立足課堂　滲透極限思想

摘要：義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的“課程目標(biāo)”、“知識(shí)技能”等部分均涉及到了極限思想.由于小學(xué)生受認(rèn)知水平的限制，對(duì)極限思想的教學(xué)主要在極限意識(shí)的滲透上，而課堂教學(xué)是滲透極限思想的主渠道.在小學(xué)數(shù)學(xué)極限思想教學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該基于兒童認(rèn)知水平，呼應(yīng)兒童思維特征，通過(guò)情境創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生初步感了解極限，感受極限的價(jià)值.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想;極限思想;小學(xué)數(shù)學(xué)

中圖分類號(hào)：G622文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）29-0053-02

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)固然應(yīng)該教會(huì)學(xué)生許多必要的數(shù)學(xué)知識(shí)，但讓學(xué)生在學(xué)習(xí)這些結(jié)論的過(guò)程中掌握數(shù)學(xué)思想方法才是更為重要的.隨著對(duì)數(shù)學(xué)思想的關(guān)注度越來(lái)越高，數(shù)形結(jié)合、分類思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、模型思想、方程思想等數(shù)學(xué)思想應(yīng)用頻率越來(lái)越高，數(shù)學(xué)思想方法已經(jīng)受到越來(lái)越多的教師的重視.然而，在一些小學(xué)的數(shù)學(xué)課堂上，由于很多教師對(duì)極限思想的價(jià)值認(rèn)識(shí)不足，缺少滲透極限思想的教學(xué)設(shè)計(jì)，數(shù)學(xué)極限意識(shí)的培養(yǎng)痕跡淡薄.

如何在小學(xué)生的頭腦中播種下極限思想的“種子”，讓其生根、發(fā)芽，為今后長(zhǎng)成數(shù)學(xué)知識(shí)的大樹(shù)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，筆者認(rèn)為必須以課堂教學(xué)為主線，瞄準(zhǔn)數(shù)學(xué)極限思想展開(kāi)課堂教學(xué)活動(dòng)，并且向課外延伸.下面，筆者根據(jù)自己所在的鄉(xiāng)村學(xué)校特點(diǎn)，以課堂教學(xué)為背景，談一談在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中滲透極限思想的幾點(diǎn)策略.

一、建立無(wú)限觀念

首先，什么是“極限”？簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是一個(gè)變化著的量，在其變化過(guò)程中無(wú)限趨近于一個(gè)固定的數(shù)值，我們就把這個(gè)固定的數(shù)值稱為變化的量在其變化過(guò)程中的極限.極限是用以描述變化的量在一定的變化過(guò)程中的終極狀態(tài)的概念.

極限的含義中有兩個(gè)關(guān)鍵詞：一是無(wú)限量，二是固定值.因此，要讓學(xué)生接受極限思想，首先要幫助學(xué)生建立無(wú)限的觀念.

1.在數(shù)與代數(shù)中建立無(wú)限觀念

在學(xué)習(xí)四年級(jí)下冊(cè)億以上數(shù)的認(rèn)識(shí)時(shí)，學(xué)生認(rèn)識(shí)了億，教師出示數(shù)位表后提問(wèn)“”

追問(wèn)：為什么億級(jí)前面還有省略？

生：還有比億位大的數(shù).

師：億已經(jīng)特別大了，還會(huì)有比它大的數(shù)？我們來(lái)做一個(gè)游戲，請(qǐng)一位同學(xué)先寫(xiě)一個(gè)較大的數(shù)，下一個(gè)同學(xué)要寫(xiě)一個(gè)比他大的數(shù)，看看能不能找出最大的自然數(shù).

通過(guò)游戲，讓學(xué)生明白：億雖然是一個(gè)很大數(shù)，但它仍然是有限的，比億更大的數(shù)有很多，你想象有多大就有多大.自然數(shù)從0開(kāi)始，后面的數(shù)總比前面的數(shù)多1，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，總也數(shù)不完，因此說(shuō)“自然數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，沒(méi)有最大的自然數(shù)”.這樣，在數(shù)的認(rèn)識(shí)中初步建立起無(wú)限的觀念.

在除法的教學(xué)中，除了讓學(xué)生充分理解算理，掌握算法外，還可以有機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)有限與無(wú)限的思想.兩個(gè)數(shù)相除，如果不能得到整數(shù)商，所得的商會(huì)有兩種情況.一種情況是商的小數(shù)的位數(shù)是有限的;另一種情況，我們要提供感性材料，讓學(xué)生多算幾步，充分感知“除不盡”的新情況.然后引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察小數(shù)部分?jǐn)?shù)字排列的規(guī)律，得到：商從某位起出現(xiàn)一個(gè)數(shù)字或幾個(gè)數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn).“不斷重復(fù)出現(xiàn)”表示什么意思？由此引出循環(huán)小數(shù)的概念.以前學(xué)生對(duì)小數(shù)概念的認(rèn)識(shí)僅限于有限小數(shù)，學(xué)習(xí)了循環(huán)小數(shù)以后，小數(shù)概念的內(nèi)涵進(jìn)一步擴(kuò)展了，循環(huán)小數(shù)就是一種無(wú)限小數(shù)，讓學(xué)生體會(huì)到了無(wú)限的思想.

在我們教材中，還有許多知識(shí)涉及數(shù)量無(wú)限多的情況，如：年月日的認(rèn)識(shí)、 小數(shù)的意義、分?jǐn)?shù)的意義、因數(shù)與倍數(shù)等知識(shí)中都蘊(yùn)含著無(wú)限思想的影子.

2.在認(rèn)識(shí)圖形的教學(xué)中建立無(wú)限的觀念.

在認(rèn)識(shí)圖形時(shí)也可以滲透有限與無(wú)限的思想.例如在教學(xué)線段、直線、射線的認(rèn)識(shí)時(shí)，讓學(xué)生聯(lián)系實(shí)際，充分體驗(yàn)，建立對(duì)線段、直線、射線的一影象.

如何用有限長(zhǎng)度的線段表示無(wú)限長(zhǎng)度的直線，是學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn).在學(xué)生了解了線段、射線、直線的概念后，讓學(xué)生在作業(yè)本上畫(huà)出線段，再讓他們把線段的一端往前不斷延伸，直觀感受無(wú)限的“概念”.

但是在實(shí)際生活中學(xué)生很難找到直線的具體實(shí)例.射線和直線都是為了深人研究，在頭腦中想象出來(lái)的一種“線”.讓我們閉上眼睛-起想象一下射線，一條線段向一端無(wú)限延長(zhǎng)，延長(zhǎng)，再延長(zhǎng)……一直不斷延長(zhǎng)下去.那直線呢，繼續(xù)想象一條線段向兩端無(wú)限延長(zhǎng)，延長(zhǎng)，再延長(zhǎng)……一直不斷延長(zhǎng)下去.我們需要讓學(xué)生合理想象，感悟極限，調(diào)動(dòng)多感官參與“無(wú)限”的感知中.

在《角的認(rèn)識(shí)》學(xué)習(xí)中，體會(huì)角的兩邊延伸的特性，通過(guò)學(xué)習(xí)直線的位置關(guān)系，感知平行線也、是一種無(wú)限的量，體會(huì)無(wú)限.在教學(xué)過(guò)程中，我們要充分利用好教材，在傳授探索新知的過(guò)程中，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲的滲透無(wú)限概念.

二、感悟極限思想

極限的概念很抽象，要通過(guò)具體的案例，在應(yīng)用極限思想解決某些“無(wú)限”問(wèn)題的過(guò)程中來(lái)感悟極限思想.

1.在新知學(xué)習(xí)中感悟極限思想

在《圓的面積》一課教學(xué)中，筆者沒(méi)有選用書(shū)中將圓轉(zhuǎn)化為平行四邊形的方法，而是讓學(xué)生追尋古人的足跡進(jìn)行摸索.讓學(xué)生不斷對(duì)折手中的圓紙片，隨著折疊的次數(shù)越多，圓被等分的份數(shù)也越多，學(xué)生發(fā)現(xiàn)所得到的圖形越接近于三角形，啟發(fā)學(xué)生可以把圓等分成若干個(gè)三角形來(lái)計(jì)算面積.

同時(shí)，在多媒體出示魏晉時(shí)代的數(shù)學(xué)家劉微在其《九章算術(shù)注》中應(yīng)用“割圓術(shù)”得到圓的半周長(zhǎng)與半徑之積等于圓的面積，劉微在描述這種作法時(shí)說(shuō)“制之彌細(xì)，所失彌少，制之又制，以至不可制，則與圓周合體而無(wú)所失奧”. 讓學(xué)生了解極限思想的產(chǎn)生和應(yīng)用，可追溯到古代.

接著讓學(xué)生利用割圓術(shù)推導(dǎo)圓的面積公式，先從圓的內(nèi)接正六邊形面積算起，接著研究正八邊形面積，正十邊形面積，正十二邊形面積，多媒體展示正多邊形的邊數(shù)越來(lái)越多，正多邊形就越來(lái)越接近圓.

現(xiàn)代多媒體手段能很好的化抽象為直觀，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想與方法.圓的面積是學(xué)生第一次接觸曲線圖形的面積，如何讓學(xué)生感悟和體會(huì)“化曲為直”和“極限”的數(shù)學(xué)思想呢？教師設(shè)計(jì)了跟隨古人的足跡，結(jié)合現(xiàn)代化的教學(xué)手段，出示圓內(nèi)接正六邊形，接著是正八邊形，隨著電腦展示多邊形的邊數(shù)越多這個(gè)正多邊形就越接近圓，最后把幾種正多邊形進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比之后，教師引導(dǎo)學(xué)生討論：是什么原因使最后的正多邊形最像圓呢？讓學(xué)生在觀察、想象中感悟“化曲為直”和“極限”的數(shù)學(xué)思想，課后讓學(xué)生思考是否還有別的推導(dǎo)方法，讓學(xué)生利用課堂所學(xué)極限思想，把圓剪拼成長(zhǎng)方形，推導(dǎo)公式.

在小學(xué)階段如圓的面積、圓柱的體積等公式的推導(dǎo)過(guò)程都體現(xiàn)了化曲為直、化圓為方的極限思想，在通過(guò)有限分割拼合的變化趨勢(shì)，想象它們無(wú)限分割的最終結(jié)果，既讓學(xué)生掌握了計(jì)算公式又萌發(fā)了無(wú)限逼近的極限思想.由于受年齡特征的制約，小學(xué)生對(duì)極限思想不會(huì)有深刻的理解，但這并不等于我們教師在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中可以淡化對(duì)極限思想的滲透，相反應(yīng)該抓住一切可以利用的契機(jī)加以滲透，為他們形成數(shù)學(xué)思想提高抽象思維能力以至將來(lái)學(xué)習(xí)極限知識(shí)奠定基礎(chǔ).

2.在練習(xí)中感悟極限思想

六年級(jí)下冊(cè)《數(shù)的認(rèn)識(shí)》總復(fù)習(xí)中有一到題目：

在括號(hào)里填適當(dāng)?shù)臄?shù).

（1）0.9，0.99，0.999，（ ），（ ）……

12，14，18，（ ），（ ）……

上面兩組數(shù)分別會(huì)越來(lái)越接近幾？

學(xué)生通過(guò)以前的學(xué)習(xí)積累，都有直觀感覺(jué)，第（1）題的規(guī)律是：每個(gè)小數(shù)的整數(shù)部分都是0，小數(shù)部分各數(shù)位上都是9，且從第二個(gè)數(shù)起，每個(gè)小數(shù)都比前一個(gè)小數(shù)多一位，題中的數(shù)會(huì)越來(lái)越接近1.第（2）題的規(guī)律是：相鄰的兩個(gè)數(shù)，后一個(gè)數(shù)總是前一個(gè)數(shù)與1/2相乘的積，題中的數(shù)會(huì)越來(lái)越接近0.我們也可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合，給學(xué)生更直觀的逼近感受，第（1）小題讓學(xué)生在數(shù)軸上表示出這幾個(gè)數(shù)，隨著位數(shù)的增多，學(xué)生在數(shù)軸上的描的點(diǎn)越接近1.第（2）題可以用方形

形來(lái)表示，讓學(xué)生直觀感受隨著分的份數(shù)越多，每份的面積越趨近于0.

極限思想的滲透是一個(gè)螺旋式的上升的過(guò)程，作為教師，我們應(yīng)當(dāng)有足夠的耐心和信心，立足課堂，有選擇地、有針對(duì)性地、適時(shí)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行極限思想的滲透，為其今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)播種下希望之芽.

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[責(zé)任編輯：李璟]

作者簡(jiǎn)介：張麗（1988.3-），女，中小學(xué)一級(jí)教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.