基于反席卷法的高超聲速飛行器最優(yōu)制導(dǎo)律

林 靈，郭曉林

(1. 中國民用航空飛行學(xué)院，四川 廣漢 618307；2. 中國民用航空西南地區(qū)空中交通管理局重慶分局，重慶 401120；)

1 引言

再入飛行器的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)通常可分為標(biāo)稱軌跡制導(dǎo)[1-4]和預(yù)測校正制導(dǎo)[5-10]。預(yù)測校正制導(dǎo)是根據(jù)實(shí)際軌道的預(yù)報(bào)落點(diǎn)與預(yù)定落點(diǎn)之間的偏差值對控制量進(jìn)行校正。標(biāo)稱軌跡制導(dǎo)是設(shè)計(jì)反饋控制律消除擾動(dòng)，使再入飛行器始終沿著基準(zhǔn)軌跡飛行。兩種設(shè)計(jì)方法各有利弊，自適應(yīng)方法可以適應(yīng)飛行過程中由于故障或任務(wù)改變而進(jìn)行的軌跡調(diào)整，但由于在每一個(gè)制導(dǎo)周期內(nèi)都對飛行軌跡進(jìn)行重新規(guī)劃，計(jì)算量較大，因而對再入飛行器的在線計(jì)算能力和信息存儲容量要求較高[11]。標(biāo)稱軌跡制導(dǎo)主要包括離線標(biāo)稱軌跡規(guī)劃與在線軌跡跟蹤兩部分，在最優(yōu)軌跡確定以后，通過設(shè)計(jì)反饋控制律消除跟蹤偏差可以實(shí)現(xiàn)高精度制導(dǎo)，且計(jì)算量小，工程上易于實(shí)現(xiàn)。

本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律基于標(biāo)稱制導(dǎo)體制，傳統(tǒng)的標(biāo)稱制導(dǎo)律通常是使實(shí)際狀態(tài)量盡快的接近標(biāo)稱狀態(tài)量，而沒有考慮為了消除擾動(dòng)所形成的實(shí)際修正軌跡的最優(yōu)性。本文在設(shè)計(jì)反饋控制律時(shí)，考慮到擾動(dòng)所形成的偏差偏離原最優(yōu)標(biāo)稱軌跡的范圍并不大，因而引入了鄰域最優(yōu)控制理論，從而保證修正軌跡的最優(yōu)性。在計(jì)算反饋控制量時(shí)，基于標(biāo)稱軌跡的數(shù)據(jù)，采用反席卷法[12]建立終端席卷變量的微分方程，逆向進(jìn)行積分計(jì)算，因此求解最優(yōu)反饋修正量的過程中并沒有進(jìn)行迭代計(jì)算，提高了計(jì)算效率，保證了算法的在線實(shí)施。

2 再入制導(dǎo)標(biāo)稱軌跡

2.1 再入運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型

不考慮地球自轉(zhuǎn)帶來的影響，無動(dòng)力高超聲速再入飛行器的運(yùn)動(dòng)模型如下。狀態(tài)量為x=(r，φ，θ，v，γ，χ)，r表示飛行器與地心的距離；φ，θ分別表示經(jīng)度與緯度；v表示速度、γ與χ分別表示航跡傾角、航跡偏角；控制量為u=[a，β]，a，β分別表示攻角和傾側(cè)角。

(1)

式中，m表示飛行器質(zhì)量，g表示重力加速度，L，D分別表示升力和阻力

(2)

式中，ρ為大氣密度，S為參考面積，CL，CD分別表示升力系數(shù)與阻力系數(shù)，其表達(dá)式如下，具體參數(shù)參考文獻(xiàn)[13]

(3)

2.2 軌跡優(yōu)化模型

軌跡優(yōu)化即求解控制量u=[a，β]使目標(biāo)函數(shù)最小(或最大)，并且滿足狀態(tài)微分方程及一系列終端及過程約束條件。為了再入飛行器的橫向機(jī)動(dòng)最大，通常區(qū)精度最大為性能指標(biāo)

J=Φ(x(tf)，tf)=-θf

(4)

再入飛行過程中需要嚴(yán)格滿足動(dòng)壓、過載及熱流密度及控制量約束

q=0.5ρv2≤qmax

(5)

(6)

(7)

umin≤u≤umax

(8)

在終端時(shí)刻需要滿足位置、速度和角度等約束條件

(9)

針對以上的再入軌跡優(yōu)化模型，先采用偽譜法將其轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題，再采用非線性規(guī)劃求解器SNOPT[14]等進(jìn)行求解。具體參數(shù)設(shè)置參考文獻(xiàn)[13]，仿真結(jié)果如圖1至圖3所示。

圖1 標(biāo)稱軌跡

圖2 標(biāo)稱控制量

圖3 過程約束

3 基于反席卷法的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

由于建模誤差及外界隨機(jī)干擾，通常會(huì)造成飛行器的實(shí)際軌跡偏離標(biāo)稱軌跡，為了解決此問題，可以在線重新規(guī)劃軌跡，但這種方法計(jì)算量大，工程上難以實(shí)現(xiàn)。本節(jié)考慮采用最優(yōu)控制中的相關(guān)理論與反席卷法，通過最優(yōu)控制理論得到協(xié)態(tài)量與終端偏差的微分方程后，引入席卷變量，推導(dǎo)席卷變量的微分方程及終端條件，進(jìn)行逆向席卷，然后借助標(biāo)稱軌跡數(shù)據(jù)求得席卷變量，進(jìn)而根據(jù)最優(yōu)控制中的相關(guān)推導(dǎo)，求解跟蹤控制律，得到最優(yōu)修正軌跡。

(10)

根據(jù)極小值原理，可得正則方程與耦合方程如下

(11)

(12)

式中，哈密頓函數(shù)為

H(x，u，λ，t)=λTf(x，u，t)

(13)

考慮到終端狀態(tài)受約束，則邊界約束條件為

x(t0)=x0

(14)

ψ[x(tf)，tf]=0

(15)

(16)

考慮飛行器實(shí)際飛行軌跡與標(biāo)稱軌跡的初始偏差δx(t)，初始偏差會(huì)產(chǎn)生狀態(tài)量、協(xié)態(tài)量及控制量與最優(yōu)參考軌跡的偏差，分別為δx、δλ和δu，對式(11)-(15)進(jìn)行二階變分，可得

(17)

(18)

當(dāng)矩陣Huu為非奇異矩陣時(shí)，可得

(19)

式中

(20)

結(jié)合式(15)-(16)，引入席卷變量S，R和Q將δλ和δψ表示成關(guān)于拉格朗日乘子偏差dv和狀態(tài)量偏差δx的線性關(guān)系

δλ(t)=S(t)δx(t)+R(t)dv

(21)

δψ=RT(t)δx(t)+Q(t)dv

(22)

對式(21)-(22)等號兩邊進(jìn)行求導(dǎo)，考慮常量矩陣δψ和dv一階導(dǎo)為零，可得

(23)

(24)

聯(lián)立式(17)與式(22)-(23)，可以得到關(guān)于S，R和Q微分方程

(25)

(26)

(27)

式(25)-(27)的終端約束條件應(yīng)與式(18)相一致，所以可以得到如下的表達(dá)式

(28)

R(tf)=[ψx]tf

(29)

Q(tf)=0

(30)

根據(jù)微分方程(25)-(27)及其終端條件逆向進(jìn)行積分，再聯(lián)立式(22)，可以得到

dv=Q-1(t0)(δψ-RT(t0)δx(t0))

(31)

將式(31)代入式(21)中，可以得到協(xié)態(tài)量偏差的初始值

δλ(t0)=[(S-RQ-1RT)δX+RQ-1δψ]t0

(32)

由式(32)可以求出初始協(xié)態(tài)量偏差，結(jié)合初始狀態(tài)量偏差，將兩者代入式(19)中，即可得到任意時(shí)刻相應(yīng)的最優(yōu)狀態(tài)修正量及最優(yōu)控制修正量，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了閉環(huán)的標(biāo)稱制導(dǎo)。本文所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的流程框圖如圖4所示。

圖4 最優(yōu)制導(dǎo)律

4 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)算法的有效性，將表1中的初始擾動(dòng)分別作為正值和負(fù)值加入制導(dǎo)回路中：

表1 初始擾動(dòng)

為了便于比較，令Case 1和Case 2分別表示正值擾動(dòng)和負(fù)值擾動(dòng)，仿真所用的計(jì)算機(jī)配置為聯(lián)想CPU 2.5GHz Intel Core i5處理器，仿真軟件為MATLAB? R2014a。飛行器狀態(tài)量偏差變化曲線如圖5所示。過程約束的變化曲線如圖6所示，圖中Max表示約束上限。

由圖5可知，在初始擾動(dòng)存在的條件下，采用本文設(shè)計(jì)的反饋控制律所形成的閉環(huán)制導(dǎo)律，跟蹤誤差沿整條軌跡都不大，且最終收斂，驗(yàn)證了制導(dǎo)算法的有效性。由圖6可知，采用本文方法得到的修正軌跡仍然滿足熱流、動(dòng)壓和過載等過程約束，因此保證了制導(dǎo)律的可實(shí)現(xiàn)性。

圖5 狀態(tài)量偏差

圖6 過程約束

圖7 軌跡對比

本文在設(shè)計(jì)反饋控制律時(shí)，考慮了消除擾動(dòng)所形成的實(shí)際修正軌跡的最優(yōu)性，為了驗(yàn)證這一優(yōu)勢，將采用本文制導(dǎo)算法所得到的修正軌跡與偽譜法重新優(yōu)化所得到的軌跡進(jìn)行了對比，由圖7可知，兩條軌跡基本重合，驗(yàn)證了本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)算法的最優(yōu)性。表2給出了本文方法與基于偽譜法重新優(yōu)化的制導(dǎo)策略的消耗時(shí)間對比，由表2可知，本文方法的計(jì)算效率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于重新優(yōu)化的策略，滿足實(shí)時(shí)性的要求。本文方法計(jì)算效率大幅提升的原因?yàn)槠淅迷袠?biāo)稱軌跡數(shù)據(jù)，進(jìn)行矩陣運(yùn)算及積分求解最優(yōu)反饋修正量，避免了迭代尋優(yōu)計(jì)算，大幅降低了運(yùn)算量。

表2 消耗時(shí)間對比

5 結(jié)論

本文基于最優(yōu)控制相關(guān)理論與反席卷法，設(shè)計(jì)了一種實(shí)時(shí)的標(biāo)稱最優(yōu)制導(dǎo)律。所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律考慮了消除擾動(dòng)所形成的實(shí)際修正軌跡的最優(yōu)性，在狀態(tài)量具有較大初始擾動(dòng)的情況下具有良好的魯棒性，且修正軌跡滿足多種過程約束，保證了其可實(shí)現(xiàn)性。由于本文方法通過矩陣運(yùn)算及積分求解最優(yōu)反饋修正量，避免了迭代尋優(yōu)計(jì)算，計(jì)算效率大幅提高，約為重新優(yōu)化策略的120倍，且滿足實(shí)時(shí)性的要求。