初中數學外旋法解題技巧

鐘劍華

圖形的變換是新課標中“空間與圖形”領域的一個主要內容，體現運動變換的理念與思想，是教材中的一大亮點。旋轉，它是一種數學變換，經過旋轉變換后的圖形與原圖形是全等的，因此可以借助旋轉變換的方法幫助學生識別復雜圖形中的全等圖形，同時還可以利用旋轉變換將分散的條件集中，培養學生的空間概念，提升他們的幾何直觀、推理能力，增強他們的創新意識。

圖形的變換中，外旋轉是常用變換，外旋轉具有以下性質：一是對應點到旋轉中心的距離相等，即邊相等;二是應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角，即角相等;三是旋轉前、后的圖形全等。以這三個性質為突破口，巧用外旋法就能快速解決問題。

例1 如下圖，在正△ABC中，DC=3，DB=4，DA=5，求∠CDB。

分析：正三角形ABC中，AB=BC，∠ABC=60o，可以將三角形BDC旋轉60o，使BC旋轉到AB。

解：正三角形ABC中，AB=BC，可以將三角形BDC旋轉60o，得到三角形PBA。

連接PD，則PB=BD，∠PBD=60o，三角形PBD為正三角形，PD=BD=4，

∠BPD=60o，∵△PBA≌

△DBC，∠APB=∠BDC，

AP=CD=3，AD=5，滿足PD2+PA2=AD2，

∠APD=90o，∠APB=∠BPD+∠DPA=90o+60o=150o，

∠BDC=∠APB=150o.

例2? 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為三角形內一點，DC=2，DB=3，DA=1.求∠CDA。

分析：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，可將三角形ADC旋轉90o，使AC到BC。

解：在Rt△ABC中，

∠ACB=90°，AC=BC，可將三角形ADC旋轉90°，得到三角形BPC，∠DCP=90°，△DAC≌△PBC，

∴PC=DC=2，BP=AD=1，∠CDA=∠CPB.

∵△PCD是等腰直角三角形，

∵PD2=PC2+CD2=22+22=8，

∵BD=6，BD2=9，PD2=8，BP2=AD2=1，∴PD2+BP2=BD2，

∠DPB=90°，

∠CDA=∠CPB=∠CPD+∠DPB=90o+45o=135o.

例3 在平面直角坐標系中，已知點A（4，0），點B為y軸正半軸上一個動點，連接AB，以AB為一邊向下作等邊△ABC，連結OC，求OC的最小值。

解：如圖，以OA為對稱軸作等邊△ADE，連接EC并延長交x軸于點F.

AB=AC

在△AEC中，△ADB中，? ? ?∠BAD=∠CAE

AD=AE

∴△AEC≌△ADB（SAS）

∵∠AEC=∠ADB=120o，∵∠OEF=60o，∴OF=OA=4.

點C在直線EF上運動，當OC⊥EF時，OC最小，則OC最小值為2.

【點評：構造三角形ABD旋轉，使旋轉后AB與AC重合，AD=AE且旋轉角為60o，從而得到三角形ADE為等邊三角形】

例4 如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=4? 2，若BD⊥CD，垂足為點D，求對角線AC的長的最大值。

解：以BC為邊作等邊三角形BCE，過E點作EF⊥BC于點F，連接DE，∠ABD=∠CBE=60o，∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，即∠ABC=∠DBE.

AB=BD

在△ABC和△DBE，? ? ∠ABC=∠DBE，

BC=BE

∴△ABC≌△DBE.

DE=AC，在等邊三角形BEC中，BC=4 2，EF⊥BC

BF=? ? BC=2? 2，EF=? BE2-BF2=? BC2-BF2 （4? 2）

以BC為直徑坐圓F，D在圓F上，連接DF，

DF=? ? BC=2? 2，則DE≤DF+EF=2? 2+2? 6 .

則AC≤2? 2+2? 6，即AC最大值為2? 2+2? 6 .

【點評：將三角形ABC旋轉到DBE，E點位置使三角形BCE為等邊三角形】

在新課改環境下，初中數學教學中利用圖形旋轉可以改善傳統的教學模式，優化解題過程，能進一步提高學生解題能力。