在動手操作中感悟“轉化”思想

王媛媛

教學內容：

人教版《義務教育教科書·數學》五年級上冊第91～92頁。

教學目標：

1.掌握三角形的面積計算公式，能應用公式解決現實生活中的一些簡單問題。

2.經歷觀察、剪拼、討論交流、歸納總結等數學活動，進一步感受和理解轉化的數學思想。

3.在三角形面積計算公式的推導過程中，培養探索意識、操作能力、推理能力與合作精神，認識到數學來源于生活，通過弘揚數學文化增強民族自豪感。

教學重、難點：

重點：掌握三角形面積的計算公式。

難點：推導三角形面積計算公式的過程。

教學準備：

一條紅領巾，若干銳角、直角、鈍角三角形卡片。

教學過程：

一、創設情景，導入線索

提問：同學們，請看老師手里拿了什么？（展開一條紅領巾）

預設：紅領巾。

提問：沒錯，同學們對紅領巾肯定再熟悉不過了！因為每天來學校上課的時候都會佩戴紅領巾，那老師今天想問大家一個問題，如果要自己動手做一條紅領巾，該準備多少布料呢？

預設：大部分同學都在搖頭。

追問：可能這個問題難倒大家了，老師換個問題，紅領巾是什么形狀的呀？

預設：三角形。

師：咦，那是不是只要我們會計算三角形的面積，就可以知道做一條紅領巾該用多少布料了？這節課我們就一起來探討怎么計算三角形的面積。

（板書標題：三角形的面積）

【說明】導入素材的選取要立足于學生的學習起點和生活起點。本課一開始就從學生熟悉的紅領巾著手，教材上這一環節是直接以計算紅領巾面積作為導入，屬于從數學問題本身出發。通過改為探討做紅領巾該用多少布料這個實際生活問題再過渡到計算三角形的面積，更容易激發學生的好奇心和學習興趣，有利于貫徹落實“數學來源于生活”的理念，同時順理成章地揭開本課的學習內容。

二、動手操作，探索新知

1.回顧舊知，促進學習遷移

師：同學們，先來回顧下上次數學課我們學習的平行四邊形的面積公式是通過什么方法推導出來的呢，有哪位同學能來說一說？

預設：通過剪一剪、拼一拼，先將平行四邊形轉化成長方形后再得出它的面積公式的。

師：非常棒，那平行四邊形的面積公式是？

預設：底×高。

2.運用“倍拼法”和“割補法”，強化“轉化”數學思想

師：好，接下來請同學們從學具袋中拿出準備好的三角形卡片，同桌之間互相合作，試試看能不能也通過剪一剪、拼一拼的方式推導出三角形的面積呢？五分鐘時間，現在開始吧！

師：時間到，哪位同學能來匯報下你們組的研究成果呢？

預設1：發現兩個一樣的銳角三角形能拼成一個平行四邊形，其中三角形的面積剛好是這個平行四邊形面積的一半。

板書：

預設2：發現兩個一樣的直角三角形能拼成一個長方形，其中三角形的面積剛好是這個長方形面積的一半。

板書：

預設3：發現兩個一樣的鈍角三角形能拼成一個平行四邊形，其中三角形的面積剛好是這個平行四邊形面積的一半。

板書：

……

師：以上都是同學們通過觀察和拼圖的方式找到的發現，我們把這種方法叫做“倍拼法”。

（板書：倍拼法）

師：其他組還有沒有不一樣的想法呢？可以嘗試用“剪一剪”的方式。

提示：多數學生容易受其他發言同學的思維影響，直接關注“拼一拼”，不易想到先“剪一剪”，再“拼一拼”，此時可引導學生關注使用“割補法”。

預設4：把一個三角形沿高剪成兩個直角三角形，然后把剪出來的這兩部分拼在另一個完整的三角形的兩邊，可以轉化成長方形，發現三角形的面積剛好是這個長方形面積的一半。

板書：

師：我們把這種方法叫做“割補法”。

（板書：割補法）

3.歸納總結三角形的面積計算公式

師：同學們的探究能力都很強，無論是運用“倍拼法”還是“割補法”，都是先將三角形轉化成什么圖形后再找到發現的？

預設：先轉化成長方形、平行四邊形等。

師生總結：我們知道長方形屬于特殊的平行四邊形，所以可以直接說兩個完全一樣的三角形能拼成一個平行四邊形。因為平行四邊形的底相當于三角形的底，平行四邊形的高相當于三角形的高，所以可以推導出三角形的面積=______ ？如果用英文字母a和h分別表示三角形的底和高，s表示三角形的面積，則s=______ ？

（板書：三角形的面積=底×高÷2，s=ah÷2）

【說明】在正式探究三角形的面積公式前，先讓學生回顧平行四邊形的面積計算公式及其推導方法，目的是為學生搭好學習支架，進一步強化“轉化”的數學思想，引導學生進行學習遷移，為本節課推導三角形的面積計算公式做好鋪墊。然后讓同桌之間一起進行“剪一剪”、“拼一拼”等操作，貫徹落實了“小組合作學習”的理念，有利于培養學生的探究能力與合作精神。另外，人教版教材只給出了“倍拼法”來推導三角形的面積計算公式，設計中加了“割補法”，是基于比較了多個版本小學數學教材后給出的方案，目的是為了拓展學生的思維，滿足不同學生的學習需求。最后，盡量引導學生先自主總結文字式和字母式的面積公式，避免教師直接呈現答案，這樣不僅能檢驗教學效果，還能有效培養學生的歸納概括能力。

三、鞏固練習，拓展深化

1.及時鞏固新知，檢驗學習效果

師：我們現在已經清楚三角形的面積計算公式了，那回到這節課最開始的問題，假如老師手里這條紅領巾的底是110㎝，高是30㎝，請同學們動筆算一算，做這條紅領巾到底該準備多少布料呢？。

預設：s=ah÷2=110×30÷2=1650（cm2）

師：讓老師看看有多少同學做對了呢，看來大家已經能夠學以致用了！接下來，老師要來考考大家，請開動你們的小腦筋。這里有甲乙丙三個三角形，哪個三角形面積最大呢？并說明理由。

預設：一樣大，因為它們的底和高一樣，面積都是底×高÷2。

師：同學們可真聰明，看來已經能夠靈活地運用三角形的面積公式了。

2.完成教材上的“做一做”習題

學生先獨立思考完成，再討論交流。

3.借助“你知道嗎？”，弘揚數學文化，激發民族自豪感

師：同學們，你們知道嗎？早在兩千多年前，就有古人會計算三角形的面積計算公式了！請看書本上的閱讀材料，了解我國數學名著《九章算術》中對長方形和三角形的面積算法的記載，即“廣從步數相乘得積步”和“半廣以乘正從”。此外，著名數學家劉徽還有用“以盈補虛”的方法來說明三角形的面積算法。（展示課件）

師：同學們看完后都有什么感想呢？學習數學不能怕吃苦，要勤于思考，多動手操作。

【說明】在學生知道三角形的面積計算公式后，及時回到本節課一開始拋出的求一條紅領巾所用布料的問題，一方面是為了讓學生鞏固新知，做到學以致用;另一方面，是為了讓學生再次感受到數學是來源于現實生活的，體驗到數學問題得到解決后的喜悅之情。設計的第二道題目：判斷甲乙丙三個三角形的面積大小，一方面是在基礎題上的進一步拓展深化，檢驗學生對三角形面積計算公式的掌握程度;另一方面，該內容與《幾何原本》第一卷中的相關內容幾乎一致，可以借此隱性地滲透相關數學史。緊接著讓學生獨立做書本上的三道習題，可以再次檢驗全班整體學生的學習效果。最后借助書本上的“你知道嗎”進一步弘揚數學文化，人教版教材只介紹了《九章算術》里記載的三角形面積算法，教師還可以參考蘇教版教材中呈現的數學史料，即借助圖形對劉徽的“以盈補虛”法加以補充說明，以進一步地拓展學生的思維、陶冶情操、增強民族自豪感，對數學多一份思考。

四、課堂總結，布置作業

師：今天的新課內容就講到這里，同學們都有什么收獲呢？

預設1：掌握了三角形的面積公式。

預設2：知道了三角形的面積公式是怎么推導出來的。

師：同學們這節課的表現非常棒，課后還可以想一想除了我們這節課采用的“倍拼法”和“割補法”，還有沒有其它的方法來推導三角形的面積公式，下次數學課大家可以一起來分享交流。

【說明】最后設計讓學生說說這節課有什么收獲，不僅可以了解本節課的教學效果，還可以幫助學生再次鞏固知識點，同時可以鍛煉學生的數學語言表達能力。設計開放性的作業不容易禁錮學生的思維，讓學有余力的學生課下思考其它的推導方法，可培養學生的創新意識，提高探究能力。