淡化程式化套路 提升數學思維品質
——以極坐標與參數方程復習為例

謝維勇

(四川省眉山中學校 620010)

《極坐標與參數方程》作為高考數學全國卷選考內容，閱卷顯示全國多數學生選做此題.本部分內容題目的難度一般中等偏易，是學生的一個重要得分點，但學生完成情況欠佳，不少教師對內容的理解和處理上也存在一些偏差，簡單訓練學生將問題化為解析幾何的程式化套路，經常被一些觸及知識本質的問題區分，如何通過具體問題培養學生思維靈活性、深刻性、合理性等品質，更高效的做好本部分的復習值得思考.

在教學過程中，不少師生存在一個誤區，認為此題有明確的套路，先將極坐標方程化為直角坐標方程，然后轉化為直線、圓、圓錐曲線的位置關系求解即可.普通方程與參數方程是在平面直角坐標系下動點軌跡方程的兩種不同表示形式，而參數方程最大的優點是能將曲線上任一點坐標用一個參數表示，變元只有一個，在求最值和設點等問題中減少未知量，極大簡化運算.極坐標方程與直角坐標方程是在不同坐標系下曲線軌跡方程的表達形式，在兩點間的關系用夾角和距離很容易表示時，極坐標系更具優勢；而在平面直角坐標系中，這樣的關系就只能使用三角函數來表示.對于很多類型的曲線，極坐標方程是最簡單的表達形式，甚至對于某些曲線來說，只有極坐標方程能夠表示.教材引進極坐標方程，是讓學生了解不同表現形式在解決問題時的優勢和局限性，而不是變成極坐標與直角坐標簡單互化的程式化套路.在教學中教師應著力引導學生從兩種方程形式的優缺點上思考，采取更簡練的方式解決問題，提升學生的數學思維品質.

筆者在復習解析幾何板塊的內容時，有意識的引導學生從極坐標與參數方程的角度思考問題，很多問題的解答得到了極大簡化，下面呈現在教學中對近年的部分考題的分析與解答，希望能起到拋磚引玉的作用.

(1)求|AB|；

(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求直線AB的極坐標方程.

分析本題檢測學生對參數方程本質的理解，曲線上任意一點的坐標x,y都是變量t的函數，由方程思想，只要知道x,y,t中任意一個數的值便可計算其余兩個數的值，問題迎刃而解.很多學生不假思索地希望將參數方程化為普通方程，再求其與坐標軸的交點，直接就走入了運算的死胡同.

解析(1)設A(0,y1),B(x2,0)

圖1

(1)分別寫出M1，M2，M3的極坐標方程；

分析本題一反常態，直接檢測學生對極坐標方程的理解及應用，借助圖形結合圓的定義建立曲線上動點極徑與極角的等量關系是解決問題關鍵.

例3(2014年北京高考)已知橢圓C:x2+2y2=4.

圖2

(1)求橢圓C的離心率；

(2)設O為原點，若點A在橢圓上，點B在直線y=2上，且OA⊥OB，試判斷直線AB與圓x2+y2=2的位置關系，并證明你的結論.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若動點P(x0,y0)為橢圓C外一點，且點P到橢圓C的兩條切線互相垂直，求點P的軌跡方程.

分析第(2)問從同一點作兩條互相垂直的直線，考慮使用直線的參數方程，兩直線結構相似，利用垂直關系，可用同一傾斜角表示，然后用交軌法整體消元能極大簡化運算，凸顯參數方程的優勢.

由△=0得

同理可得

例5已知拋物線C:y2=2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交拋物線C于A,B兩點，交C的準線于P,Q兩點，若點F在線段AB上，R是PQ的中點，求證：AR∥FQ.

將直線AB與拋物線C:y2=2x

聯立得：sin2α·t2-2cosα·t-1=0,

∴FQ∥AR

(1)求橢圓E的方程；

分析此題要證明的結論中，出現了A,B,C,D四個點到M的距離，M,C,D三點共線，M,A,B三點共線，過點M設出參數方程，結合kAB+kCD=0，將能用相同的變量θ,x0,y0表示，可以極大簡化運算.

兩式相減得

(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,

即kAB+kCD=0.

設該方程的兩根為t1,t2

對于直線CD，將θ換為π-θ，同理可得

故|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

數學是思維的學科，教材是知識的載體，知識是思想方法的載體，教師在教學中只有借助知識引導學生領悟背后的思想方法，才能真正提升學生的數學思維品質，發展學生的核心素養，提高課堂的教學效率.