建構數學模型思想 培育學生核心素養

蘇文朝

(廈門外國語學校海滄附屬學校 福建 廈門 361000)

模型思想，旨在引導學生能夠在學習過程中體悟數學和生活的聯系，尋找現實生活或具體情境下的問題如何抽象成數學符號(例如數學語言、方程、數量關系、函數等)，進而更清晰的去揭示從特殊到一般，從具象到抽象的描述數量關系及其變化。建立數學模型的過程，其實就是從數學角度觀察各類現象，以數學思維去思考問題，說到底，就是數學化思維的培育過程。因此，教師在數學課堂教學活動中，應該精心設計教學環節，有意識的創設針對性訓練學生建模思維活動策略，引導孩子掙脫常規課堂的思維模式束縛，逐步滲透模型思想于課堂環節中，從而提升學生的思維品質，達到培育學生核心素養的目標。

1.構建方程模型 強化應用能力

著名教授張奠宙認為“數學應用的本質是數學建模”。他在《小學數學研究》一書中提到：小學數學應用題的求解，可以用算數方法和代數方法，分別建立問題的算數模型與代數模型。[1]如果說模型思想是具有一般性的上位概念，那么，方程思想就是它的最典型的具體體現[2]。建立方程模型，就是對上位概念的一個具體應用。小學數學課堂中，從《用字母表示數》開始，就開啟了小學數學從具象思維到抽象思維的序幕。

方程是小學生接觸的最抽象的概念，用方程法解決問題是很多學生想避開的“雷區”，相較于方程法解決問題，他們更傾向于用算術法解決。以“相遇問題”為例：甲乙兩人分別從相距30千米的AB地方同時相向而行，甲每小時行6千米，乙每小時行4千米，多少小時二者相遇？

學生求解兩者的相遇時間，會側重使用算術法：總路程÷甲乙速度和=相遇時間，但是如果使用方程法，還需要尋找數量關系，解設未知數，列并解方程，相對算術法就繁瑣。學生會鐘愛算術法也無可厚非，但是，如果題型變換成：甲乙兩人分別從AB兩地同時相向而行，甲每小時行6千米，乙每小時行4千米，在距離中點2千米處相遇，甲乙相距多少千米？又該如何解答？如果再變題型成：甲乙兩人分別從AB兩地同時相向而行，甲每小時行6千米，乙每小時行4千米，甲先達到B地后又往回走，在10千米處再次和乙相遇，甲乙相距多少千米？這又該如何解答？

所以，構建方程的模型，最關鍵就是讓學生體會題目中的等價關系，也就是說，學生需要學會從現實情境中，能夠尋找并概括其中內涵的等價關系，把這種等價關系轉化成數學語言(也就是數量關系)，這種有意識的思維引導和對比提升，大大培養了學生提取題目顯性或者隱性條件的能力，進而，在解決實際問題策略過程中，他們的思維方式就會聚焦于數量關系，凝練把數量關系抽象成數學語言的能力，就是用代數式表示數量關系的能力，這是凝練方程模型的過程。如此再輔與豐富例證加以夯實，對于上述的問題，只需要抽象構建兩個一般方程模型：S甲+S乙=S總；S甲-S乙=S差，再應用于實際問題的解答過程中，只需要再把方程模型進行分解細化，問題也就迎刃而解。學生的應用意識和解題能力也得以強化提升。

2.另辟面積模型 深耕推理能力

對于面積的學習，學生大多停留在對各個平面圖形面積計算公式的記憶，而忽略了這些平面圖形面積之間的結構化聯系。在復習多邊形面積，教師習慣性依照教材設計，依次復習長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓，并以長方形為模型，復習正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓面積推導過程，從而建立各個平面圖形的結構化關系。筆者在執教過程，在此基礎上，另辟梯形為面積模型，以梯形面積公式S=(a+b)h÷2為中心，逐一推導出長方形、正方形、三角形、梯形和圓的面積，從而建立以梯形為聯結點的面積結構化網絡，重新審視已學的平面圖形面積公式，這是對已有知識認知系統的重新組織和建構，加深了對它們的理解和掌握程度，深耕平面圖形面積的推理過程，培養了學生的推理能力。

下面論述其推理過程：

梯形面積公式S=(a+b)h÷2，當其中一底(b)逐漸變小為0，則由梯形演變成一個三角形，這時可理解為三角形是一個其中一底(b)為0的梯形，運用梯形面積公式S=(a+b)h÷2=(a+0)h÷2=ah÷2；當梯形的兩個底變成一樣長，即a=b時，梯形變成一個平行四邊形，運用公式S=(a+b)h÷2=(a+a)h÷2=2ah÷2=ah；當梯形的上下底一樣長時，且兩腰等于高時，梯形變成一個長方形，長即底，寬即高(b=h)，S=(a+b)h÷2=(a+a)h÷2=2ab÷2=ab，同理可推理證明得正方形面積公式。

最難是由梯形面積推導，我們借助圖形來推理分析會更清晰，如圖1所示。

圖1

雖然學生已經掌握了從長方形出發去推導其他幾個平面圖形面積公式的方法，但是，通過我們另辟梯形面積為模型，逆推其他幾個平面圖形面積公式，如此，學生在圖形的變與不變的過程中，感受到幾個平面圖形之間的深刻聯系，在推理面積公式的過程中，學生對于平面圖形面積之間的結構化聯系也更加深入，結構化思維和推理能力都在這個幾何模型的創設和應用中得到了提升。

不僅如此，在后面學習長方體、正方體、圓柱、乃至于三棱柱，四棱柱、五棱柱......學生都能以此為幾何模型的推導方式為思維聯結點，尋找這幾個柱體的共性特征進行體積推理。

3.透析模型價值 享樂趣悟思想

模型思想對于促進學生的數學理解有積極且重要的作用，這體現在它的數學價值和教育價值。[3]而這個數學價值，主要體現在對數學的理解上，學生從機械記憶到理解記憶，從形象思維到抽象思維，整個過程，其實是由簡單到復雜，由具象到抽象的轉變，這時候，模型思想就能夠很好的輔助學生去理解、去感悟、去體驗這種轉變過程的樂趣。從另外一方面講，模型思想的培養，其實就是對學生思維能力的培養，這不是簡單認為是為了模型思想而訓練模型思想，而是在培養模型思想的同時，學生其他方面的核心素養能夠在應用模型解決問題的過程中得到提升，這種提升就是模型思想教育價值所在。

弗賴登塔爾指出：‘學習數學就是學習數學化’。所謂數學化，是指從數學的角度看現象、用數學思維想問題，用數學方法解決和解釋問題，建立數學模型就是數學化，就是在用模型思想看現象；用模型思想思考問題的本質；應用模型思想去帶動思維品質的提升；用模型思想去為學生的終身發展奠基。