基于SVD與最小化互相干系數的測量矩陣優化方法

張瑞，孟晨，王成，王強

（陸軍工程大學石家莊校區，河北石家莊，050003）

0 引言

壓縮感知[1]（compressive sensing，CS）的理論是由Donoho等人在2006年提出的。壓縮傳感的主要思想是將信號采樣和信號壓縮結合起來，前提是原始信號是稀疏的或可以被稀疏地表示。壓縮采樣通過減少信號尺寸來完成壓縮，而不需要奈奎斯特采樣的中間階段。通過相應的信號重建算法，用比奈奎斯特采樣更少的采樣數直接重建原始信號，從而節省了傳輸和存儲成本，降低了計算復雜性和能耗。由于壓縮感知可以用比Nyquist要求更低的頻率對信號進行采樣，壓縮感知提高了信號的可壓縮性和可恢復性。這些特性使得CS在信號處理的許多領域有廣泛的應用。一些典型的基于CS的應用包括單像素成像[2]，圖像和視頻的恢復[3]，無線圖像傳感器網絡[4]，以及一些生物醫學信號處理領域，如核磁共振成像[5]（MRI）和心電圖（ECG）信號處理[6]。

原始信號的稀疏表示、測量矩陣的設計和信號重構算法是CS理論的三個主要部分。壓縮感知過程如圖1所示。

圖1 壓縮感知過程

測量矩陣作為CS理論的關鍵研究內容之一，它的設計與選擇將直接影響到信號壓縮感知的效果。

基于此，本文在壓縮理論的框架下，針對現有測量矩陣提出了一種新的優化方法，進一步提升信號壓縮測量的性能。本文首先利用奇異值分解，優化初始測量矩陣的非零奇異值，然后借鑒了最小化互相干系數的思想，對得到的測量矩陣進行了進一步的優化。

1 測量矩陣設計

從以上對CS的理論介紹可以看出，測量矩陣的性能直接影響信號重構的結果，而測量矩陣是信號稀疏和信號重構之間的重要中間環節。Candès為壓縮感知理論做出了開創性的工作。文獻[7]證明了測量矩陣和正交稀疏基是盡可能不相干(正交)的，測量矩陣將有較大的概率具有更好的性能。

一般來說，稀疏基 是已知的且固定的，所以通過設計和優化測量矩陣，可以盡可能地減少測量矩陣和稀疏基之間的相干性。另外，直觀的理解是，如果Φ和Ψ是不一致的或不相關的，從原始信號采樣將包含更多的新信息，因此，測量矩陣的性能主要取決于測量矩陣和稀疏基矩陣之間的互相關性。

根據相關的數學理論，測量矩陣與稀疏矩陣之間的不相干性可以間接轉化為Gram矩陣盡可能接近單位矩陣的問題。Gram矩陣定義如下:

非相干性表示測量矩陣與稀疏矩陣之間的正交性質。根據Gram矩陣的定義，最小化Φ和Ψ之間的互相干性，相當于最小化相應的Gram矩陣中的非對角元素的絕對值，使Gram矩陣盡可能接近單位矩陣。Gram矩陣越接近單位矩陣，Φ與Ψ之間的相互相干越小。因此，構造更好的測量矩陣相當于解決以下優化問題:

其中I是N×N維的單位陣。因此，最小化式（2）可以有效地減小互相關性。

2 基于SVD與最小化互相關系數的測量矩陣優化方法

文獻[8]指出，測量矩陣的列向量應具有良好的線性非相關性，這與測量矩陣的最小奇異值密切相關。矩陣的最小奇異值越小，矩陣的線性相關性就越大，即其獨立性越弱。因此，應該增大矩陣的奇異值來提高測量矩陣各列向量之間獨立性。

2.1 測量矩陣優化設計

奇異值分解（Singular Value Decomposition）是線性代數中一種重要的矩陣分解，奇異值分解是特征分解在任意矩陣上的推廣。在信號處理、統計學等領域有重要應用。

本文首先對初始測量矩陣 Φ∈ RM×N(M ＜ N)進行奇異值分解，得到：

其中D是M×N 維的半正定矩陣，U和V分別為M×M、N×N 維的酉矩陣。

然后利用Σ'，構造新的測量矩陣Φ1為，

測量矩陣Φ1的奇異值得到增大，矩陣各列之間的獨立性得到了提高。

考慮到Φ1仍有進一步優化的空間，本文借鑒最小化互相干系數思想對Φ1進一步優化，得到更好的測量矩陣。

降低列向量之間的互相干系數就可以轉換成最小化Gram矩陣的非對角元素。其中互相干系數存在著一個下界（Welch界）[9]，讓測量矩陣與稀疏基矩陣的互相干系數逼近Welch界，可以保證測量矩陣具有更好的壓縮觀測性能。Welch界定義如下：

定義優化的目標函數為：

其中Gideal為重新定義的目標矩陣，滿足的條件如下：

通過最小化目標函數，最后得到最優的測量矩陣Φ'。

2.2 算法實現步驟

本文提出的優化測量矩陣的算法（SVD-MCM）步驟如下：

本文算法（SVD-MCM）輸入：測量矩陣Φ，稀疏基Ψ；輸出：優化后的測量矩陣Φ';Step 1 對Φ進行奇異值分解，Φ=UD VT Step 2 對奇異值進行優化處理，構造新的測量矩陣Φ1 Step 3矩陣；Step 4 利用式（15）更新目標矩陣G Θ= Φ Ψ 1列歸一化后得到^Θ，計算Φ1的Gram ideal Step 5 據式（14）目標函數，迭代優化Step 6 判斷是否滿足迭代終止條件，滿足則進入Step 7則,返回Step 4 Step 7利用式（11），輸出化后的測量矩陣Φ'。

3 仿真實驗與分析

本實驗在Matlab平臺對算法進行數值仿真實驗，根據壓縮感知理論，高斯隨機矩陣與伯努利隨機矩陣具有較好的隨機性，可以以較高的概率滿足RIP條件，本文以這兩種測量矩陣為對象，研究SVD-MCM算法對測量矩陣的優化效果。

第一組實驗是壓縮感知重構實驗，用于比較SVD-MCM算法對信號壓縮感知重構效果的影響。仿真信號選用時域稀疏信號，測量矩陣選擇高斯隨機矩陣，此時稀疏基為標準正交基。參數設置如下，信號長度N=256，信號稀疏度K=40，測量數目M=128。重構算法采用常用的正交匹配追蹤（OMP）算法，為進一步評價重構效果，引入衡量重構性能的指標均方誤差 MSE（mean square distortion）：

采用本文算法優化的高斯隨機矩陣（Gauss+SVD-MCM）、未經優化的原始高斯隨機矩陣（Gauss+Origin）兩種測量矩陣重構效果圖如圖2所示。

圖2 重構效果：(a)Gauss+Origin;(b)Gauss+SVD-MCM。

從重構效果圖可以看出，觀測數目M=128時，兩種測量矩陣均實現了對原信號的有效重構。對比均方誤差來看，經本文算法優化后的測量矩陣，重構誤差明顯低于未優化的高斯隨機矩陣。

實驗二，設定不同的稀疏度K，比較測量矩陣對稀疏度不同的稀疏信號的重構效果。稀疏度K從10變化到80，變化步長為5。六種測量矩陣分別為原始高斯隨機矩陣（Gauss+Origin）、經奇異值分解優化的高斯隨機矩陣（Gauss+SVD）、經本文算法優化的高斯隨機矩陣（Gauss+SVDMCM）、原始伯努利隨機矩陣（Berno+Origin）、經奇異值分解優化的伯努利隨機矩陣（Berno+SVD）、經本文算法優化的伯努利隨機矩陣(Berno+SVD-MCM)。

當均方誤差小于10-4時，則認為信號重構成功；否則，失敗。統計200次蒙特卡洛實驗的重構概率。

圖3 為六種測量矩陣信號重構均方誤差隨信號稀疏度的變化關系，可以看出在其他條件不變的情況下，隨著信號稀疏度的增加，信號的重構誤差會增大。同時實驗結果表明，高斯隨機矩陣的性能要優于伯努利隨機矩陣的性能。經本文算法優化后的測量矩陣性能優于奇異值分解優化方法，與原始測量矩陣相比，重構精度得到提高，重構性能明顯提升。

圖3 重構均方誤差隨信號稀疏度的變化關系

圖4 為六種測量矩陣重構成功概率隨信號稀疏度的變化關系。可以看出，隨著信號稀疏度的增加信號的稀疏性變差，重構概率降低，經本文算法優化的測量矩陣在稀疏性較差時也可以獲得較高的重構成功概率，重構性能得到了顯著的改善。

圖4 重構成功概率隨信號稀疏度的變化關系

4 結論

本文在壓縮感知理論框架下對已有的壓縮感知測量矩陣優化算法進行進一步的優化，提出了一種基于奇異值分解與互相干系數最小化相結合的優化方法，保證了測量矩陣在優化后具有良好的獨立性，以及與稀疏基矩陣的不相干性。實驗結果驗證了算法的有效性，本文算法優化后的測量矩陣性能得到了明顯的改善，重構誤差得到有效降低，重構成功概率得到顯著提高。