數(shù)學(xué)思想方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

王運(yùn)寶

百年大計(jì)，教育為本。為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和教學(xué)質(zhì)量，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)思想方法顯得尤其重要，主要在于：一、能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能動(dòng)性，勇于探究事物變化發(fā)展的激情;二、能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、分析問題、解決問題的能力;三、能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性、深刻性、獨(dú)創(chuàng)性、逆向性和發(fā)散性;四、能培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力、觀察力、思維能力和創(chuàng)新能力。在初中教學(xué)中，常用的主要有以下幾種數(shù)學(xué)思想方法。

一、化歸（或轉(zhuǎn)化）

化歸就是把一個(gè)事物轉(zhuǎn)化為另一個(gè)事物或與之接近的、相關(guān)的事物，即變"正面強(qiáng)攻"為"側(cè)翼進(jìn)擊"的思維形式，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題中，就是將原問題進(jìn)行變形，使之轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的、已解決的或易于解決的問題。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，代數(shù)、幾何都是從研究簡單數(shù)式、簡單圖形開始的，而復(fù)雜數(shù)式、復(fù)雜圖形都是通過轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為簡單數(shù)式、簡單圖形來獲得解決的。例如，折扣問題可轉(zhuǎn)化為百分率問題;“雞兔同籠”問題可轉(zhuǎn)化為方程問題;在解一元二次方程時(shí)，一元二次方程通過“降次”轉(zhuǎn)化為一元一次方程，并化成ax=b（a≠0）這種類型來求解。教學(xué)時(shí)，應(yīng)加強(qiáng)化歸思想的總結(jié)和提煉，注重化歸思想的滲透和點(diǎn)撥，有利于提高學(xué)生的能力，發(fā)展學(xué)生的思維，簡化解題的過程。

二、數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)家華羅庚先生說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”。數(shù)形結(jié)合是把數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合。它將“靜態(tài)”為“動(dòng)態(tài)”，變“無形”為“有形”。例如，在學(xué)習(xí)不等式和不等式組的解集的概念時(shí)利用數(shù)軸;在直角坐標(biāo)平面內(nèi)由幾何圖形求點(diǎn)的坐標(biāo)，由一些點(diǎn)的坐標(biāo)來描繪幾何圖形求面積或線段長度;已知三角形三邊的代數(shù)關(guān)系或三角函數(shù)關(guān)系判斷三角形的幾何形狀等。從幾何起始階段，就注意數(shù)形結(jié)合，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題、解決問題，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，就能逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)用能力，拓寬思維的領(lǐng)域。

三、分類討論

分類討論的思想方法就是對(duì)問題進(jìn)行分類，逐一討論滿足條件的各類情況，達(dá)到問題的全面解決。例如，在解一元一次方程時(shí)，a（x+2）=2a，得到ax=◆。這時(shí)就要分類討論：當(dāng)a≠0時(shí)，x=0;當(dāng)a=0時(shí)，x為一切實(shí)數(shù)。又如，在學(xué)習(xí)等腰三角形時(shí)，在平面內(nèi)有一條直線a，在直線的外部有一條線段AB（注：線段AB與直線a無交點(diǎn)、不垂直），請(qǐng)?jiān)谠撝本€上找一個(gè)點(diǎn)C，使三角形ABC為等腰三角形。這時(shí)，也要分類討論：分兩種情況即當(dāng)線段AB為腰時(shí)構(gòu)成的等腰三角形，還有當(dāng)線段AB為底邊時(shí)構(gòu)成的等腰三角形。

這種思想方法能使學(xué)生學(xué)會(huì)多角度、多方面去分析、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生全面觀察事物、靈活處理問題的能力。

四、方程函數(shù)

方程函數(shù)思想就是把方程和函數(shù)有機(jī)地結(jié)合起來，綜合解題的思想方法。例如，二元一次方程2x-y=5與一次函數(shù)y=2x-5的表達(dá)式形式相同，它們的圖象都是直線，當(dāng)函數(shù)的變量x=3時(shí)可代入表達(dá)式解一元一次方程求得變量y=1。又如，二元二次方程x2-x-2-y=0與二次函數(shù)y=x2-x-2，當(dāng)求二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可化為求二元二次方程x2-x-2-y=0當(dāng)y=0時(shí)二元二次方程的解。在解決圖形運(yùn)動(dòng)的問題中，也常用到方程函數(shù)思想，這種思想貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)體系。它能培養(yǎng)學(xué)生的抽象與形象思維能力，分析問題、解決問題的能力，以及綜合運(yùn)用能力。

五、對(duì)應(yīng)

對(duì)應(yīng)關(guān)系是指兩者或兩者以上的事物之間的屬性關(guān)系。例如，在學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)時(shí)，把實(shí)數(shù)在數(shù)軸上表示出來，每一個(gè)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。又如，在學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)，二次函數(shù)y=x2，當(dāng)函數(shù)值y=4時(shí)，就有x=2和x=-2兩個(gè)數(shù)和它對(duì)應(yīng)。還有，在學(xué)習(xí)全等三角形和相似三角形時(shí)，也存在對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系。因此在教學(xué)過程設(shè)計(jì)中，滲透對(duì)應(yīng)的思想，有助于培養(yǎng)學(xué)生用變化的觀點(diǎn)看問題，有助于今后培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)觀念。

六、運(yùn)動(dòng)

運(yùn)動(dòng)是指物體在空間中的位置發(fā)生了變化。數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)的方法有很多，例如，圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、剪接等。這些思想在軸對(duì)稱和中心對(duì)稱、動(dòng)態(tài)幾何中求解、證明等知識(shí)的教學(xué)中都得到應(yīng)用。例如，在等邊三角形的有關(guān)證明中常用到通過旋轉(zhuǎn)解決問題。在動(dòng)態(tài)幾何題的探究中，三角形的某個(gè)頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，探究什么條件下構(gòu)成等腰三角形或等邊三角形或直角三角形。教學(xué)中滲透運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)思想方法，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和操作能力。

七、整體與換元

整體與換元的思想是指處理某一類數(shù)學(xué)問題時(shí)，把問題中的某些元素或某一部分作為一個(gè)整體，通過換元來處理，使問題得到簡化，解題的途徑變得清晰。在教學(xué)中，合并某些“特殊”的同類項(xiàng)，分解因式，解方程，求代數(shù)式的值等，就常用到這種思想方法。如（1）解方程：（x2+5x-3）（x2+5x+1）-21=0，如果把前一項(xiàng)展開就成為一元四次方程，非常復(fù)雜。但如果把x2+5x-3（或x2+5x+1或x2+5x）作為一個(gè)整體用一個(gè)字母t代換，化為一元二次方程，再用因式分解法，立即得到方程的四個(gè)解。（2）已知x+1/x=3，求x4+1/x4的值，只要在解題過程中把x+1/x，x2+1/x2作為整體，解題的途徑變得明朗。這樣簡便、易懂、快捷。

八、不完全歸納

不完全歸納是指從一個(gè)或幾個(gè)（但不是全部）特殊情況作為一般性的結(jié)論歸納推理。盡管它有不完備的一面，有時(shí)得出的結(jié)論也不一定正確，但在初中階段還是有一定的實(shí)際意義。例如，用火柴棒拼正方形拼1個(gè)正方形用4根火柴，拼2個(gè)正方形用7根火柴，拼3個(gè)正方形用10根火柴，……，那么拼n個(gè)正方形用4+3×（n-1）根火柴。

這些都是利用了不完全歸納的思想方法，初步學(xué)到了由特殊到一般，再由一般到特殊的辨證唯物主義思想。

九、逐次逼近

在教學(xué)中經(jīng)常采用試算的方法，即在解決某一問題時(shí)，經(jīng)過一連串的試驗(yàn)，使后者不斷地中止或修正前者實(shí)驗(yàn)中所產(chǎn)生的誤差，不斷縮小含有正確答案的范圍，最后得出正確的結(jié)論，使問題得到解決，這就是數(shù)學(xué)中逐次逼近的思想。例如，求6的算術(shù)平方根的值。

22<6<32

2.12<6<2.52

2.42<6<2.52

2.442<6<2.452

2.4492<6<2.452

2.44942<6<2.44952

所以，6的算術(shù)平方根的近似值約為2.4494。

除上述介紹的幾種數(shù)學(xué)思想方法外，還有聯(lián)想和猜想、對(duì)比、逆向思維、方程、變?cè)脫Q、完全歸納等數(shù)學(xué)思想方法，只要我們結(jié)合平時(shí)的教學(xué)內(nèi)容，通過挖掘、整理、分析、滲透所涉及的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生真正理解所學(xué)的知識(shí)，真正掌握方法，而不是生搬硬套，就會(huì)受到事半功倍的良好效果，為學(xué)習(xí)更深的知識(shí)，為數(shù)學(xué)的發(fā)展、探索、創(chuàng)新、研究奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。