大規模MIMO-TRDMA 系統中的改進SOR 信號檢測算法

王明月，李方偉，景小榮，張海波，熊軍洲

（1.重慶郵電大學通信與信息工程學院，重慶 400065；2.移動通信教育部工程研究中心，重慶 400065）

1 引言

大規模多輸入多輸出時間反演多址（MIMOTRDMA,multiple-input multiple-output time-reversal division multiple access）系統是大規模MIMO 系統與TRDMA 接入技術的結合。大規模MIMO 系統通過在基站端配置大量天線（多達數百根）同時為少量用戶設備服務，能夠有效地提升頻譜效率和能量效率[1-3]。而與TRDMA 技術相結合，可有效提升大規模MIMO 系統抗多徑干擾的能力[4-5]。大規模MIMO-TRDMA 系統因其具有高傳輸率和高可靠性等顯著優勢，有望發展為未來無線通信系統的主要研究方向之一。

在實際工程中部署大規模MIMO-TRDMA 系統還存在一些具有挑戰性的問題，其中之一是如何設計具有高性能和低復雜度的上行信號檢測算法。最大似然（ML,maximum likelihood）檢測算法具有最佳的檢測性能，但其計算復雜度隨著發送天線數目的增加呈指數增長，因而難以應用于實際[6]。由于大規模MIMO-TRDMA 系統中基站天線數目遠大于用戶設備數目，此時各用戶間信道滿足近似正交的關系，因此，采用傳統的線性檢測算法，如迫零算法和最小均方誤差（MMSE,minimum meansquare error）算法，也能確保檢測性能近似最佳[7-8]。然而，線性檢測算法需要計算高維矩陣的逆，盡管采用傳統的Cholesky 分解和LDL 分解等方法可避免高維矩陣求逆，但仍無法確保信號檢測的實時性[9-10]。

為了解決這一問題，國內外學者相繼提出了諸多MMSE 算法的近似求解算法，主要包括三大類：第一類是級數展開類，文獻[11]提出一種低復雜度信號檢測算法，通過Neumann 近似級數展開方法將矩陣求逆計算等價為多次矢量相乘計算；文獻[12]基于大規模非正交多址接入系統提出了一種Neumann 級數逼近信號檢測算法，該算法能以較低的計算復雜度獲得較好的系統性能。第二類是更新近似求解類，文獻[13]基于Gauss-Seidel 方法提出了一種能夠獲得近似最佳性能的檢測算法，優化了算法的初始解以加快算法的收斂速度；文獻[14]提出了一種基于連續超松弛（ SOR,successiveover-relaxation）的高效算法，同時，該文獻還對所提算法進行了硬件驗證。第三類是基于矩陣梯度搜索類，文獻[15]提出了一種在共軛梯度算法中直接計算信噪比（SNR,signal-to-noise ratio）的新方法，以實現共軛梯度軟輸出檢測；文獻[16]提出了一種聯合最陡下降（SD,steepest descent）和Jacobi 更新算法的改進算法，采用SD 算法為后續Jacobi 更新確定高效的搜索方向，進而提升系統的檢測性能。

上述算法中，傳統SOR 算法具有性能近似最佳、收斂速度較快和計算復雜度較低等優勢，但存在初始收斂性能較差的缺點；而SD 算法具有在初始更新時就可獲得較好收斂方向的優勢，但存在極值點附近收斂速度較慢的缺點。因此，本文結合SOR 算法和 SD 算法的優勢，基于大規模MIMO-TRDMA 系統提出一種改進SOR 信號檢測算法。將SD 算法和SOR 算法的第一次混合更新解設為改進SOR 算法的第一次更新解，提高后續SOR更新的搜索效率，獲得更快的收斂速度和更好的檢測性能。仿真結果表明，即使更新次數較少，所提改進SOR 算法仍具有與傳統MMSE 算法相當的近似最佳性能。

2 系統模型及MMSE 檢測算法

2.1 大規模MIMO-TRDMA 系統模型

大規模MIMO-TRDMA 系統的系統模型如圖1所示，其中，基站端配備Nr根接收天線，同時為M個單天線用戶設備服務，通常情況下滿足Nr?M。大規模MIMO-TRDMA 通信過程分為3 步，具體如下。

圖1 大規模MIMO-TRDMA 系統模型

2.1.1信道探測階段

信道探測階段是用戶發送信號前的準備階段，各個用戶接收基站端發送的探測信號并分別提取各自的信道沖激響應?；径说趈∈{1,2,…,Nr}根接收天線和第m∈{1,2,…,M}個用戶的信道沖激響應為

2.1.2時間反演階段

在時間反演階段中，位于用戶附近的各時間反演鏡在時域或頻域上分別對各信道沖激響應進行采樣和傅里葉變換/逆變換，將時間反演濾波矩陣寫為，每個元素可表示為

2.1.3時間反演后的通信階段

在正式通信過程中，將發送信號矢量經過時間反演鏡處理后的信道沖激響應變換為可表示為

其中，(?) ?(?)表示求卷積操作，p∈{0,1,…,2L-2}。當p=L-1時，式(3)對應最大功率中心峰值。

根據式(3)，將大規模MIMO-TRDMA 信道模型寫為矩陣形式

為了維持信道穩定性，假定信道探測階段和時間反演階段的信道狀態信息具有時不變特性。即對于一個時間反演操作過程，至少一個信道探測階段和時間反演階段的信道沖激響應保持靜止。

將基站端接收的信號表示為

其中，Y=[Y1,Y2,…,YNr]為Nr× 1維接收信號向量；H為多徑瑞利衰落信道，每個元素服從均值為零且方差為的循環對稱復高斯（CSCG,circular symmetric complex Gaussian）分布，0 ≤l≤L，TS表示采樣周期，σT表示信道均方根時延擴展；x=[x1,x2,…,xM]T為M× 1維的發送信號矢量；n表示均值為零且方差為σ2的加性白高斯噪聲（AWGN,additive white Gaussian noise），滿足維度為Nr× 1。在每個信號檢測時刻，假定基站端已獲得當前信道的理想狀態信息。

為了方便分析，將式(5)中每根接收天線上的信號展開為

由式(6)可知，大規模MIMO-TRDMA 系統中的主要期望信號對應最大功率中心峰值因而具有良好的聚焦特性。因此，相比傳統大規模MIMO 系統，大規模MIMO-TRDMA 系統能夠利用多徑產生聚焦效應，從而降低用戶間干擾，具有更好的系統性能。

大規模MIMO-TRDMA 系統和大規模MIMO系統的誤比特率（BER,bit error rate）性能對比如圖2 所示，接收端采用傳統MMSE 信號檢測算法。從圖2 可知，相比傳統大規模MIMO 系統，大規模MIMO-TRDMA 系統具有更好的系統性能，具體表現為：當L=8且BER 為一個確定值時，大規模MIMO-TRDMA 系統比大規模MIMO 系統的SNR低至少1 dB；當L=10且BER 為一個確定值時，大規模MIMO-TRDMA 系統比大規模MIMO 系統的SNR 低約2 dB。這是因為大規模MIMO-TRDMA系統能夠利用多徑產生聚焦效應使主要期望信號對應最大功率中心峰值，能夠有效降低用戶間干擾。

圖2 大規模MIMO-TRDMA 和大規模MIMO 系統性能對比

2.2 MMSE 檢測算法

信號檢測的主要任務是基站端根據接收的信號矢量Y對發送信號進行譯碼，得到估計的發送信號矢量。傳統MMSE 信號檢測中，估計的發送信號矢量為

其中，V=HHH為Gram 矩陣。直接對MMSE 檢測算法的加權矩陣U求逆時，計算復雜度為較高的O(M3)[8]。

基于式(8)，大規模MIMO-TRDMA 系統中MMSE 檢測算法估計的發送信號矢量變為

在大規模MIMO-TRDMA 系統中，信道為復雜的卷積矢量，采用傳統MMSE 檢測算法將更加復雜；同時，隨著基站端接收天線和用戶數量的增加，直接對矩陣求逆的計算復雜度為較高的O(M3)。因此，傳統 MMSE 檢測算法難以滿足大規模MIMO-TRDMA 系統中信號檢測的實時性要求。

3 改進SOR 信號檢測算法

本節首先證明了大規模MIMO-TRDMA 系統的MMSE 加權矩陣具有對稱正定的特性，這是SOR算法的基礎；然后給出了所提出改進SOR 算法的基本原理；最后證明了所提算法的收斂性，以確保其實際可行性。

3.1 對稱正定證明

將式(5)中的復數系統模型轉換為對應的實值模型

在式(11)的實數系統模型中，信道矩陣的轉置和信道矩陣的共軛轉置結果相同。因此，可得

3.2 算法原理

3.2.1傳統SOR 算法原理

SOR 算法可用于求解N維線性方程組As=b，其中，矩陣A的維度是N×N，該矩陣是對稱的正定矩陣；s為N× 1維的解矢量；b為N× 1維的測量矢量。傳統MMSE 算法直接計算A-1b得到s，而SOR 算法通過高效地更新求解線性方程，能夠避免復雜的矩陣求逆計算。由于矩陣A是對稱的正定矩陣，可將其分解為對角線形分量DA，嚴格的下三角形分量LA和嚴格的上三角形分量SOR算法的更新形式為

其中，上標k表示更新次數，α表示松弛參數，可以根據松弛參數確定算法的收斂效率和收斂速度。當α=1時，SOR 算法等價于Gauss-Seidel 算法，可以看出，Gauss-Seidel 算法是SOR 算法的特例。

由于上行大規模 MIMO-TRDMA 系統中的MMSE 加權矩陣具有對稱正定的特性，因此，可用SOR 算法以較低的計算復雜度高效求解式(9)。將大規模MIMO-TRDMA 系統的MMSE 加權矩陣分解為

3.2.2改進SOR 算法原理

傳統SOR 算法具有性能近似最佳、收斂速度較快和計算復雜度較低等優勢，但存在初始收斂性能較差的缺點；而SD 算法具有在初始更新時就可獲得較好收斂方向的優勢，但存在極值點附近收斂速度較慢的缺點。因此，結合SOR 算法和SD 算法的優勢，提出低復雜度和高性能的改進SOR 算法。將SD算法和SOR算法的第一次混合更新解設為改進SOR 算法的第一次更新解，提高后續SOR 更新的搜索效率，獲得更快的收斂速度和更好的檢測性能。

進一步地，將傳統SOR 算法和SD 算法第一次混合更新結果用SD 算法的更新形式表示為

為了減少更新次數，改進SOR 算法的初始值不使用零矢量。而將SD 算法和SOR 算法第一次混合更新解設為改進SOR 算法的第一次更新解，即。進而，利用式(17)繼續進行k-1次更新，通過設置更新次數k對發送信號矢量進行估計。

3.3 改進SOR 算法收斂性證明

改進SOR 算法使用更新方式進行信號檢測，算法的收斂性決定了算法的精度因而至關重要。因此，有必要分析和證明改進SOR 算法的收斂性。

更新矩陣E的譜半徑定義為非負數，其中λn表示E的第n個特征值，式(22)收斂的充分必要條件是譜半徑滿足

根據特征值的定義，可得

其中，f是任意2M× 1維非零實值矢量，式(24)也可表示為

將式(25)左右兩邊同時乘以fT，可得

對式(26)左右兩邊同時進行轉置，得到

將式(30)代入式(23)，可得ρ(E) <1，所以改進SOR 算法是收斂的。

4 復雜度分析

本節以所需的實數乘法次數作為指標，研究所提改進SOR 算法的計算復雜度。傳統MMSE 算法、改進 SOR 算法和傳統 SOR 算法都需要計算=HHY和U=V+σ2IM，在信號檢測時，這兩部分計算復雜度相同，因此，僅對檢測算法的其他部分進行分析。傳統SOR 算法的復雜度僅為SOR 更新，而改進SOR 算法的復雜度包括初始賦值和SOR 更新兩部分。初始賦值和SOR 更新的復雜度分析具體如下。

1) 初始賦值

2) SOR 更新

綜上所述，傳統 SOR 算法的復雜度為4kM2+4kM，而所提改進SOR 算法總復雜度為4(k+1)M2+4kM+6M。當更新次數為k=3、k=4和k=5時，所提改進SOR 算法和傳統SOR算法的計算復雜度的對比如表1 所示。從表1 可知，與傳統SOR 算法相比，所提改進SOR 算法的計算復雜度有所增加，但是，其計算復雜度仍比傳統MMSE算法少一個數量級；盡管如此，當改進SOR 算法收斂（k=5）且BER=10-5時，其檢測性能比傳統SOR 算法的BER 性能提升了至少4 dB，如圖3 所示。

圖3 算法檢測性能隨信噪比對比

表1 計算復雜度的對比

5 仿真與分析

為了驗證所提改進SOR 算法的檢測性能，使用MATLAB 軟件進行仿真驗證。采用誤比特率作為檢測性能的評估參數，對傳統MMSE 算法、傳統SOR 算法和所提改進SOR 算法的檢測性能進行蒙特卡洛仿真實驗。大規模MIMO-TRDMA 系統中接收天線數設為Nr=128，用戶數設為M=32，采用64-正交振幅調制方案。將所提方案應用于IEEE 802.15.4a 的室外非視距場景中，信道增益為CSCG隨機變量，其均值為零且方差為，信道帶寬B=500 MHz，均方時延擴展σT=100/B，采樣周期TS=1/B=2 ns，信道多徑數分別設為L=8和L=10。

通過仿真確定最佳松弛參數，參數設置為：更新次數k=3，SNR=4 dB。所提改進SOR 算法的BER性能與松弛參數α之間的關系如圖4 所示。最佳松弛參數是對應BER 最小值的松弛參數。由圖4(a)可知，當L=8時，傳統SOR 算法BER 最小值為3.01 ×10-2，對應最佳松弛參數α=1.1；而改進SOR算法BER 最小值為2.30 ×10-3，對應最佳松弛參數α=1.2。由圖4(b)可知，當L=10時，傳統SOR 算法BER 最小值為1.52 ×10-2，對應最佳松弛參數α=1.1；而改進SOR 算法BER 最小值為3.96 ×10-4，對應最佳松弛參數α=1.2。因此，在后面的仿真實驗中，傳統SOR 算法的松弛參數設為α=1.1，改進SOR 算法的松弛參數設為α=1.2。

圖4 所提算法性能與松弛參數之間的關系

大規模MIMO-TRDMA 系統中，傳統MMSE算法、傳統SOR 算法和所提改進SOR 算法的BER性能對比結果如圖3 所示。從圖3(a)可以看出，當更新次數k=3時，改進SOR 算法與MMSE 算法之間存在較大差距，但性能優于傳統SOR 算法；當更新次數k=4時，改進SOR 算法和傳統SOR 算法的BER 性能較更新次數k=3時都有所提升，但仍與MMSE 算法存在一定差距，同時，改進SOR 算法的BER 性能同樣優于傳統SOR 算法；當更新次數k=5時，改進SOR 算法與傳統SOR 算法的性能持續提升，此時，改進SOR 算法與MMSE 算法的BER性能相當，同時優于傳統SOR 算法的性能。綜上，當更新次數k相同時，改進SOR 算法的性能優于傳統SOR 算法。這是因為改進SOR 算法將SD 算法和SOR 算法的第一次混合更新解設為第一次更新解，提高后續SOR 更新的搜索效率，具有更快的收斂速度和更好的檢測性能。當更新次數k較少時，改進SOR 算法與MMSE 算法之間的性能存在一定差距；當更新次數k較多時，改進SOR 算法可以取與MMSE 算法相當的檢測性能。這是由于改進SOR算法通過更新求解線性方程組代替復雜的矩陣求逆計算，需要通過多次更新才能獲得近似MMSE算法的BER 性能。同樣，從圖3(b)可以得出相同結論。

大規模MIMO-TRDMA 系統中，改進SOR 算法和傳統SOR 算法的收斂性能對比結果如圖5 所示。從圖5(a)可以看出，當更新次數k為確定值時，改進SOR 算法和傳統SOR 算法的BER 性能都隨著SNR 的增加而明顯降低；當SNR 確定時，改進SOR算法和傳統SOR 算法的BER 性能隨著更新次數的增多都趨近收斂。因為改進SOR 算法能夠提高后續SOR 更新的搜索效率，具有更快的收斂速度和更好的檢測性能。當SNR 為一確定值時，改進SOR算法比傳統SOR 算法的收斂速度快，具體來說，改進SOR 算法的收斂次數為k=5，SNR 變化對算法的收斂次數無影響；而傳統SOR 算法的收斂次數為k=8，SNR 變化對算法的收斂次數無影響。此外，在SNR 為一個確定值的前提下，當更新次數小于收斂次數時，改進SOR 算法的BER 性能明顯優于傳統SOR 算法。同樣，從圖5(b)可以得出相同結論。

圖5 算法收斂性能對比

6 結束語

在大規模MIMO-TRDMA 系統中，傳統MMSE算法可獲得近似最佳的檢測性能，但其所需的矩陣求逆計算復雜度過高，無法確保信號檢測的實時處理。因此，本文提出一種改進SOR 信號檢測算法。該算法通過更新求解線性方程組，避免復雜的矩陣求逆計算；同時，將SD 算法和SOR 算法的第一次混合更新解設為改進SOR 算法的第一次更新解，以獲得后續SOR 更新的高效搜索方向。仿真結果表明，所提算法能以較少的更新次數獲得與傳統MMSE 算法相當的近似最佳性能，且計算復雜度為較低的O(M2)。因此，所提改進SOR 算法能夠在檢測性能和計算復雜度之間取得良好的折衷。