基于分段高斯偽譜法的組合動力飛行器火箭掛飛軌跡規劃

曲文慧 張晗祺 吳了泥 尤延鋮 董一巍

廈門大學 航空航天學院，廈門 361102

0 引言

寬速域水平起降飛行器是未來航空航天領域的發展方向，其設計制造是目前研究的熱點問題。由于寬速域飛行器的速度需要從0至高馬赫數，跨度很大，其使用的動力系統就對飛行器的性能有著至關重要的影響。通過目前的研究，渦輪基組合循環(Turbine-based Combined Cycle, TBCC)發動機是實現寬速域飛行的關鍵技術之一。

在組合動力發動機的研制過程中，需要進行高空飛行試驗，驗證其穩定和控制特性，獲得地面試驗無法獲得的流動和氣動數據。但是受當前技術水平限制，無法使用渦噴發動機使中小型試驗飛行器直接從速度0加速至超音速。因此本文采用助推火箭將飛行器帶至所需馬赫數再進行分離的技術路線，不僅可以解決目前技術水平限制的問題，還可以通過這種方法使得飛行器達到所需的高度和速度，對飛行器進行高空高速試驗，具有研究意義和工程應用價值。

采用可回收式助推火箭帶飛后分離的方法涉及到兩套系統的一體化軌跡優化問題。其中較為重要的是分離點的選取，若分離點高度選取過低，則飛行器氣動阻力較大，同時，垂直發射的助推火箭在分離點仍有較大軌跡角，飛行器無法通過自身的機動快速拉平實現平飛，不利于試驗段的加速。若選取的分離點過高，雖然氣動阻力會減小，但是會造成渦噴發動機吸入氣流不夠，導致推力不足，甚至熄火等問題。同時該助推火箭和飛行器雙系統的軌跡優化問題還受到飛行器結構、引射火箭與發動機性能等多約束條件的限制。因此，研究一種適應多種約束條件，適應助推火箭和飛行器雙系統的軌跡優化方法，具有十分重要的意義。

軌跡優化問題是一個非線性的、受到各種約束的最優控制問題。求解最優控制問題目前大致分為間接法和直接法兩大類[1]。其中間接法是將最優控制問題轉換為Hamilton邊值問題，該方法求解復雜的非線性問題非常困難。而直接法是通過離散化方法將連續系統的最優控制問題轉化為非線性規劃問題，再通過數值方法求解[2]。直接法中通過離散控制變量和狀態變量的偽譜方法，由于在計算效率上的優勢，逐漸成為最優控制問題求解方法的研究熱點，同時在航空航天領域得到了廣泛的應用[3-5]。目前常見的偽譜方法包括Legendre偽譜法、Radau偽譜法和Gauss偽譜法。Fahroo等[6]從近似精度、收斂速度和計算效率等方面比較了3種偽譜方法。其結果表明Gauss偽譜法在狀態變量、控制變量和協調變量的近似精度以及收斂速度等方面優于Legendre偽譜法，且對協調變量邊界值的估計精度高于Radau偽譜法。同時，Gauss偽譜法在處理含初始和終端約束的問題上具有優勢[7]，因此本文選取Gauss偽譜法求解軌跡優化問題。

楊志紅等[8]研究了在一定高度、速度和軌跡角的初始條件下投放高超聲速飛行器，基于Gauss偽譜法以最末端軌跡角最小為性能指標進行的爬升端軌跡優化；楊希祥等[9]研究了基于Gauss偽譜法的多級固體運載火箭上升段的軌跡快速優化，并且提出了連接點的概念；王文虎[10]研究了基于Gauss偽譜法和向前拉道偽譜法的亞軌道飛行器返回軌跡快速優化，并比較了兩種偽譜法在處理復雜問題時的能力；劉超越等[11]研究了Gauss偽譜法在多階段二級助推戰術火箭軌跡規劃當中的應用。之前的研究，基本都是基于Gauss偽譜法針對單一系統的最優軌跡求解，而本文采用Gauss偽譜法，對兩個不同系統的分離問題進行求解，得到多條件約束下的最優軌跡。

本文以某型助推火箭和高超聲速飛行器雙系統為研究對象，飛行任務分為5段：火箭助推段、火箭帶飛段、姿態調整段、試驗段和無動力返回段，如圖1所示。

圖1 飛行任務剖面圖

每個階段的具體描述為：

階段1：火箭助推段。該階段飛行器與火箭組合，由地面垂直發射，利用火箭推力加速爬升至一定高度和馬赫數。

階段2：火箭帶飛段。該階段火箭燃料耗盡，推力消失，但飛行器仍未與火箭分離，作為組合體繼續爬高。

階段3：姿態調整段。該階段飛行器與火箭分離，飛行器在無動力的情況下調整姿態，以達到試驗窗口要求。

階段4：試驗段。該階段飛行器自身引射火箭工作，飛行器正加速，組合動力發動機點火，采集相關數據，完成試驗任務。

階段5：無動力返回段。該階段飛行器無動力返回至起飛點。

為簡化，火箭助推段軌跡已由經驗設計程序攻角，形成彈道方案，本文在此基礎上對火箭帶飛段、姿態調整段軌跡進行研究。

本文按照試驗段任務目標，結合引射火箭與無人機特性設計了試驗窗口，通過建立飛行器運動學模型、過程約束、邊界約束，利用分段式高斯偽譜法搭建軌跡優化模型，將助推火箭與高超聲速飛行器分離的軌跡規劃問題轉化為以末端高度最高、速度最大、軌跡平滑為性能指標函數的最優控制問題。利用控制變量法研究單項性能指標的權重系數對分離點的影響，多次對比后選取最佳權重系數，得到符合任務要求的分離軌跡，為飛行器與運載器分離軌跡規劃提供參考。

1 軌跡優化方法

1.1 高斯偽譜法

Gauss偽譜法的實質就是同時離散控制變量和狀態變量的直接法，也可以被稱作配點法或者被稱作直接配點非線性規劃DCNLP(Direct Collocation with Nonlinear Programming)。

Gauss偽譜法的解算步驟如下：將需要求解的最優控制問題的控制變量和狀態變量在一系列Legendre-Gauss(LG)點上進行離散；通過離散點為節點構造的Lagrange插值對控制變量和狀態變量進行逼近，通過全局插值多項式近似狀態變量的導數，從而將系統從微分方程約束轉化為代數方程約束。性能指標中的積分項由Gauss積分計算，終端狀態由初始狀態加上右函數在整個過程中的積分而得。最優控制問題因此轉化為非線性規劃問題而求解[12-13]。

1)一般非線性系統動力學方程

考慮一般形式的非線性系統動力學方程為：

(1)

式中：狀態變量x(t)∈Rn，控制變量u(t)∈Rm，時間t∈[t0,tf]。

2)時域變換

假設最優控制問題的時間區間為[t0,tf]，而Gauss偽譜法的時間區間為[-1,1]，因此對時間t進行變換：

(2)

3)全局插值多項式近似狀態變量與控制變量

(3)

(4)

(5)

4)動力學方程約束轉為代數約束

狀態變量的導數可以通過對式(3)求導而得，從而將動力學方程約束轉化為代數約束，再代入動力學方程可得狀態變量在配點處應滿足的代數方程：

(6)

5)邊界條件及過程約束

邊界條件約束滿足：

φ(X0,t0,Xf,tf)=0

(7)

過程約束滿足：

(8)

6)性能指標函數的近似

將最優控制問題的性能指標函數中的積分項用Gauss積分近似，得到：

J=Φ(X0,t0,Xf,tf)+

(9)

式(9)即為Gauss偽譜法中的性能指標函數。

根據上述的數學變換，Gauss偽譜法離散最優控制問題可以描述為：求離散狀態變量Xi、控制變量Uk和終端時刻tf，使得在滿足式(4)、式(6)～(8)的情況下，使得其性能指標函數J，即式(9)最小。從而將最優控制問題轉化為一般非線性規劃問題[14]。

1.2 分段高斯偽譜法

本文對火箭帶飛段、姿態調整段軌跡分別運用Gauss偽譜法進行規劃，通過在分段處設置連接點并加上一定的約束條件，對連接點進行約束[9,15]。

(10)

(11)

式中：k=1,2,…,K，p=1,2,…,N，Dki∈Rm為微分矩陣。

邊界條件約束：

(12)

過程約束：

(13)

同時，為保證各階段連接點的連續性，在連接點處應滿足如下條件：

(14)

則分段Gauss偽譜法即是在滿足式(10)-式(14)的情況下來對多段軌跡進行求解。

2 彈道優化模型

2.1 動力學模型

本文軌跡優化問題所采用的動力學模型如下：

(15)

式中：狀態量[Vxhθ]T為速度、射程、飛行高度、軌跡角，控制量α為迎角，狀態量與控制量對應2.1節中的狀態變量x(t)和控制變量u(t)。m為系統總質量，需要根據不同階段進行切換；g為重力加速度；L和D分別為升力、阻力：

(16)

式中：Sref為參考面積；升力系數CL和阻力系數CD由馬赫數和攻角決定，通過氣動參數表值得出；大氣密度ρ可通過國際標準大氣表查表得到。

2.2 約束條件和性能指標

考慮到試驗段引射火箭和發動機工作的苛刻條件以及飛行器在結構和熱防護的可靠性，飛行器需要滿足諸多過程約束以及終端約束。本文選取動壓、過載、迎角作為過程約束，末端高度、馬赫數、彈道傾角作為邊界條件約束[8]。結合第2章中式(7)～(9)及式(12)～(14)，在建模過程中需滿足以下條件：

2.2.1 過程約束

1)動壓約束：

為了滿足飛行器結構設計以及控制效率的要求，需要對動壓進行約束。

(17)

式中：q為動壓，ρ為大氣密度，V為飛行速度。

2)過載約束：

由于飛行器機體結構所能承受的過載有限，因此在全過程中對過載進行約束，其中nx為軸向過載，nz為法向過載。

nxmin≤nx≤nxmax
nzmin≤nz≤nzmax

(18)

3)迎角約束：

由于飛行器結構、引射火箭與發動機的限制，同時為了滿足控制飛行器控制能力要求，需約束迎角。

αmin≤α≤αmax

(19)

式中：α為飛行器迎角。

2.2.2 邊界條件約束

為了滿足試驗段引射火箭工作以及發動機點火的要求，需約束終端彈道傾角θf、高度hf及速度Vf。

θfmin≤θf≤θfmax

(20)

hfmin≤hf≤hfmax

(21)

Vfmin≤Vf≤Vfmax

(22)

2.2.3 性能指標

試驗段需要以引射火箭作為動力使飛行器正加速，應盡量減小試驗段阻力，選取末端高度最高為優化性能指標：

J1=-Hf

(23)

同時為了保證試驗段引射火箭點火，選取末端的速度最大為優化性能指標：

J2=-Vf

(24)

兼顧軌跡的平滑性，將彈道傾角角速率的平方進行積分作為性能指標：

(25)

最終的性能指標為式(23)～(25)的加權和[16]：

J=w1J1+w2J2+w3J3

(26)

式中：w1，w2和w3為權重系數，通過調節權系數，使軌跡在速度最優、高度最優以及軌跡平滑性之間權衡，以規劃出合理軌跡。

3 軌跡優化算例

基于某型高超聲速無人機及某型小型運載火箭，分析并設計試驗窗口并以此作為終端約束，利用Gauss偽譜法進行軌跡設計，并根據仿真結果，分析性能指標對分離點以及試驗段的影響。

3.1 試驗窗口

引射火箭點火的最低馬赫數為2.5，引射火箭推力為8000N，為實現飛機正推力的要求，對比了軌跡角分別為-10°、-5°、0°、5°、10°情況下飛機加速度為0的馬赫數-高度關系曲線，如圖2所示。

圖2 試驗窗口

各曲線右下方區域為加速度大于0的試驗窗口，當高度一定時，隨著軌跡角的增加，窗口最低馬赫數減小；馬赫數一定時，隨著軌跡角的增加，窗口最低高度增加。綜合考慮，設計試驗窗口為:

(27)

3.2 軌跡優化

利用分段高斯偽譜法對火箭帶飛段與姿態調整段進行設計，飛行器總重400kg，火箭與飛機總重1856kg。

軌跡初始條件與終端條件如表1：

表1 約束條件

其中，括號中數值[min,max]分別對應狀態量的上限與下限，無括號則表示狀態量數值確定。

控制約束選取-20°≤α≤20°；過載約束選取-3g≤nx≤g，-6g≤nz≤g；動壓約束選取20kPa≤q2≤100kPa。

性能指標按照2.2節中的式(26)選取，由于3種性能指標數值量級不同，首先將J1×10-3、J2×10-2、J3×103使得3種性能指標處于同一數量級，保證權系數的改變能對總性能指標產生明顯影響。利用控制變量法研究3種權系數對規劃軌跡的影響，選取參數1：w1=1,w2=1,w3=1；參數2：w1=1,w2=20,w3=1；參數3：w1=20,w2=1,w3=1三種參數進行仿真，仿真結果如圖3所示。考慮引射火箭推力8000N,以規劃結果的終端狀態作為試驗段初始狀態時所對應的初始加速度見表2。

表2 試驗段初始加速度

圖3 規劃結果

從圖3中的規劃結果可以看出，三種參數下規劃軌跡除迎角外各狀態量隨時間變化平緩，而迎角突變點即為分離點，由于此時飛行器與火箭分離，參考模型發生變化，發生突變是合理的。

當彈道傾角權重w3不變時，增大速度權重w2會使分離點提前，末端速度增加，末端高度減小，使得末端阻力增加，初始加速度大幅度減小，不利于試驗段加速；而增大高度權重w1會使分離點推遲，末端高度增加，但對末端速度影響較小，從而減小末端阻力，增大初始加速度，有利于試驗段加速。

此方法能夠按照飛行任務剖面設計軌跡，最大程度發揮飛行器與運載火箭的性能，同時可以通過改變約束條件與性能指標權重，更為精細地調整彈道。

經過多次對比后選取w1=1,w2=25,w3=1進行規劃，并將結果與火箭助推段、試驗窗口段、無動力返回段結合，最終飛行任務剖面如圖4所示。

圖4 飛行任務剖面

整個任務剖面與圖1一致，飛行器與助推火箭結合，垂直發射，加速爬升至馬赫數3.37、高度15.2km、軌跡角27.6°；之后助推火箭燃料耗盡，組合體減速爬升至馬赫數2.6、高度18.17km；飛行器與助推火箭分離，飛行器拉平，緩慢減速爬升至馬赫數2.54，高度18.2km，達到試驗窗口；引射火箭點火，在12 s的工作時間內平飛加速至Ma2.7，整個軌跡狀態量變化平緩，符合任務要求。

4 結論

1)選取末端高度最高、速度最大、軌跡平滑作為單項性能指標，以其加權和作為總性能指標，改變單項性能指標權重系數能夠改變分離點，以得到最優軌跡。經過多次對比后選取高度、速度和彈道傾角權重系數分別為w1=1,w2=25,w3=1進行規劃；

2)仿真結果表明，通過該方法得到的彈道狀態變量變化平緩，可得到飛行器馬赫數2.54，高度18.2km的試驗窗口，符合引射火箭點火要求。引射火箭點火后工作12s，飛行器加速至Ma2.7。滿足約束條件，可以為飛行器與運載器分離軌跡規劃提供參考。