高考中概率問題的?？碱}型

童其林

概率是研究隨機現象規律的數學分支，它為人們從不確定性的角度認識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法，為統計學發展提供理論基礎. 概率是新課程高考的重要內容，從2021年及2020年全國新高考Ⅰ卷對概率的考查，可以發現對此內容的考查有所拓展，比如對相互獨立事件的考查，積事件的概率公式的應用等. 下面先分析和解答2021年全國新高考Ⅰ卷第8題，然后再全面了解必修課程中概率問題的考點和?？碱}型，希望對大家的復習備考有幫助.

例1.（2021年全國新高考Ⅰ卷第8題）有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則（??? ）

A. 甲與丙相互獨立?? B. 甲與丁相互獨立

C. 乙與丙相互獨立?? D. 丙與丁相互獨立

解析：判斷兩個事件是否相互獨立的兩種方法：

（1）根據問題的實質，直觀上看一事件的發生是否影響另一事件發生的概率來判斷，若沒有影響，則兩個事件就是相互獨立事件;

（2）定義法：通過式子P（AB）=P（A）P（B）來判斷兩個事件是否獨立，若上式成立，則事件A，B相互獨立，這是定量判斷.

本題用方法1較難判斷，所以采用方法2進行判斷. 這6個相同的分別標有數字1，2，3，4，5，6的球，從中有放回的隨機取兩次，可能的結果可以通過下表得到.

解析：P（甲）=，P（乙）=，P（丙）=，P（?。?=，

P（甲丙）=0≠P（甲）P（丙）=，P（甲丁）==P（甲）P（丁），

P（乙丙）=≠P（乙）P（丙）=，P（丙?。?0≠P（?。㏄（丙）=.

故選B.

點評：判斷事件A，B是否獨立，先計算對應概率，再判斷P（A）P（B）=P（AB）是否成立.

例2.（2020年全國新高考Ⅰ卷第5題）某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學生喜歡足球或游泳，60%的學生喜歡足球，82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的比例是（??? ）

A. 62%?? B. 56%?? C. 46%?? D. 42%

解析：記“該中學學生喜歡足球”為事件A，“該中學學生喜歡游泳”為事件B，則“該中學學生喜歡足球或游泳”為事件A+B，“該中學學生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件A·B，

則P（A）=0.6，P（B）=0.82，P（A+B）=0.96，

所以P（A·B）=P（A）+P（B）-P（A+B）=0.6+0.82-0.96=0.46.

所以該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的比例為46%. 故選C.

點評：本題考查了積事件的概率公式，屬于基礎題. 本題也可以類似地通過集合中元素個數的公式得出結論（必修1第13頁），即對于兩個有限集合A，B，有：

card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）.

從以上兩例新高考對概率的考查，我們發現，概率問題很重視慨念的考查，考查的內容符合新課程標準，符合新課程理念. 因此，我們很有必要認真學習新課程標準.

一、課程標準對概率考查的內容要求

在新教材中，對概率的學習分為兩部分，一部分在必修課程中，另一部分在選擇性必修課程中. 而目前高三學生使用的是老教材，命題卻按新的課程標準進行命制，所以把新課程標準對概率的要求羅列出來，清楚新高考概率的內容要求，對于把握新高考概率的命題走向顯得很有意義.

1. 必修課程對概率考查的內容要求

本單元的學習，可以幫助考生結合具體實例，理解樣本點、有限樣本空間、隨機事件，會計算古典概型中簡單隨機事件的概率，加深對隨機現象的認識和理解.

內容包括：隨機事件與概率、隨機事件的獨立性. 具體來說，內容包括：“隨機事件和概率”——有限樣本空間與隨機事件，事件的關系和運算，古典概型，概率的基本性質;“事件的相互獨立性”;“頻率與概率”——頻率的穩定性，隨機模擬;“概率的初步應用”.

（1）隨機事件與概率

①結合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關系. 了解隨機事件的并、交與互斥的含義，能結合實例進行隨機事件并、交運算.

②結合具體實例，理解古典概型，能計算古典概率模型中隨機事件的概率.

③通過實例，理解概率的性質，掌握隨機事件概率的運算法則.

④結合實例，會用頻率估計概率.

（2）隨機事件的獨立性

結合有限樣本空間，了解兩個隨機事件獨立性的含義. 結合古典概型，利用獨立性計算概率.

2. 選擇性必修課程對概率考查的內容要求

本單元的學習，可以幫助學生了解條件概率及其獨立性的關系，能進行簡單計算;感悟離散隨機變量及其分布列的含義，知道可以通過隨機變量更好地刻畫隨機現象;理解伯努利試驗，掌握二項分布，了解超幾何分布;感悟服從正態分布的隨機變量，知道連續型隨機變量;基于隨機變量及其分布解決簡單實際問題.

內容包括：隨機事件的條件概率，離散型隨機變量及其分布列，正態分布.

（1）隨機事件的條件概率

①結合古典概型，了解條件概率，能計算簡單隨機事件的條件概率.

②結合古典概型，了解條件概率與獨立性的關系.

③結合古典概型，會利用乘法公式計算概率.

④結合古典概型，會利用全概率公式計算概率.了解貝葉新公式.

（2）離散型隨機變量及其分布列

①通過具體實例，了解隨機變量的概念，理解離散型隨機變量分布列及其數字征值（均值、方差）.

②通過具體實例，了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數字特征，并能解決簡單實際問題.

③通過具體實例，了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單實際問題.

（3）正態分布

①通過誤差模型，了解服從正態分布的隨機變量. 通過具體實例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態分布的特征.

②了解正態分布的均值、方差及其含義.

全國新高考Ⅰ卷在必修課程中，以隨機現象的數學度量——概率為主題，培養學生通過概率模型認識和分析隨機現象的能力，提升數學抽象、數學建模、數學運算、邏輯推理的科學素養.

二、概率問題?？碱}型例析

下面針對必修課程對概率考查的內容要求，舉例說明概率問題?？碱}型.

1. 事件類型的判斷及隨機事件的關系

例3. 指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機事件.

（1）中國體操運動員將在下屆奧運會上獲得全能冠軍.

（2）出租車司機小李駕車通過幾個十字路口都將遇到綠燈.

（3）若x∈R，則x2+1≥1.

（4）拋一枚骰子兩次，朝上面的數字之和小于2.

解析：由題意知（1）（2）中事件可能發生，也可能不發生，所以是隨機事件;（3）中事件一定會發生，是必然事件;由于骰子朝上面的數字最小是1，兩次朝上面的數字之和最小是2，不可能小于2，所以（4）中事件不可能發生，是不可能事件.

點評：可能發生，也可能不發生的事件叫是隨機事件;不可能發生的事件叫不可能事件;一定會發生的事件叫必然事件.

例4. 把紅、黃、藍、白4張紙牌隨機地分發給甲、乙、丙、丁四人，每個人分得一張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”（ ）

A. 是對立事件 ???? ? B. 是不可能事件

C. 是互斥但不對立事件 ???? ??D. 不是互斥事件

解析：顯然兩個事件不可能同時發生，但兩者可能同時不發生，因為紅牌可以分給丙、丁兩人，綜上，這兩個事件為互斥不對立事件，故選C.

點評：判斷互斥、對立事件的2種方法：

例5. 某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學參加演講比賽，判斷下列每對事件是不是互斥事件，如果是，再判別它們是不是對立事件.

（1）恰有1名男生與恰有2名男生;（2）至少有1名男生與全是男生;

（3）至少有1名男生與全是女生;（4）至少有1名男生與至少有1名女生.

解析：判別兩個事件是否互斥，就要考察它們是否能同時發生;判別兩個互斥事件是否對立，就要考察它們是否必有一個發生.

（1）因為“恰有1名男生”與“恰有2名男生”不可能同時發生，所以它們是互斥事件;當恰有2名女生時它們都不發生，所以它們不是對立事件.

（2）因為恰有2名男生時“至少有1名男生”與“全是男生”同時發生，所以它們不是互斥事件.

（3）因為“至少有1名男生”與“全是女生”不可能同時發生，所以它們互斥;由于它們必有一個發生，所以它們是對立事件.

（4）由于選出的是1名男生1名女生時“至少有1名男生”與“至少有1名女生”同時發生，所以它們不是互斥事件.

例6.（多選題）一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅色球（標號為 1 和2 ）， 2個綠色球（標號為3和4），從袋中不放回地依次隨機摸出2個球，每次摸出一個球. 設事件R1=“第一次摸到紅球”， 事件R=“兩次都摸到紅球”，事件G=“兩次都摸到綠球”，事件M=“兩球顏色相同”，事件= N“兩球顏色不同”，則（ ）

A. R1？哿R? B. R∩G=？覫? C. R∪G=M?? D. M=

解析：在一次實驗中，“第一次摸到紅球”，第二次可能摸到紅球，也可能摸到綠球，所以R？哿R1，A錯.

在一次實驗中，事件R=“兩次都摸到紅球”，事件G=“兩次都摸到綠球”，不能同時發生，所以R∩G=？覫，B正確.

“兩球顏色相同”，包括“兩次都摸到紅球”或“兩次都摸到綠球”，所以R∪G=M，C正確.

在一次實驗中，“兩球顏色相同”與“兩球顏色不同”是對立事件，所以D正確.

故選BCD.

2. 隨機事件的頻率與概率

例7.（2019·北京高考）改革開放以來，人們的支付方式發生了巨大轉變.近年來，移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學生中隨機抽取了100人，發現樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：

（1）估計該校學生中上個月A，B兩種支付方式都使用的人數;

（2）從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人，求該學生上個月支付金額大于2000元的概率;

（3）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人，發現他本月的支付金額大于2000元. 結合（2）的結果，能否認為樣本僅使用B的學生中本月支付金額大于2000元的人數有變化？說明理由.

解析：（1）由題知，樣本中僅使用A的學生有27+3=30（人），僅使用B的學生有24+1=25（人），A，B兩種支付方式都不使用的學生有5人. 故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學生有100-30-25-5=40（人）. 估計該校學生中上個月A，B兩種支付方式都使用的人數為×1000=400.

（2）記事件C為“從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人，該學生上個月的支付金額大于2000元”，則P（C）==0.04.

（3）記事件E為“從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人，該學生本月的支付金額大于2000元”.

假設樣本僅使用B的學生中，本月支付金額大于2000元的人數沒有變化，則由（2）知，P（E）=0.04.

答案示例1：可以認為有變化.理由如下：

P（E）比較小，概率比較小的事件一般不容易發生，一旦發生，就有理由認為本月支付金額大于2000元的人數發生了變化. 所以可以認為有變化.

答案示例2：無法確定有沒有變化.理由如下：

事件E是隨機事件，P（E）比較小，一般不容易發生，但還是有可能發生的，所以無法確定有沒有變化.

點評：（3）是一個開放性問題，只要用數據說話，作出合理的解釋都是可以的.

3. 古典概型

例8. 某興趣小組有2名男生和3名女生，現從中任選2名學生去參加活動，則恰好選中2名女生的概率為________.

解析：記2名男生分別為A，B，3名女生分別為a，b，c，則從中任選2名學生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10種情況，其中恰好選中2名女生有ab，ac，bc，共3種情況，故所求概率為.

點評：古典概型的概率求解步驟：（1）求出所有基本事件的個數n;（2）求出事件A包含的所有基本事件的個數m;（3）代入公式P（A）=求解. 本題也可以直接求解：記恰好選中2名女生為事件A，則P（A）==.

例9.（2021年全國高考數學甲卷，文理10）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）

A. 0.3?? B. 0.5? ? C. 0.6 D. 0.8

解析1：將3個1和2個0隨機排成一行，可以是：

00111，01011，01101，01110，10011，10101，10110，11001，11010，11100共10種排法，

其中2個0不相鄰的排列方法為：

1011，01101，01110，10101，10110，11010共6種方法，

故2個0不相鄰的概率為=0.6，故選C.

點評：利用古典概型的概率公式可求概率.當情形不多的情況下，列出所有情形，再算出則2個0不相鄰的情形，便可求解.

解析2：將4個1和2個0隨機排成一行，可利用插空法，4個1產生5個空，若2個0相鄰，則有=5種排法，若2個0不相鄰，則有=10種排法，所以2個0不相鄰的概率為==0.6. 故選C.

點評：采用插空法，4個1產生5個空，分2個0相鄰和2個0不相鄰進行求解.

4. 相互獨立事件的判斷

例10. 一個袋子中有標號分別為 1， 2， 3， 4的4個球，除標號外沒有其他差異. 采用不放回方式從中任意摸球兩次，每次摸出一個球. 記事件A=“第一次摸出球的標號小于 3 ”，事件B=“第二次摸出球的標號小于3”，事件C=“摸出的兩個球的標號之和為6 ”，事件D=“摸出的兩個球的標號之和不超過4”，則（ ）

A. A與 B相互獨立? B. A與 D相互獨立

C. B與 C相互獨立?? D. B與 D相互獨立

解析：顯然P（A）==. 用不放回方式從中任意摸球兩次，每次摸出一個球，標號可能出現的情形有：12，13，14，21，23，

24，31，32，34，41，42，43，共12種.

“第二次摸出球的標號小于3”，此時第一次摸出球的標號可能小于3，也可能不小于3，所以P（B）=·+·==.

“摸出的兩個球的標號之和為6”的情形只有24，42兩種，所以P（C）==.

“摸出的兩個球的標號之和不超過4”，有12，13，21，31四種，所以P（D）==.

而P（AB）=·=≠P（A）P（B）=，

A=“第一次摸出球的標號小于 3 ”且D=“摸出的兩個球的標號之和不超過4”，只有12，21，13三種，所以P（AD）==≠P（A）P（D）=，

B=“第二次摸出球的標號小于3”且C=“摸出的兩個球的標號之和為6 ”，只有42一種，所以P（BC）==P（B）P（C），

B=“第二次摸出球的標號小于3”且D=“摸出的兩個球的標號之和不超過4”，只有12，13，21，31四種，所以P（BD）==≠P（B）P（D）=.

所以選C.

點評：本題與2021年全國新高考Ⅰ卷第8題類似，不同的是一個的有放回的抽取，一個是不放回抽取.為了進一步鞏固此類問題的解法，不妨做做下面的問題：

變式：（多選題）袋子中有 5 個大小質地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，從中不放回地依次隨機摸出 2 個球，每次摸出一個球，則（??? ）

A. 第一次摸到紅球的概率為

B. 第二次摸到紅球的概率為

C. 兩次都摸到紅球的概率為

D. 兩次都摸到黃球的概率為

答案：ABD

5. 相互獨立事件的概率

例11.（2019·全國卷Ⅱ）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10∶10平后，每球交換發球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發球時甲得分的概率為 0.5，乙發球時甲得分的概率為 0.4，各球的結果相互獨立.在某局雙方10∶10平后，甲先發球，兩人又打了X個球該局比賽結束.

（1）求P（X=2）;

（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.

解析：（1）X=2就是某局雙方10∶10平后，兩人又打了2個球該局比賽結束，則這2個球均由甲得分，或者均由乙得分.

因此P（X=2）=0.5×0.4+（1-0.5）×（1-0.4）=0.5.

（2）X=4且甲獲勝，就是某局雙方10∶10平后，兩人又打了4個球該局比賽結束，且這4個球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分.

因此所求概率為[0.5×（1-0.4）+（1-0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1.

例12. 某校舉行數學競賽，競賽要完成三道題：代數，幾何，組合各一道，競賽記分方法如下：在規定時間內，答對代數題、組合題，每題均可獲得30分，答對幾何題，可獲得40分，每答錯一題，則扣除總分中的10分（假設答題只有對與錯兩種結果）. 根據以往統計結果，小明答對代數、幾何、組合的概率分別為，，a，假設解答這三題結果彼此獨立. 已知小明初始分為0分，設比賽結束后，小明的總分為X，求：

（1）已知小明在規定時間內，將三題都答對的概率為，求該學生恰能答對三題中的一題的概率;

（2）已知a=，求總分X不低于50分的概率.

解析：（1）小明三道題都答對概率為××a=，故a=，

恰能解決三道題中的一道題的概率：××××+××=

（2）若三道題均答對，則X=100，P（X=100）=××=;

若組合題答對，代數、幾何恰有一道題答對，

則X=60，P（X=60）=××+××=;

若代數幾何均答對，但組合未答對，則X=50，

P（X=50）=××=;

∴ P（X≥50）=++=.

6. 互斥事件、對立事件概率公式的應用

例13. 某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1 000 張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個. 設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，求：

（1）P（A），P（B），P（C）;

（2）1張獎券的中獎概率;

（3）1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.

解析：（1）易知P（A）=，P（B）=，P（C）=.

（2）1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎. 設“1張獎券中獎”這個事件為M，則M=A∪B∪C.

因為A，B，C兩兩互斥，

所以P（M）=P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）==.

故1張獎券的中獎概率為.

（3）設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件，

所以P（N）=1-P（A∪B）=1-（+）=.

故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為.

點評：事件A，B，C兩兩互斥，則P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）;事件A，B是對立事件，則P（A）+P（B）=1.

7. 隨機模擬法估計概率

例14. 已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%.現采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器算產生0到9之間取整數值的隨機數，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中;再以每三個隨機數為一組，代表三次投籃的結果.經隨機模擬產生了如下20組隨機數：

907? 966? 191? 925? 271? 932? 812

458? 569? 683? 431? 257? 393? 027

556? 488? 730? 113? 537? 989

據此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（?? ）

A. 0.35 B. 0.25 C. 0.20 D. 0.15

解析：該運動員三次投籃恰有兩次命中的隨機數有191，271，932，812，393，共五組，所以該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率p==0.25，選B.

點評：應用隨機數估計概率的步驟：（1）明確隨機數的范圍及數字與試驗結果的對應關系;（2）產生隨機數：（3）統計試驗次數N及所求事件包含的次數n;（4）計算便可.

8. 游戲的公平性

例15. 某校高二年級（1）（2）班準備聯合舉辦晚會，組織者欲使晚會氣氛熱烈、有趣，策劃整場晚會以轉盤游戲的方式進行，每個節目開始時，兩班各派一人先進行轉盤游戲，勝者獲得一件獎品，負責表演一個節目.（1）班的文娛委員利用分別標有數字1，2，3，4，5，6，7的兩個轉盤（如圖所示），設計了一種游戲方案：兩人同時各轉動一個轉盤一次，將轉到的數字相加，和為偶數時（1）班代表獲勝，否則（2）班代表獲勝. 該方案對雙方是否公平？為什么？

解析：該方案是公平的，理由如下：各種情況如表所示：

由表可知該游戲可能出現的情況共有12種，其中兩數字之和為偶數的有6種，為奇數的也有6種，所以（1）班代表獲勝的概率P1==，（2）班代表獲勝的概率P2==，即P1=P2，機會是均等的，所以該方案對雙方是公平的.

點評：游戲公平性的標準及判斷方法：（1）游戲規則是否公平，要看對游戲的雙方來說，獲勝的可能性或概率是否相同. 若相同，則規則公平，否則就是不公平的.（2）具體判斷時，可以按所給規則，求出雙方的獲勝概率，再進行比較.

在本例中，若把游戲規則改為自由轉動兩個轉盤，轉盤停止后，兩個指針指向的兩個數字相乘，如果積是偶數，那么（1）班代表獲勝，否則（2）班代表獲勝.游戲規則公平嗎？為什么？

解析：不公平. 因為出現奇數的概率為=，而出現偶數的概率為=.

總之，必修課程中概率問題?？碱}型包括：事件類型的判斷，樣本點與樣本空間，事件的運算，互斥事件與對立事件的判定，古典概型的概率計算，數學建模——古典概型的實際應用，互斥事件與對立事件概率公式的應用，相互獨立事件的判斷，相互獨立事件同時發生的概率，概率的含義，游戲的公平性，隨機模擬法估計概率等. 在新課程的理念下，弄明白概念，懂得知識從何處來，知識本身是什么，知識到何處去（應用），顯得很重要.

責任編輯 徐國堅