對系統進行分析，在不同的分數階條件下，利用wolfram alpha求解模型的均衡點、模型的特征矩陣、特征根以及特征根的幅角，分析均衡點的穩定性，判斷系統的穩定性。首先介紹階數為1時系統均衡點的穩定性分析方法，為后面分數階系統的分析做理論鋪墊。

3.1 階數為1時的分析

對式(3)關于u、v分別求偏導得

(7)

(8)

線性化得

(aθ1-aγv-2aL1u)u-aγuv

(9)

對式(4)關于u、v分別求偏導得

(10)

(11)

線性化得

-νvγu+(νθ2-νγu-2νL2v)v

(12)

當所有的特征值λ的實部小于0時，系統的均衡點穩定，特征值λ的實部大于0時，系統的均衡點非穩定。

根據已有的文獻，設θ1=0.5，θ2=1，γ=1，L1=3，L2=2，a=1.5，ν=2.5，此時的產量模型為

∏(u,v)=0.5-v-3u

(13)

∏(u,v)=1-u-v

(14)

由上面的分析知，α=1時，關于u和v的非線性連續系統為

(15)

(16)

在滿足預期時，解得模型的均衡點為(0,0),(0,0.5),(0.167,0)。

在(0，0)處，特征值為0.75和2.5，系統是不穩定的；在(0，0.5)處，特征值為0和-2.5，系統是不穩定的；在(0.167，0)處，特征值為-0.75和2.08，系統是不穩定的。

此結果說明，當階數為1時，系統易受外界因素的干擾，即廠商i(i=1，2)的產量易受到其競爭對手產量的影響，也容易受到自己上一期產量的影響。

3.2 階數小于1時的分析

與階數為1時的分析過程相同。

當α=0.2時：在(0，0)處，特征值為-0.5和3.75，此時系統是不穩定的；在(0，0.5)處，特征值為0和3.75，此時系統是不穩定的；在(0.167，0)處特征值為3.555和-1.055，此時系統是不穩定的。

當α=0.5時：在(0，0)處，特征值為2.5和0.75，此時系統是不穩定的；在(0，0.5)處，特征值為0和0.75，系統是不穩定的；在(0.167，0)處特征值為0和2.5，此時系統是不穩定的。

當α=0.8時：在(0，0)處，特征值為-0.59-0.59i，-0.59+0.59i，-1.39i，1.39i和0.59-0.59i，此時系統是不穩定的；在(0，0.5)處，特征值-0.47-0.47i，-0.47+0.47i，-1.47i，1.47i，和0.47-0.47i，此時系統是不穩定的；在(0.167，0)處特征值為-0.72-0.72i，-0.72+0.72i，-1.37i，1.37i和0.72-0.72i，此時系統是不穩定的。

3.3 階數大于1時的分析

當α=1.5時：在(0，0)處，特征值為-0.78-1.35i，-0.78+1.35i，0.39-0.69i，0.39+0.69i，此時系統是不穩定的；在(0，0.5)處，特征值為-0.84-1.45i，-0.84+1.45i，0.29+0.51i和0.29-0.51i，此時系統是不穩定的；在(0.167，0)處特征值為-0.76-1.32i，-0.76-1.32i，0.51-0.88i和0.51+0.88i，此時系統是不穩定的。

當α=2.1時：在(0，0)處，特征值為-1.05-0.16i，-1.05+0.16i，-0.97+2.77×10-16i，0.95-0.46i和-0.95+0.46i，此時系統是不穩定的；在(0，0.5)處，特征值為-0.83-1.45i，-0.83+1.45i，0.29+0.51i和0.29-0.51i，此時系統是不穩定的；在(0.167，0)處特征值為-1.05-0.16i，-1.05+0.16i，-1.003+3.05×10-16i，-0.96-0.29i和-0.96+0.29i，此時系統是不穩定的。

當α=3.6時：在(0，0)處，特征值為-1.01-0.37i，-1.01+0.37i，-0.95-0.17i，-0.83-0.48i和-0.95+0.17i，此時系統是不穩定的；在(0，0.5)處，特征值為-1.02-0.37i，-1.02+0.37i，-0.9-0.16i，-0.9+0.16i，和-0.83-0.7i，此時系統是不穩定的；在(0.167，0)處特征值為-1-0.37i，-1+0.37i，-0.99-0.17i，-0.99+0.17i和-0.87-0.5i，此時系統是不穩定的。

通過數值模擬及數學推算分析得出，當0<α<1時，均衡點在不同的階數下均是不穩定的，也即系統是易受干擾的。因此，當時間記憶較短(小于1期)時，企業的產量決策極易受到影響。當α>1時，均衡點在不同階數下依然是不穩定的，因此，當時間記憶較長(大于1期)時，企業間的產量決策易受干擾。

考慮到時間成本、市場變化、產品更新等因素，建議企業在最短的時間周期做出合理的決策，減少外在負面影響，提高企業產品的經濟效益。

4 結論

在對傳統模型的研究基礎上，考慮了時間的記憶性質對決策的影響，引入分數階理論，對雙寡頭市場上不同時間尺度下產量決策的穩定狀態進行了分析。

為了便于分析，先對整數階(本文的1階)進行了分析，得出了所建雙寡頭模型易受到研究因素的干擾從而不穩定的結論。其次利用分數階相關知識，對不同時間狀態下的模型進行了穩定性分析,得出了不論在何種時間記憶下，模型都是非穩定的。根據此次研究和經濟學中對寡頭市場的已有研究，建議寡頭企業間可采取協議合同，在良性定價的基礎上，盡量在市場穩定的條件下，根據理論計算結果(即達到產量均衡點時)結合往期的市場產量進行產品生產，做到雙方利潤最大化，從而達到雙贏的結果。