重視理解的高中數學課堂教學逆向設計*——以“函數的單調性”教學為例

王 琳

傳統的教學設計一般是教師根據自身的教學經驗，利用教材來組織教學。教學經驗固然不可或缺，但其大多呈現出碎片化、零散性的特征，往往依賴于教師個人對教學的理解，導致課堂教學缺乏系統化和概括化的目標來引領教學研究的方向。同時，教材本身不是課程標準，和教學目標也互不隸屬，現階段的數學教學更關注數學核心素養的達成與否。反思了傳統設計的不足之后，兩位美國學者Grant W iggins和Jay McTighe提出了“逆向設計”（Backward Design）這一理念，逆向設計是一種“理解性教學”（Understanding by Design），強調評價先于設計，重視知識的發生和形成過程，強調思維理解，重視推理論證。

一、逆向設計的課堂教學特征

逆向設計的課堂教學特征可概括為：教學目標源于課程標準，教學評估先于教學設計。“為理解而教”是數學課堂逆向設計的重要特征，表現為三種教學形態。一是數學核心素養與教學目標深度融合。逆向設計是一種“理解性教學”，強調教學應走出解釋教材的老路與誤區，關注所教學生的學習基礎，在學生的“最近發展區”內優化教學目標，把學情作為設計的基點，發展學生的數學核心素養。二是強調“理解性教學”是逆向設計的根基。在保證學生掌握知識的基礎之上，建構學生解釋、判斷、應用、推理、想象和認知等能力，讓學生深度理解數學知識，發展數學思維，并將數學知識及思維應用于生活情境，提升其問題解決能力。三是突出目標與“教、學、評”的統一性。以理解為特征的逆向教學設計，強調教學目標、過程和評價的一致性，以核心素養、課程標準為導向，強化元認知監控，引導學生主動體驗與探究，培育學生的自主學習能力，使學習進程中評價與理解相互滲透，突出學生是課堂教學中真正的主人的理念。

二、逆向設計的教學策略

教學逆向設計強調以數學核心素養為依據，從預期教學結果思考、設計教學方案。為實現教學目標、達成學習實效，逆向教學設計從教學評價出發，指向數學核心素養，針對教學目標，實現對教材的二次開發，將教學評估進行細化和量化，統整課堂教學活動；以學生為中心、以數學思維培育為手段科學論證教學；活動設計上強化合作探究，教學動態生成、學生主動反饋，以師生協作完善教學閉環，不斷調整和優化數學課堂。

1.明確預期結果。

在此階段，教師實施“三研讀”的教學策略，即“研讀課標、研讀教材、研讀學情”，深度研習數學課程標準，全面理解數學教材內容，精準把握學生的學習領悟能力與知識理解水平。根據數學課標要求，列出教學驅動性問題，例如讓學生認識什么、體會什么、掌握什么，教學中的大概念如何把握，是否需要設計思維進階性問題，如何推進層次學習，等等。目標引領、任務驅動，站在學生立場，以學習為中心，讓逆向設計目標進一步層次化和精準化，讓學生的學與教師的教進行有效連接。

2.確定評估方式。

評估方式前置是逆向教學設計與傳統教學設計最顯著的差別。課堂教學中，如何確認學生的學習是否真正達到教學設計的預期？教師需以“評價”和“證據鏈”為工具，關注學生的整個學習過程。教學中，教師應注意多維互動，恰當使用多種評價，采用問題鏈的形式讓學生主動思考，使學生在目標引領下掌握數學知識的遷移和應用。同時，以學業水平質量監測標準與評價效能為指導，關注學生學習的“最近發展區”，評估與匯總“最近發展區”內與學習目標相關的因素，盡可能多地使用表現性評價。教師觀察課堂中學生的學習表現與預期成果之間的差距，學生主動運用元認知監控，師生之間適時進行動態評估與調整，確保學習目標的達成。

3.設計核心任務。

在此階段，教師應思考設計怎樣的學習活動序列能幫助學生實現預期目標？應堅持三原則：一是活動設計以學生學習為中心，讓學生站在課堂中央，將學習與生活實踐相聯系，使學生在真實情境中學習；二是用問題鏈串聯課堂教學，讓學生經歷數學概念與規律的探究過程，引導學生“知情意行”合一；三是規劃“目標與教、學、評實施路徑”的一致性，引導學生主動學習、獨立思考，促進學生的質疑能力與判斷能力的形成，實現數學知識的內化與遷移、思維能力的遞進、思維品質的層級提升，從而為教學目標的達成提供強有力的保障。

三、逆向設計的教學案例

1.明確預期的學習結果。

首先，從課標分析。《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》對本節內容提出明確要求：從代數運算和函數圖象兩方面揭示函數單調性；能用符號語言描述函數單調性的定義，并理解其作用和實際意義。其次，從教材分析。“函數的單調性”是學生接觸的函數的第一個性質，蘇教版教材的編排是從氣溫圖象出發，進行數學抽象和思維概括，通過枚舉事例來鞏固新知。再次，從學情分析。學生在學習函數基本性質之前，已經初步具備使用圖象判斷函數的能力，如正比例函數和一次函數等簡單函數的變化趨勢，但對如何用符號語言描述函數單調性的定義仍有困難。一般來說，在基礎知識方面，是讓學生從形與數兩方面理解函數的單調性概念，初步掌握利用函數圖象和單調性的定義判斷、證明函數單調性的方法，了解函數單調區間的概念；在思維發展層面，讓學生參與探究函數單調性定義的過程，滲透“數形結合”的數學思想和方法，讓學生感受學習數學的樂趣，培養學生的觀察、歸納、抽象等思維能力。

那么，如何針對函數的單調性設計教學中的“引導性問題”呢？可以直接選取生活情境，讓學生在真實的教學情境中理解函數的單調性。教學任務如下：如圖1所示，氣溫θ是關于時間t的函數，記為θ=f（t），請同學們觀察這個氣溫變化圖，隨著時間的推移，氣溫有怎樣的升降變化規律？引導學生進行合作討論：如何使用一個標準的數學概念來描述這一現象。讓學生自然地聯想到“函數的單調性”這一教學主題。

（圖1）

2.確定對學習目標的評估方式。

在此階段，如何選擇可靠的、適當的評價證據來說明學生的學習目標達成與否呢？教師可以運用“基于‘理解’的教學六維度”對學生進行考查，即從解釋、判斷、推理、應用、想象和認知這六個方面來觀察學生是否真正領悟“函數單調性”。將探究任務進行如下分解：

一是引導學生從數和形兩方面觀察和研究一次函數、二次函數、反比例函數，描述函數的變化趨勢，提升數學核心素養中的“直觀想象”素養。這屬于“解釋”與“想象”的維度，可以針對本課題中“函數單調性”這一本原性問題，向學生提問：觀察教材中的函數圖象，請你思考，該函數為什么會出現這種變化趨勢？你能用數學符號語言準確敘述出這一變化趨勢嗎？

二是讓學生借助這一具體函數的圖象，經歷由文字語言到數學符號語言的探究過程，這屬于數學核心素養中的“數學抽象”。對具體事例中函數的單調性能抽象概括出其概念，是“理解”中“判斷”與“推理"維度的體現。教師讓學生主動建構函數及其圖象特點，同時鼓勵學生相互傾聽、多元表達，嘗試用自己的語言描述圖象的變化趨勢，概括函數單調性的定義。

三是觀察學生能否利用函數圖象直接寫出函數的單調區間；能否利用函數單調性的定義，證明一次函數、二次函數和反比例函數在給定區間的單調性。提升學生數學素養中的邏輯推理能力，這屬于“認知”與“應用”的維度。在教學中，學生通過主動學習，知道如何用符號語言表達數學概念的意義，體會學習數學概念的一般思路和方法。觀察學生能否使用代數運算來證明函數的單調性，從而上升到研究數學概念的一般方法，進行經驗概括與思維內化，為遷移至新的情境中解決問題奠定方法論基礎。深化學生對概念本質的理解，感悟知識的內部結構和外部聯系，培養學生的創新能力。

3.設計教學活動，整合教學核心任務。

確定學習目標與評價方法之后，實施教學策略的思路如下：直觀感知、文字描述、定性描述（抽象定義）、定量描述（代數運算）、實踐遷移（策略運用）。教學任務以“問題串”的形式展開，圍繞學習目標，以“學習評價”和“證據鏈”為工具，關注學生的探究過程與學習效能，具體如下：

探究任務1：觀察圖2中函數的圖象，指出其“升”“降”趨勢。

拿著“僑民捐的錢用來干什么了”的問題去問本地普通居民，他們都會說“發展項目”，有的人也能舉出一兩個橋梁、道路工程的名字。但他們對節慶所募集的資金、接受的捐款去向確實不甚明了。同樣地，海外僑民也無法保障自己捐贈的款額能夠真正造福家鄉人民。因此，有些僑民組織并不信任地方政府，會以參與項目實施為捐贈條件，并親自管理賬目，不愿全權交給地方政府打理。僑民可以將無形的權力轉化為實質的權力，對當地基礎設施建設產生一定的影響，這樣的權力運作需要僑民更加主動地投入，反之則缺乏保障。

（圖2）

探究任務2：填寫下列表格（見表1），你能從變量x與f（x）數值的變化情況得出函數f（x）=x2圖象的“上升”與“下降”情況嗎？（學生活動、討論）

表1 函數f（x）數值的變化

探究任務3：如何利用符號化的數學語言描述“在區間（0，+∞）上，隨著自變量x的增大，相應的f（x）的值也增大”呢？（學生活動、討論）

探究任務4：（1）對于函數y=f（x），在x∈（0，+∞）上，滿足：x1=1時，f（x1）=1；x2=3時，f（x2）=9。是否能說明在區間（0，+∞）上，函數值隨x的增大而增大？（師生共研）

（2）對于函數y=f（x），在x∈（0，+∞）上有10000個數，當x1＜x2＜x3＜…＜x10000時，滿足f（x1）＜f（x2）＜f（x3）＜…＜f（x10000），是否能說明在區間（0，+∞）上，函數值隨x的增大而增大？（師生共研）

（3）對于函數y=f（x），在x∈（0，+∞）上任取兩個值x1，x2，當x1＜x2時，滿足f（x1）＜f（x2），是否能說明在區間（0，+∞）上，函數值隨x的增大而增大嗎？（師生共研，教師板書增函數的定義）

探究任務5：在函數f（x）=x2的圖象上還可以觀察到，在y軸的左側函數圖象自左而右是下降的。類比增函數的定義，你能概括出減函數的定義嗎？（教師板書減函數的定義）

探究任務6：判斷下列命題的正誤。

探究任務7：如圖3是定義在閉區間［-5，5］上的函數y=f（x）的圖象，根據圖象分別說出函數的單調增區間及單調減區間。

（圖3）

以上“問題串”的設計遵循概念教學的一般過程，任務1和任務2根據任務情境，依據學生已有的認知經驗，設置“引導性問題”。任務3、任務4和任務5是概念探究的關鍵環節，即在特定的背景下探究概念的外延與內涵，在問題探究的基礎上呈現出“函數單調性”的定義。為了使“問題串”的設計更加完整，任務6辨析概念，即通過設計非概念情境中的“反例變式”，對概念進行多角度的辨析與理解。任務7和任務8幫助學生認識數學概念之間的聯系，讓學生深入理解函數單調性概念的表征體系。以上設計，更重要的是讓學生在具體的探究任務的學習過程中，體會數形結合、分類討論的數學思想，強化了學生對函數單調性概念及其數學符號語言的認知，激發了學生的主觀能動性和學習效能感。

重視理解的逆向教學設計，以教學評價為基點，從教學目標出發，重新規劃了學生的學習方向，重視課標、學情與文本內容的統一，對學生的學習過程進行階梯式設計，變革了教師的教學理念與教學方式。它不僅關注教師的教學設計理念，更以評價任務為抓手，合理搭建教學腳手架，注重對學生思維的提升，強化學生對學習的理解，充分體現出學生是課堂教學的主體，有利于學生對數學概念、方法、思想的深入理解，使其自主思考和獨立精神得到體現，實現對學生數學核心素養的培育。