氣體變質量問題

余建剛

2021年廣東省高中學業水平選擇性考試第15題，試題如下：“為了方便抽取密封藥瓶里面的藥液，護士一般先用注射器注入少量氣體到藥瓶里面然后再抽取藥液，如圖1所示，某藥瓶的容器為0.9 mL，內裝有0.5 mL的藥液，瓶內氣體的壓強為1.0×105 Pa，護士把注射器內橫截面積約為0.3 cm2，長度為0.4 cm，壓強為1.0×105 Pa的氣體注入藥瓶，若瓶內外溫度相同且保持不變，氣體視為理想氣體，求此時藥瓶內氣體的壓強.”

一、試題評析

本題以日常生活中鮮活常見的實例，原理考查情境化，回歸生活，考查變質量氣體問題中的充氣模型，根據題目條件可知這是等溫變化過程，找出兩部分混合氣體初始狀態的壓強、體積以及末狀態的體積，再結合氣體問題常見處理方法如等效法、分態式法或克拉伯龍方程，即可以得到答案.具體有以下兩種解法：

方法一、設原瓶內氣體體積為V1，則V1=（0.9-0.5）mL=0.4 mL，

注射器內為V2=LS=0.3×0.4 mL=0.12 mL

對瓶中氣體及注射器氣體作為研究對象，即可等溫壓縮過程.

根據波意耳定律，得

P1（V1+V2）=P2 V1

得P2 =1.3×105 Pa

方法二、設原瓶內氣體體積為V1，則

V1=（0.9-0.5）mL=0.5 mL，

注射器內為V2=LS=0.3×0.4 mL=0.12 mL

根據克拉伯龍方程，對原瓶內氣體有P1V1=n1RT，對注射器氣體P1V2=n2RT，

對注入氣體后瓶內氣體有P2V1=n3RT

由n1+n2=n3得P1V1+P1V2=P2V1

得P2 =1.3×105 Pa

二、氣體變質量問題的常見解題方法與策略

理想氣體實驗定律的研究對象必須是一定量的封閉氣體，即質量不變的氣體. 但充氣、放氣或兩種氣體相互混合這類題出現一個迷惑點，就是變化前后，容器內的氣體質量發生改變. 這類題的難點是正確找出質量不變的研究對象. 對理想氣體變質量問題，可根據不同情況用克拉珀龍方程、理想氣體狀態方程和理想氣體實驗定律進行解答.

方法一、化變質量為恒質量——等效法

在充氣、抽氣的問題中可以假設把充進或抽出的氣體包含在氣體變化的始末狀態中，即用等效法把變質量問題轉化為恒定質量的問題.

方法二、應用克拉珀龍方程

克拉珀龍方程是一氣體狀態方程為PV=nRT，這個方程有4個變量：p是指理想氣體的壓強，V為理想氣體的體積，n表示氣體物質的量，而T則表示理想氣體的熱力學溫度;還有一個常量：R為理想氣體常數，R=8.31J/mol·K. 注意對氣體的初、末狀態可以分別列出克拉珀龍方程.

方法三、應用理想氣體分態式方程

若理想氣體在狀態變化過程中，質量為m的氣體分成兩個不同狀態的部分m1、m2，或由若干個不同狀態的部分m1、m2的同種氣體的混合，則應用克拉珀龍方程=R易推出：+=+

上式表示在總質量不變的前提下，同種氣體進行分、合變態過程中各參量之間的關系，可謂之“分態式”狀態方程.

方法四、應用密度方程

一定質量的氣體，若體積發生變化，氣體的密度也隨之變化，由于氣體密度？籽=，故將氣體體積V=代入狀態方程并化簡得：=，這就是氣體狀態發生變化時的密度關系方程.

此方程是由質量不變的條件推導出來的，但也適用于同一種氣體的變質量問題;當溫度不變或壓強不變時，由上式可以得到：=和？籽1T1=？籽2T2，這便是玻意耳定律的密度方程和蓋·呂薩克定律的密度方程.

方法五、道爾頓氣體分壓定律

對氣體混合問題求混合后的總壓可以采用道爾頓氣體分壓定律，即某一氣體在氣體混合物中產生的分壓等于它單獨占有整個容器時所產生的壓強;而氣體混合物的總壓強等于其中各氣體分壓強之和，這就是氣體分壓定律.

三、典題例析

1. 充氣中的變質量問題.

設想將充進容器內的氣體用一根無形的彈性口袋收集起來，那么當我們取容器和口袋內的全部氣體為研究對象時，這些氣體狀態不管怎樣變化，其質量總是不變的. 這樣，我們就將變質量的問題轉化成質量一定的問題了.

【例1】一個籃球的容積是2.5L，用打氣筒給籃球打氣時，每次把105 Pa的空氣打進去125cm3. 如果在打氣前籃球里的空氣壓強也是105 Pa，那么打30次以后籃球內的空氣壓強是多少Pa？（設在打氣過程中氣體溫度不變）

解析： 由于每打一次氣，總是把ΔV體積，相等質量、壓強為p0的空氣壓到容積為V0的容器中，所以打n次氣后，共打入壓強為p0的氣體的總體積為nΔV，因為打入的nΔV體積的氣體與原先容器里空氣的狀態相同，故以這兩部分氣體的整體為研究對象. 取打氣前為初狀態：壓強為p0、體積為V0+nΔV;打氣后容器中氣體的狀態為末狀態：壓強為pn、體積為V0.

令V2為籃球的體積，V1為n次所充氣體的體積及籃球的體積之和

則V1=2.5L+30×0.125L

由于整個過程中氣體質量不變、溫度不變，可用玻意耳定律求解.

p1×V1=p2×V2

p2==pa=2.5×105Pa

2. 抽氣中的變質量問題.

用打氣筒對容器抽氣的的過程中，對每一次抽氣而言，氣體質量發生變化，其解決方法同充氣問題類似：假設把每次抽出的氣體包含在氣體變化的始末狀態中，即用等效法把變質量問題轉化為恒定質量的問題.

【例2】用容積為ΔV的活塞式抽氣機對容積為V0的容器中的氣體抽氣，如圖2所示.

設容器中原來氣體壓強為p0，抽氣過程中氣體溫度不變.求抽氣機的活塞抽動n次后，容器中剩余氣體的壓強pn為多大？

解析：如圖2是活塞抽氣機示意圖，當活塞下壓，閥門a關閉，b打開，抽氣機氣缸中ΔV體積的氣體排出. 活塞第二次上提（即抽第二次氣），容器中氣體壓強降為P2. 根據玻意耳定律得

第一次抽氣

p0 v0 = p1（v0 +Δv），p1=p0

第二次抽氣

p1v0 = p2（v0+Δv），p2 =（）2p0

以此類推，第n次抽氣容器中氣體壓強降為pn=（）np0.

【拓展】某容積為20L的氧氣瓶里裝有30atm的氧氣，現把氧氣分裝到容積為5L的小鋼瓶中，使每個小鋼瓶中氧氣的壓強為4atm，如每個小鋼瓶中原有氧氣壓強為1atm. 問最多能分裝多少瓶？（設分裝過程中無漏氣，且溫度不變）

解析：設最多能分裝N個小鋼瓶，并選取氧氣瓶中的氧氣和N個小鋼瓶中的氧氣整體為研究對象.

按題設，分裝前后溫度T不變.

分裝前整體的狀態

p1 = 30atm，V1 = 20L

p2 = 1atm，V2 = 5NL

分裝后整體的狀態：

p11 = p21 = 4atm，V11? = 20L，V21? = 5NL

由此有分類式：

p1V1+p2V2 =p11V11= p21V21

代入數據解得：

N=34.7，取34瓶

說明：分裝后，氧氣瓶中剩余氧氣的壓強p11應大于或等于小鋼瓶中氧氣應達到的壓強p21，即p11≥p21，但通常取p11≥p21. 千萬不能認為p11=0，因為通常情況下不可能將氧氣瓶中的氧氣全部灌入小鋼瓶中.

3. 浮力中的變質量問題.

對于熱氣球問題，經常會涉及到氣球內氣體的密度問題，而氣球內氣體一加熱便有部分氣體“跑”到球外，對此變質量問題，若用常規方法則會比較繁瑣，可以用密度方程，壓強不變時，溫度與密度成反比，即？籽1T1 = ？籽2T2，便可迎刃而解.

【例3】一熱氣球體積為V，內部充有溫度為Ta的熱空氣，氣球外冷空氣的溫度為Tb. 已知空氣在1個大氣壓、溫度T0時的密度為ρ0，該氣球內、外的氣壓始終都為1個大氣壓，重力加速度大小為g.

（1）求該熱氣球所受浮力的大小;

（2）求該熱氣球內空氣所受的重力;

（3）設充氣前熱氣球的質量為m0，求充氣后它還能托起的最大質量.

【解析】（1）設1個大氣壓下質量為m的空氣在溫度T0時的體積為V0，密度為ρ0 =……①

溫度為T時的體積為VT，密度為：ρ（T）=……②

由蓋-呂薩克定律可得：=……③

聯立①②③解得：ρ（T）= ρ0 ……④

氣球所受的浮力為：f = ρ（Tb）gV……⑤

聯立④⑤解得：f = ……⑥

（2）氣球內熱空氣所受的重力：G= ρ（Ta）Vg ……⑦

聯立④⑦解得：G= Vg ρ0 ……⑧

（3）設該氣球還能托起的最大質量為m，由力的平衡條件可知：mg = f - G - m0g……⑨

聯立⑥⑧⑨可得：m=--m0

答案：（i）?? （ii）?? （iii）--m0

4. 氣體混合問題.

兩個或兩個以上容器的氣體混合在一起的過程也是變質量氣態變化問題. 處理此類問題，通常有兩種解法，一種是巧選研究對象法;另一種是道爾頓分壓定律. 下面分別介紹一下兩種方法的具體應用.

（1）巧選研究對象法.

兩個相連的容器中的氣體都發生了變化，對于每一個容器而言則屬于變質量問題，但是如果能巧妙的選取研究對象，就可以把這類變質量問題轉化為定質量問題處理.

【例4】如圖3所示，A、B兩容器容積相同，用細長直導管相連，二者均封入壓強為p，溫度為T 的一定質量的理想氣體，現使A內氣體溫度升溫至T′，穩定后A容器的壓強為多少？

解析：因為升溫前后，A、B容器內的氣體都發生了變化，是變質量問題，我們可以把變質量問題轉化為定質量問題. 我們把升溫前整個氣體分為（V-ΔV）和（V+ΔV）兩部分（如圖4所示），以便升溫后，讓氣體（V-ΔV）充滿A容器，氣體（V+ΔV）壓縮進B容器，于是由氣態方程或氣體實驗定律有：

= ……①

ρ（V+ΔV）=P ′V……②

聯立上面連個方程解得：P ′=p.

【例5】某教室內的空間為50m3，溫度為17℃，大氣壓強為76cmHg，室內空氣質量為60kg。由于使用暖氣，一段時間后，溫度恒為27℃，大氣壓為76cmHg，則教室內空氣的質量變為多少？

分析：本題主要考查密度、氣體實驗定律，意在考查考生的理解能力和推理能力，采用假設和等效的方法假設升溫后"跑掉"的空氣全部用容積為ΔV的大容器裝起來，使其內部空氣的壓強恰好也是p0=76cmHg，溫度為T2=（27 + 273）K=300K，則可等效為：體積V=50m3、溫度T1=（17 + 273）K=290K的空氣經過等壓升溫后變成體積為V+ΔV、溫度為T2的空氣，根據蓋-呂薩克定律建立方程求解。

解析：假設升溫后“跑掉”的空氣全部用容積為ΔV的大容器裝起來，使其內部空氣的壓強恰好也是p0=76cmHg，溫度為T2=（27+273）K=300K，

則可等效為：體積V=50m3、溫度T1=（17+273）K=290K的空氣經過等壓升溫后變成體積為V+ΔV、溫度為T2的空氣。

根據蓋-呂薩克定律有=;

原來教室內空氣的質量m0=60kg，升溫后教室內空氣的質量變為m=·V.

得m=m0=58kg.

（2）巧用道爾頓分壓定律.

兩個相連的容器中的氣體混合在一起，可以先單獨一種氣體“膨脹”到整個容器時所產生的壓強;再求出另一種氣體“膨脹”到整個容器時所產生的壓強，根據道爾頓分壓定律，氣體混合物的總壓強等于其中各氣體分壓強之和.

【例6】（2020·新課標Ⅰ）甲、乙兩個儲氣罐儲存有同種氣體（可視為理想氣體）. 甲罐的容積為V，罐中氣體的壓強為p;乙罐的容積為2V，罐中氣體的壓強為p. 現通過連接兩罐的細管把甲罐中的部分氣體調配到乙罐中去，兩罐中氣體溫度相同且在調配過程中保持不變，調配后兩罐中氣體的壓強相等. 求調配后：

（1）兩罐中氣體的壓強;

（2）甲罐中氣體的質量與甲罐中原有氣體的質量之比.

解析：（1）氣體發生等溫變化，對甲乙中的氣體，可認為甲中原氣體有體積V變成3V，乙中原氣體體積有2V變成3V，則根據玻意爾定律分別有pV=p1·3V，p·2V=p2·3V

則pV+p·2V=（p1+p2）×3V

根據道爾頓分壓定律，甲乙中氣體最終壓強P ′=p1+p2=p.

（2）若調配后將甲氣體再等溫壓縮到氣體原來的壓強為p，則p′V=pV′，計算可得V′=V.

由密度定律可得，質量之比等于==.

責任編輯 李平安