小學(xué)“圓的面積”教學(xué)蘊涵的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

王 露

(寧夏長慶小學(xué) 寧夏 銀川 750005)

1.剖析生活情境，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模聚焦數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵在于：以生活情境為出發(fā)點構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題”的過程，獲得“會用數(shù)學(xué)眼光看問題、會用數(shù)學(xué)思維思考問題，會用數(shù)學(xué)語言表達問題”的能力。

教材中編排的“圓的面積”的內(nèi)容是簡化的數(shù)學(xué)建模過程。首先，師生通過剖析生活情境中圓壇(草坪)與鋪圓壇所需的正方形草皮之間的關(guān)系，完成圓的面積概念的建構(gòu)，進而教師提出問題：“如何計算圓的面積？”其次，學(xué)生通過操作、觀察、對比等實踐活動完成模型的建立：教師引導(dǎo)學(xué)生在硬紙上畫一個圓，把圓對折分成若干等份后剪開，上下拼接剪開后得到小扇形，觀察后發(fā)現(xiàn)拼出的圖形是近似的平行四邊形(長方形)，且隨著分的份數(shù)越多，拼出的圖形越接近長方形。再利用長方形的面積公式，建立圓面積S與半徑r之間的函數(shù)模型S=πr2。最后，通過例1實現(xiàn)模型的應(yīng)用，即讓學(xué)生運用函數(shù)模型求解下列問題：若圓壇(草坪)的直徑為20米，每平方米草皮8元，則鋪滿草皮需要多少錢？

剖析生活情境的過程中，學(xué)生將體驗如何通過“數(shù)學(xué)的眼睛”觀察圓壇(草坪)，利用“數(shù)學(xué)的語言”描述和分析圓壇(草坪)的占地面積，最后構(gòu)建數(shù)學(xué)問題，即通過建立圓的面積公式這一模型，解決現(xiàn)實生活中與圓的面積有關(guān)的具體問題，從而發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

2.借助合情推理，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)

邏輯推理素養(yǎng)是依托邏輯推理過程所凝練出來的一種思維品質(zhì)。圓的面積公式推導(dǎo)可看成邏輯推理的過程，推理的起點是割補轉(zhuǎn)化法和長方形的面積公式，推理的形式是歸納，得到的推理結(jié)果是圓的面積等于無限分割后所拼成的長方形的面積。

考察分割圓后拼成的圖形及其外接平行四邊形面積的變化情況。利用幾何畫板可得到把任意半徑(文中取3.78cm)的圓等分成4、8、16、32……4×2n-1(n≥1)后拼成的圖形，以及相應(yīng)分割下拼成圖形的外接平行四邊形及其底、高和面積之值。(此處取π=3.14；記圓的半徑為r，外接平行四邊形的底為SR、高為QT、面積為S；所有數(shù)據(jù)只保留小數(shù)點后兩位)

在用外接平行四邊形面積逼近圓面積的過程中，所拼成圖形的面積(即圓的面積)始終不變，而用于逼近的外接平行四邊形的面積逐漸減小，最后穩(wěn)定在一個固定的值，即圓的面積。一方面，由圖2知，當(dāng)?shù)确謭A的份數(shù)越多，外接平行四邊形的面積越小，最終與所拼成圖形的面積無異。另一方面，隨著分割份數(shù)的4份、8份、16份、32份，相應(yīng)地，外接平行四邊形的底為10.70cm、11.70cm、11.78cm、11.80cm，最終穩(wěn)定在11.87cm(≈3.14×3.78)附近，外接平行四邊形的高為4.88cm、4.12cm、3.92cm、3.86cm，最終穩(wěn)定在3.78cm附近，從而外接平行四邊形的面積為52.29cm2、48.26cm2、46.20 cm2、45.52cm2，最終穩(wěn)定在44.86cm2(≈3.14×3.782)附近。

這一過程基于圓的面積不變，從數(shù)形結(jié)合的角度，使學(xué)生理解把圓無限分割后所拼成的長方形(所拼圖形的外接平行四邊形)的長即圓周長的一半，寬即圓的半徑，且長方形的面積即圓的面積。學(xué)生經(jīng)歷此過程后，將能對合情推理有大致的了解，形成有條理、有邏輯的思維品質(zhì)，從而發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)。

此外，利用幾何畫板獲取半徑為3.78cm的圓在不同分割下的外接平行四邊形的底、高和面積之值，并將數(shù)據(jù)整理制成表1，再分析數(shù)據(jù)得出結(jié)論的過程，亦能讓學(xué)生獲得收集、整理數(shù)據(jù)，并從數(shù)據(jù)中提取有效信息后做出判斷、得出結(jié)論的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，從而發(fā)展數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。

3.知識可視化，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)

直觀想象素養(yǎng)是空間想象、幾何直觀和空間觀念相互交融基礎(chǔ)上價值取向的拓展，是數(shù)學(xué)活動中探索和形成論證思路、進行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。幾何直觀將相對復(fù)雜、抽象的問題圖像化和具體化；空間想象則以現(xiàn)實世界為背景，對事物的幾何表象進行加工、改造，甚至創(chuàng)造新的空間想象。幾何直觀的具體化和空間想象的抽象化使直觀想象素養(yǎng)集具體與想象于一體。

4.結(jié)語

總而言之，現(xiàn)實情境視角下“圓的面積”教學(xué)，可讓學(xué)生經(jīng)歷知識產(chǎn)生以及問題解決的過程，實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。同時，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展依托于相應(yīng)的學(xué)習(xí)過程，其中，數(shù)學(xué)抽象是“統(tǒng)領(lǐng)”，數(shù)學(xué)建模是“大綱”，邏輯推理是“手段”，直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析是“工具”，這六個過程相互交融，形成一個有機整體。