減小解析幾何運算量的一個重要策略
——恰當選擇直線方程

李昌成 向 前

(1.新疆烏魯木齊市第八中學 830002；2.新疆烏魯木齊市第64中學 830063)

高考試題中很多解析幾何綜合題目都是在直線與圓錐曲線相交的條件下命制出來的，這些題目經常作為小題的把關題，大題的壓軸題，考查學生的綜合能力.學生普遍對此有幾分畏懼.究其原因，在解題入口處就埋下了隱患——直線方程形式選擇不一定恰當，導致后續解答形式復雜，過程冗長，函數關系不明晰，最終問題擱淺.高中階段課本共介紹了6種形式的直線方程，在解答圓錐曲線問題時，學生習慣使用斜截式y=kx+b和點斜式y-y1=k(x-x1).實際上，這是不合適的，應該根據已知條件和所求問題選用不同的形式，達到優化過程，減少運算，提高準確率的目的.下面以高考題為例，說明如何選擇直線方程，形成最佳解法，以饗讀者.

一、 典型案例

例1(2017年全國高考數學理科Ⅰ卷第10題) 已知F為拋物線C:y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為( ).

A.16 B.14 C.12 D.10

評注本解法是學生最容易想到的，但實際上是最麻煩的.首先，要考慮直線斜率的存在性，若遺忘可能造成最值不存在(很多題的最值就出現在斜率不存在的特殊情形處).其次，這種直線方程對應的弦長公式最復雜，給后續運算帶來隱患，增加了答案的不確定性.再次，函數模型比較繁雜，往往需要多次構造，等價轉化為利用均值不等式或對勾函數求最值問題，學生一般掌握得不太好，堵住了出口，致使整個解答擱淺，前功盡棄！

評注直線的這種表示方式教材上并沒有給出，而是一線老師在教學實踐中實踐總結出來的.通過本例我們可以感受到用它解題相對于解法1要簡單一些，無論是求弦長，還是構造函數，還是求函數的最值，它都顯得簡潔明了.

由已知得，直線AB與直線DE垂直，則直線DE的傾斜角為90°+θ，則

(1)求橢圓C的方程；

分析2 本題的實質是已知ΔMON面積的情況下，求直線方程.注意到線段OE是定值，我們可以將ΔMON分成ΔMOE和ΔNOE，兩個三角形的面積分別可以被點M，N的縱坐標表示，因此可以設m:x=ty-2，避開討論作答.

評注對比以上兩種解法可以看出，解法1從點斜式直線入手，分類討論，思路簡單，過程冗長，計算繁雜；解法2從x=ty+a的直線形式入手，有效避開討論，充分利用常數，運算簡捷，答案形式也爽心悅目，解法不失一般性，明顯優于解法1.

二、探究規律

在解直線和圓錐曲線的綜合題時，我們一定會面臨直線形式選擇問題.哪一種最好，要因題而異，不可一概而論.一般地，當已知直線的斜率時，首選斜截式或參數方程；當已知直線過定點時，有三種情形：定點為(0,b)(b為直線的縱截距)首選斜截式；定點為(a,0)(a為直線的橫截距)首選x=ty+a或參數方程；定點為(m,n)首選點斜式或參數方程；曲線類型也對直線選擇影響較大；問題等價轉化形式對直線選擇影響更大.因此，直線方程形式的選擇實際上是一個瞻前顧后的工作，是一個統領的工作，我們要在實踐中積累經驗，作為一種技能來掌握它，提高應對解析幾何的綜合能力.

三、 應用實踐

提示本題的關鍵是求弦長，而兩弦共已知點且垂直，于是兩直線的傾斜角相差90°，因此最好選擇直線參數方程解題，將問題歸結為求三角函數的最值.

(1)求M的方程；

(2)C，D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值.

提示對于(2)，直線AB的斜率為-1，因為CD⊥AB，所以直線CD的斜率也就是1，所以直線CD用斜截式y=x+t表示，易于用t表示|CD|.四邊形ACBD面積由|AB|，|CD|決定，|AB|是常數，所以四邊形ACBD面積S就被表示成關于t的函數，易求得其最大值.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)過橢圓C右焦點F2的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，求△F1AB的內切圓的半徑的最大值．

提示對于(2)，設A(x1，y2)，B(x2，y2)，設△F1AB的內切圓的半徑為R，利用內切圓的性質得，△F1AB的周長和R可以表示其面積.另外，注意到|F1F2|是定值，所以△F1AB面積又可以用|y1-y2|表達，所以設直線l的方程為x=ty+c(由第一問知c=1)，通過等面積法建立R與t的函數關系，求得內切圓半徑的最大值．

通過前瞻性的選擇直線方程能夠從宏觀上把控解析幾何的解題思路.加強思考總結，有助于準確把握問題的內涵，找到突破途徑，克服畏懼心理，全面提高學生的解題能力.