建立數學模型 促進學生的深入理解

張 勇

數學學習通常需要經歷數學建模階段，即讓學生經歷從復雜的現象中抽象出問題的過程，找到一類問題的共性，然后建構出基本的模型，并在不斷探索和嘗試的過程中豐富模型，從而達成對知識的深入理解和全面認識。在實際教學中，教師要尋找合適的材料，推動學生嘗試數學建模，引領學生有效學習，具體可以從以下幾個方面入手：

一、借力比較過程，抽象基礎模型

構建數學模型不是簡單的模仿和應用，而是要讓學生經歷學習的過程，通過觀察、比較、分析、實踐等去發現問題，抽象出一類現象的共性，從而建構出基本的問題模型來。所以在實際教學中，教師要選擇合適的素材，促進學生的抽象能力，推動數學模型的建立。

例如在“假設的策略”教學中，我首先出示例題：同學們去公園劃船，52名同學正好租了10條船，已知每條小船能坐4人，每條大船能坐6人，那么租的小船和大船各有多少條？在引導學生獨立分析問題之后，我組織他們集體交流，學生展示出不同的思路：有學生通過畫圖來尋找答案，有學生用一一列舉的方法來湊出答案，還有的學生先假設10條船全是小船，這樣得到可坐40人，然后將其中一些小船改成大船，經過計算學生發現想要增加12人需要將其中6條船改成大船。交流過程中學生結合畫圖過程理解了假設的思路，并認定這樣的思路在解決這個問題的時候相對比較簡單。教學例題之后，我再出示一道古代的數學名題“雞兔同籠”給學生嘗試，大部分學生選擇的是假設的方法，在交流這個問題的時候，學生經過觀察發現這個問題與之前的例題有共同點，雞和兔就相當于小船和大船，它們腳的數量相當于大船和小船能夠坐的人數，有了這樣的認識，學生對于這類問題就建構出一個模型來，再碰到類似的問題他們會自覺運用之前的方法經驗來嘗試解決問題。

在這個教學案例中，學生經歷了比較和分析，發現了幾個問題之間的共同之處，這樣的經歷促進學生建構出相應的數學模型，從而為他們掌握假設的策略提供了幫助。

二、借力直觀形象，搭建數學模型

小學生尚處于具體形象思維為主的階段，在小學數學模型的構建中，教師要盡量為學生提供一些表象作為支撐，幫助學生形象地認識問題，幫助學生構建相對清晰的數學模型。

例如在“24時記時法”的教學中，我利用學生已經具備了用普通記時法來記錄一天24小時的基礎，創設出一個普通記時法下的矛盾，從而引發了學生將一天的24小時全部記錄出來的欲望。在此基礎上，我利用課件動態呈現了一天24小時的變化過程。在課件中，結合背景的變化，鐘面上的時針轉動了兩圈，在時針轉動的同時，下面的時間軸一直向前走，并且在時間軸上的整點處課件會自動出示24時記時法下的即時時刻，當一圈轉完開始第二圈的時候，時間軸長的時刻變成了13：00、14：00、15：00……學生自然將這些時刻與鐘面上的時刻進行對比，并發現一天中時鐘轉動第二圈的時候，24時計時法下的時刻需要用鐘面上所指的數加上12。

從教學效果來看，這個動態的課件起到了重要的作用，尤其是課件中背景的變化，讓學生形象地認識到時鐘轉動的第一圈是從夜里12時開始到中午的12時，而第二圈是從中午12時開始到晚上的12時，這種形象化的材料推動了學生的模型建構，降低了學生理解的難度。

三、借助實際材料，豐富數學模型

數學與生活有著緊密的聯系，很多數學知識可以在生活中找到原始的模型，很多生活問題可以從數學的角度去理解和解釋，所以在構建數學模型的時候，教師可以找到一些生活中的模型來促進學生的理解與認識，讓學生的模型進一步豐富起來。

例如在“角的認識”教學中，教師首先出示一些生活中的模型，比如扇子、剪刀等等，并從實物中將角抽象出來。在告訴學生這些就是角之后，教師引導學生觀察這些角的共同點，并嘗試用自己的語言來描述，學生在交流中發現數學學習中的角的共同點是有一個頂點和兩條邊，而且隨著兩條射線的轉動，角的大小會發生變化。有了這樣的發現，學生的數學角就立體的建構了出來，并且與生活中一些不具備數學角本質特征的角(比如動物的角)區分開來。在這個教學案例中，教師尋找的素材無疑是貼切的，借助于這些生活素材，學生很好地把握了角的本質特征，構建了幾何學習的特征要素。

總之，引導學生在數學學習中構建出穩固而豐富的數學模型對于學生的數學學習是有幫助的，在實際教學中教師需要為學生的數學建模提供良好的條件，引導學生經歷豐富而真實的學習過程，在探索和思考中建構數學模型，并達成必要的數學理解。