“射線(xiàn)和直線(xiàn)”教學(xué)中由學(xué)生的質(zhì)疑引發(fā)的思考

江蘇省南京市江寧區(qū)秣陵中心小學(xué) 李柱俊

一、質(zhì)疑：直線(xiàn)是怎么來(lái)的

射線(xiàn)和直線(xiàn)因生活中本無(wú)原型，作為抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，無(wú)疑在認(rèn)識(shí)上是有難度的，這部分內(nèi)容的教學(xué)對(duì)于教師來(lái)說(shuō)也不失為一大挑戰(zhàn)。筆者近日聆聽(tīng)了“射線(xiàn)、直線(xiàn)和角”一課，對(duì)教學(xué)片段中學(xué)生的質(zhì)疑產(chǎn)生了一點(diǎn)思考。

教學(xué)時(shí)，教師借助激光燈展開(kāi)教學(xué)，把激光燈照射到墻面上，會(huì)在墻面上留下一個(gè)光點(diǎn)，教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到從激光燈的發(fā)光點(diǎn)到墻面上留下的光點(diǎn)，這中間的光線(xiàn)可以看成是線(xiàn)段，并在此基礎(chǔ)上引出射線(xiàn)、直線(xiàn)。以下是由射線(xiàn)引出直線(xiàn)教學(xué)環(huán)節(jié)中的師生對(duì)話(huà)：

師：瞧，這是一條射線(xiàn)，仔細(xì)觀察（動(dòng)態(tài)演示），這條射線(xiàn)有什么變化嗎？這還是射線(xiàn)嗎？（如圖1）

生：不是，沒(méi)有端點(diǎn)。

師：不符合射線(xiàn)的特點(diǎn)。像這樣的線(xiàn)，數(shù)學(xué)上把它稱(chēng)為直線(xiàn)，通過(guò)你的觀察，你能說(shuō)說(shuō)直線(xiàn)又有怎樣的特征嗎？

生1：直的，無(wú)限長(zhǎng)，沒(méi)有端點(diǎn)。

生2：我有個(gè)疑問(wèn)，沒(méi)有端點(diǎn)的話(huà)，直線(xiàn)是怎么來(lái)的？

師：針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，誰(shuí)來(lái)談?wù)勀愕目捶ǎ?/p>

生3：我覺(jué)得直線(xiàn)應(yīng)該是由一點(diǎn)出發(fā)，向兩端無(wú)限延伸。

師：你們同意他的說(shuō)法嗎？

生（齊）：同意。

（聽(tīng)得出這里大多學(xué)生是被同意）

師：你們可以想象一下直線(xiàn)的形成過(guò)程。

……

二、反思：端點(diǎn)引發(fā)的誤解

我們常聽(tīng)到這樣的口號(hào)——讀懂學(xué)生，讀懂教材，讀懂課程。為什么把“讀懂學(xué)生”放在“讀懂教材”和“讀懂課程”之前？說(shuō)明“讀懂學(xué)生”是基礎(chǔ)，是關(guān)鍵。只有讀懂學(xué)生，才能夠了解學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，才可能生成動(dòng)態(tài)、生動(dòng)的課堂。基于對(duì)這一觀點(diǎn)的認(rèn)同，對(duì)上述案例中出現(xiàn)的學(xué)生質(zhì)疑，我們有必要追因索果，真正實(shí)現(xiàn)由“讀到”走向“讀懂”。

1.學(xué)習(xí)材料對(duì)概念的認(rèn)知產(chǎn)生負(fù)遷移

教師在教學(xué)射線(xiàn)時(shí)，利用激光燈這一素材，引導(dǎo)學(xué)生想象在能源充足且無(wú)遮擋的情況下，由激光燈射出的直的光線(xiàn)，可以看作是一條射線(xiàn)，進(jìn)而抽象出數(shù)學(xué)上的射線(xiàn)。然后，通過(guò)把數(shù)學(xué)化的射線(xiàn)另一端無(wú)限延長(zhǎng)，就得到了一條直線(xiàn)。學(xué)生在沒(méi)有脫離射線(xiàn)的具體實(shí)例的情況下，很容易產(chǎn)生沒(méi)有激光燈的發(fā)光點(diǎn)，如何會(huì)產(chǎn)生出一條直線(xiàn)的光線(xiàn)的困惑。生2所說(shuō)的“端點(diǎn)”有可能指的就是激光燈的發(fā)光點(diǎn)。

2.對(duì)端點(diǎn)和線(xiàn)上的點(diǎn)的含義理解不清

“沒(méi)有端點(diǎn)的話(huà)，直線(xiàn)是怎么來(lái)的”，乍看起來(lái)，生2的質(zhì)疑和教師的問(wèn)題是不同的指向。教師的問(wèn)題指向的是直線(xiàn)的構(gòu)建要素，而學(xué)生的質(zhì)疑指向的是直線(xiàn)是如何得到的，一個(gè)指向“是什么”，一個(gè)指向“為什么”。但聯(lián)系生3的回答：“直線(xiàn)應(yīng)該是由一點(diǎn)出發(fā)，向兩端無(wú)限延伸。”筆者認(rèn)為，生2的疑問(wèn)也暴露出學(xué)生對(duì)端點(diǎn)和線(xiàn)上的點(diǎn)含義理解上的不清。為何端點(diǎn)會(huì)惹出這個(gè)“禍”，我們有必要先來(lái)弄清何謂“端點(diǎn)”？端，從字面上來(lái)理解指的是（東西的）頭。對(duì)于“端點(diǎn)”我們可以這樣解釋?zhuān)骸翱臻g中一點(diǎn)沿著一定方向和它相反方向運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是直線(xiàn)。直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)間的部分叫作線(xiàn)段，這兩點(diǎn)叫作線(xiàn)段的端點(diǎn)?！痹趯W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，第一次認(rèn)識(shí)端點(diǎn)，就是在認(rèn)識(shí)線(xiàn)段的時(shí)候。用手捏住一條線(xiàn)并拉直，兩手間的一段可以看成線(xiàn)段，捏住的兩頭畫(huà)下來(lái)可以用點(diǎn)表示，這兩個(gè)點(diǎn)在線(xiàn)段中叫作端點(diǎn)。教學(xué)時(shí)，教師讓學(xué)生指認(rèn)捏住的線(xiàn)段時(shí)，也是引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“從一頭開(kāi)始到另一頭結(jié)束”的句式來(lái)描述的，那么出發(fā)的地方和結(jié)束的地方就是端點(diǎn)，端點(diǎn)表示起點(diǎn)和終點(diǎn)。端點(diǎn)是學(xué)生認(rèn)識(shí)的第一個(gè)點(diǎn)。學(xué)生在初次學(xué)習(xí)端點(diǎn)時(shí)也只是將“兩個(gè)頭”抽象為兩個(gè)端點(diǎn)，并沒(méi)有展開(kāi)點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)的學(xué)習(xí)，學(xué)生也不曾感知線(xiàn)是由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的。也就是說(shuō)，學(xué)生對(duì)點(diǎn)的感知是單一的、不完整的，易形成認(rèn)知的局限——線(xiàn)段上有兩個(gè)點(diǎn)，叫作端點(diǎn)，其他地方是沒(méi)有點(diǎn)的。生2的質(zhì)疑也證實(shí)了他們對(duì)點(diǎn)認(rèn)識(shí)的局限。當(dāng)然，不容置疑的是學(xué)生對(duì)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)也是有水平差異的，生3的回答就證實(shí)了這一點(diǎn)。所以說(shuō)，表面上看是“端點(diǎn)”惹的“禍”，實(shí)則是學(xué)生對(duì)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)不夠造成的。學(xué)生對(duì)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)沒(méi)有形成足夠的經(jīng)驗(yàn)，拉長(zhǎng)了后面學(xué)習(xí)的跨度，增加了后面學(xué)習(xí)的難度。由于多數(shù)教材中沒(méi)有編排對(duì)點(diǎn)的專(zhuān)門(mén)學(xué)習(xí)，相對(duì)于線(xiàn)，學(xué)生很少有機(jī)會(huì)接觸到點(diǎn)。那么在教學(xué)中，教師該在何時(shí)引領(lǐng)學(xué)生對(duì)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)？又應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生對(duì)點(diǎn)達(dá)成何種程度的認(rèn)識(shí)呢？

三、教學(xué)建議：實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)名詞的教學(xué)價(jià)值

教師首先要弄清楚學(xué)生對(duì)點(diǎn)的感知和經(jīng)驗(yàn)的積累應(yīng)該在何時(shí)發(fā)生？逆向倒推學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，筆者發(fā)現(xiàn)在二年級(jí)初步認(rèn)識(shí)線(xiàn)段時(shí)，學(xué)生認(rèn)識(shí)到“拉緊的一段線(xiàn)，可以看作一條線(xiàn)段”，這是借助生活原型加以描述，屬于靜態(tài)的概念表現(xiàn)形式，這時(shí)的概念呈現(xiàn)形式不便于認(rèn)識(shí)點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)。而到四年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)“射線(xiàn)和直線(xiàn)”時(shí)，在認(rèn)識(shí)射線(xiàn)之前，首先是回顧對(duì)線(xiàn)段的認(rèn)識(shí)，此時(shí)對(duì)線(xiàn)段的認(rèn)識(shí)應(yīng)該比二年級(jí)時(shí)要更深一層，材料的呈現(xiàn)應(yīng)該加強(qiáng)動(dòng)態(tài)化處理：將線(xiàn)段置于動(dòng)態(tài)的概念過(guò)程中，賦予端點(diǎn)“起點(diǎn)”“終點(diǎn)”的含義。這里對(duì)線(xiàn)段的認(rèn)識(shí)從靜態(tài)可視的材料走向動(dòng)態(tài)想象的材料，豐富了對(duì)線(xiàn)段概念的內(nèi)容認(rèn)知，實(shí)現(xiàn)了對(duì)線(xiàn)段概念分階段教學(xué)的學(xué)習(xí)進(jìn)階。這一階段的學(xué)習(xí)中，學(xué)生感知到線(xiàn)段上不僅有端點(diǎn)還有許多其他的點(diǎn)，而端點(diǎn)表示的是開(kāi)始和結(jié)束的位置，然后借由線(xiàn)段發(fā)生、推理出射線(xiàn)。在射線(xiàn)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)是最適切的時(shí)機(jī)，也是認(rèn)識(shí)最豐富的時(shí)候。在這一階段對(duì)于點(diǎn)的認(rèn)識(shí)應(yīng)該要形成三點(diǎn)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：（1）線(xiàn)上有許多點(diǎn)；（2）端點(diǎn)、線(xiàn)上的點(diǎn)含義不同；（3）線(xiàn)段中的一個(gè)端點(diǎn)延伸后變換為射線(xiàn)上的點(diǎn)。在圖2中，左邊的點(diǎn)表示起點(diǎn)，右邊的點(diǎn)表示經(jīng)過(guò)的地方，這個(gè)時(shí)候原本線(xiàn)段右邊的點(diǎn)已經(jīng)演變成射線(xiàn)上的點(diǎn)了，所以畫(huà)射線(xiàn)的時(shí)候也無(wú)須畫(huà)出右邊的這一點(diǎn)。應(yīng)該說(shuō)，學(xué)生只有明確了端點(diǎn)、射線(xiàn)上的點(diǎn)的含義，才能真正理解射線(xiàn)的本質(zhì)。學(xué)生對(duì)射線(xiàn)的本質(zhì)真正理解之后，自然也不會(huì)出現(xiàn)教學(xué)片段中生2的那番質(zhì)疑。

圖2

對(duì)于直線(xiàn)的教學(xué)，上述案例是以射線(xiàn)為落實(shí)直線(xiàn)發(fā)生式定義、特征學(xué)習(xí)的著力點(diǎn)。那么，直線(xiàn)的教學(xué)以怎樣的打開(kāi)方式更合適呢？我們來(lái)看蘇教版教材的教師用書(shū)對(duì)直線(xiàn)給出的描述性定義：“把線(xiàn)段的兩端都無(wú)限延長(zhǎng)，就得到一條直線(xiàn)。當(dāng)線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)之間的間距小到極限時(shí)，最終就會(huì)形成一個(gè)點(diǎn)。”這樣的描述與學(xué)生3的認(rèn)識(shí)（直線(xiàn)應(yīng)該是由一點(diǎn)出發(fā)，像兩端無(wú)限延伸）具有一致性。所以，筆者以為對(duì)于直線(xiàn)的教學(xué)，仍應(yīng)以線(xiàn)段為著力點(diǎn)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷直線(xiàn)的發(fā)生、抽象推理過(guò)程。這不僅符合學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，也符合學(xué)生的思維特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，更有利于后面對(duì)直線(xiàn)與線(xiàn)段、射線(xiàn)的內(nèi)部聯(lián)系的加強(qiáng)，有效關(guān)聯(lián)三種線(xiàn)之間的邏輯關(guān)系，實(shí)現(xiàn)對(duì)線(xiàn)概念體系的學(xué)習(xí)進(jìn)階。